1、第十講 導數的概念與運算教學目標：1、了解導數概念的實際背景 2、理解導數的幾何意義 3、能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.1、 知識回顧 課前熱身知識點1、導數的概念(1)函數yf(x)在xx0處的導數：稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)導數的幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數f(x)的導函數：稱函

2、數f(x) 為f(x)的導函數知識點2、幾種常見函數的導數(C) 0 (C為常數)；(xn) nxn1 ；(nQ)(sinx) cos_x ； (cosx) sin_x ； (ex) ex ； (ax) axln_a ；(lnx) .(logax) 知識點3、導數的運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)知識點4、復合函數的導數復合函數yf(g(x)的導數和函數yf(u)，ug(x)的導數間的關系為yxyu·ux，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積2

3、、 例題辨析 推陳出新例1、求下列函數的導數(1)y(1)； (2)y； (3)ytan x； (4)y3xex2xe.解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”如何求解？解：ysin sin cos sin x ycos x 變式練習1求下列函數的導數(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin

4、x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.例2、 求下列復合函數的導數：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)解答(1)設u2x3，則y(2x3)5由yu5與u2x3復合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)設u3x，則y由yu與u3x復合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)設yu2，usin v，v2x，則yxyu·

5、;uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)設yln u，u2x5，則yxyu·ux，y·(2x5).變式練習2求下列復合函數的導數：(1)y(1sin x)2；(2)yln ；(3)y；(4)yx .解：(1)y2(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x.(2)y(ln )·( )·(x21)·(x21).(3)設u13x，yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(4)y(x )x·x .3、 歸納總結 方法在

6、握歸納1、求導之前，應先對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量；歸納2、復合函數