1、圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題一、選擇題1. 已知圓x2+y2=4，過(guò)A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. （x-2）2+y2=4B. （x-2）2+y2=4（0x1）C. （x-1）2+y2=4D. （x-1）2+y2=4（0x1）2. 已知M是圓C：x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（2，0），則MN的中點(diǎn)P的軌跡方程是（）A. （x-1）2+y2=B. （x-1）2+y2=C. （x+1）2+y2=D. （x+1）2+y2=3. 已知兩定點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），若動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，則P的軌跡為（）A. 直線B. 線段C. 圓D. 半圓4. 在正方體ABCD-A

2、1B1C1D1中，點(diǎn)M、N分別是直線CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），記直線D1P與MN所成角為，若的最小值為，則點(diǎn)P的軌跡是（）A. 圓的一部分B. 橢圓的一部分C. 拋物線的一部分D. 雙曲線的一部分5. 已知兩定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）A. B. 4C. 9D. 166. 復(fù)數(shù)z滿足條件：|2z+1|=|z-i|，那么z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線二、填空題7. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A，B是圓x2+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=2，則線段AB

3、中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi) 8. 自圓x2+y2=4上點(diǎn)A（2，0）引此圓的弦AB，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi) 9. 已知?jiǎng)訄AM與圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-1）2+y2=25均內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是_10. 已知圓x2+y2=4，B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，若PBQ=90°，則線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)11. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），則滿足PA2-PB2=4且在圓x2+y2=4上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)12. 點(diǎn)A（0，2）是圓O：x2+y2=16內(nèi)定點(diǎn)，B，C是這個(gè)圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，若BACA，求BC中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi) 三、解

4、答題（本大題共5小題，共60.0分）13. 已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積14. 已知圓C：（x+1）2+y2=8，點(diǎn)A（1，0），P是圓C上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交CP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MON面積的最大值15. 已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F2（1，0），并且內(nèi)切于定圓F1：（x+1）2+y2=16（1）求動(dòng)圓圓心C

5、的軌跡方程；（2）若y2=4x上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，（1）中曲線上有兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并且M，N，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，PQMN，求四邊形PMQN的面積的最小值16. 已知圓N經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），B（-1，3），且它的圓心在直線3x-y-2=0上（）求圓N的方程；（）求圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程（）若點(diǎn)D為圓N上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)C（3，0），求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程17. 已知圓O：x2+y2=4及一點(diǎn)P（-1，0），Q在圓O上運(yùn)動(dòng)一周，PQ的中點(diǎn)M形成軌跡C（1）求軌跡C的方程；（2）若直線PQ的斜率為1，該直線與軌跡C交于異于M的一點(diǎn)N，求CMN的面積答案和解析【答

6、案】1. B2. A3. C4. B5. D6. A7. x2+y2=3  8. （x-1）2+y2=1，（x2）  9.   10. x2+y2-x-y-1=0  11. 2  12. x2+y2-2y-6=0  13. 解：（1）由圓C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，4），半徑為4設(shè)M（x，y），則，由題意可得：即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0整理得：（x-1）2+（y-3）2=2M的軌跡方程是（x-1）2+（y-3）2=

7、2（2）由（1）知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，為半徑的圓，由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPMkON=3，直線l的斜率為-直線PM的方程為，即x+3y-8=0則O到直線l的距離為又N到l的距離為，|PM|=  14. 解：（）點(diǎn)Q 在線段AP 的垂直平分線上，|AQ|=|PQ|又|CP|=|CQ|+|QP|=2，|CQ|+|QA|=2|CA|=2曲線E是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，C（-1，0）和A（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓設(shè)曲線E的方程為=1，（ab0）c=1，a=，b2=2-1=1曲線E的方程為（）設(shè)M（x1，y1），N（

8、x2，y2）聯(lián)立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0此時(shí)有=16k2-8m2+80由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=，x1x2=，|MN|= 原點(diǎn)O到直線l的距離d=-，SMON=，由0，得2k2-m2+10又m0，據(jù)基本不等式，得SMON=，當(dāng)且僅當(dāng)m2=時(shí)，不等式取等號(hào)MON面積的最大值為  15. 解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，則|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4|F1F2|，由橢圓的定義知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，a=2，c=1，所以，動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，直線

9、PQ的斜率為0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四邊形PMQN的面積S=8當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k0），聯(lián)立方程得，消元得k2x2-（2k2+4）x+k2=0 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則 PQMN，直線PQ的方程為，得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0 設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），則 四邊形PMQN的面積，令k2+1=t，t1，上式，令2t+1=z，（z3），（z3），S8（1+0）=8，綜上可得S8，最小值為8  16. 解：（）由已知可設(shè)圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，從而有，解得：a=2

10、于是圓N的圓心N（2，4），半徑所以，圓N的方程為（x-2）2+（y-4）2=10（）N（2，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為（1，5），所以圓N關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程為（x-1）2+（y-5）2=10（）設(shè)M（x，y），D（x1，y1），則由C（3，0）及M為線段CD的中點(diǎn)得：，解得：又點(diǎn)D在圓N：（x-2）2+（y-4）2=10上，所以有（2x-3-2）2+（2y-4）2=10，化簡(jiǎn)得：故所求的軌跡方程為  17. 解：（1）設(shè)M（x，y），則Q（2x+1，2y），Q在圓x2+y2=4上，（2x+1）2+4y2=4，即（x+）2+y2=1軌跡C的方程是（x

11、+）2+y2=1（2）直線PQ方程為：y=x+1，圓心C到直線PQ的距離為d=，|MN|=2=，CMN的面積為=  【解析】1. 解：設(shè)弦BC中點(diǎn)（x，y），過(guò)A的直線的斜率為k，割線ABC的方程：y=k（x-4）；作圓的割線ABC，所以中點(diǎn)與圓心連線與割線ABC垂直，方程為：x+ky=0；因?yàn)榻稽c(diǎn)就是弦的中點(diǎn)，它在這兩條直線上，故弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是：x2+y2-4x=0如圖故選B結(jié)合圖形，不難直接得到結(jié)果；也可以具體求解，使用交點(diǎn)軌跡法，見(jiàn)解答本題考查形式數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，軌跡方程，直線與圓的方程的應(yīng)用，易錯(cuò)題，中檔題2. 解：設(shè)線段MN中點(diǎn)P（x，y），則M（2x

12、-2，2y）M在圓C：x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，（2x-2）2+（2y）2=1，即（x-1）2+y2=故選A設(shè)出線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，根據(jù)M在圓上，得到軌跡方程本題考查中點(diǎn)的坐標(biāo)公式、求軌跡方程的方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3. 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），A（-2，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，平方得（x+2）2+y2=4（x-1）2+y2，即（x-2）2+y2=4P的軌跡為圓故選：C設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，化簡(jiǎn)整理得答案本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法，著重考查了兩

13、點(diǎn)間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題4. 解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為，直線D1P與MN所成角的最小值，是直線D1P與面A1B1C1D1所成角，即原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：直線D1P與面A1B1C1D1所成角為，點(diǎn)P在面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，點(diǎn)P是A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界）則點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分故選：B把MN平移到面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為，直線D1P與MN所成角的最小值，是直線D1P與面A1B1C1D1所成角，即原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：直線D1P與面A1B1C1D1所成角為，求點(diǎn)P的軌跡點(diǎn)P在面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，則

14、點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分本題考查了空間軌跡問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題5. 解：設(shè)P（x，y），則|PA|=，|PB|=，|PA|=2|PB|，（x+3）2+y2=4（x-3）2+y2，即x2+y2-10x+9=0，化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x-5）2+y2=16即P的軌跡所包圍的圖形為半徑為4的圓，該圓的面積S=×42=16故選：D設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|PA|=2|PB|列出方程整理出P的軌跡方程，判斷圖形計(jì)算面積本題考查了軌跡方程的求法，屬于基礎(chǔ)題6. 解：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，x，yR，|2z+1|=|z-i|，|2z+1|2=|z-i|2，（2x+1）2+4y2=x2+（y-1）2，

15、化簡(jiǎn)可得3x2+3y2+4x+2y=0，滿足42+22-4×3×0=200，表示圓，故選：A 設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，x，yR，由模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)可得本題考查復(fù)數(shù)的模，涉及軌跡方程的求解和圓的方程，屬基礎(chǔ)題7. 解：由題意，OMAB，OM=，線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=3，故答案為x2+y2=3由題意，OMAB，OM=，即可求出線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程本題考查軌跡方程，考查垂徑定理的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)8. 解：設(shè)AB中點(diǎn)為M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2，2y）B點(diǎn)在圓x2+y2=4上，（2x-2）2+（2y）2=4故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）2

16、+y2=1不包括A點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，（x2）故答案為：（x-1）2+y2=1，（x2）設(shè)出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B的坐標(biāo)，據(jù)B在圓上，將P坐標(biāo)代入圓方程，求出中點(diǎn)的軌跡方程本題主要考查軌跡方程的求解，應(yīng)注意利用圓的特殊性，同時(shí)注意所求軌跡的純粹性，避免增解9. 解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為：M（x，y），半徑為R，動(dòng)圓與圓M1：（x+1）2+y2=1內(nèi)切，與圓M2：（x-1）2+y2=25內(nèi)切，|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6，|MM1|+|MM2|M1M2|，因此該動(dòng)圓是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，2a=4，c=1 解得a=2，根據(jù)a、b、

17、c的關(guān)系求得b2=3，橢圓的方程為：故答案為：首先根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定出該動(dòng)圓是橢圓，然后根據(jù)相關(guān)的兩求出橢圓的方程本題考查的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的方程及圓與圓的位置關(guān)系，相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題10. 解：設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0故答案為：x2+y2-x-y-1=0利用直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半得到|PN|=|BN|，利用圓心與弦中點(diǎn)連線垂直弦，利用勾股定理得到

18、|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用兩點(diǎn)距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直弦、相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程11. 解：設(shè)P（x，y），A（-1，0），B（0，1），由PA2-PB2=4，得（x+1）2+y2-x2-（y-1）2=4整理得：x+y=2聯(lián)立，解得：或P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（2，0）即滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2故答案為：2設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知等式求出P點(diǎn)的軌跡方程，和圓的方程聯(lián)立求解P點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求本題考查了軌跡方程的求法，考查了方程組的解法，是中檔題12. 解：設(shè)M（x，y），連接OC，OM，MA，則由垂徑

19、定理，可得OMBC，OM2+MC2=OC2，AM=CM，OM2+AM2=OC2，x2+y2+x2+（y-2）2=16，即BC中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-2y-6=0故答案為：x2+y2-2y-6=0設(shè)M（x，y），連接OC，OM，MA，則由垂徑定理，可得OMBC，OM2+MC2=OC2，即可求BC中點(diǎn)M的軌跡方程垂徑定理的使用，讓我們?cè)趯ふ襇的坐標(biāo)中的x與y時(shí)，跳過(guò)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，而直達(dá)一個(gè)非常明確的結(jié)果，減少了運(yùn)算量13. （1）由圓C的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出M坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得M的軌跡方程；（2）設(shè)M的軌跡的圓心為N，由|OP|=|OM|得到ONPM求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到PM所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)間的關(guān)系求出PM的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式得答案本題考查圓的軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題14. （1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利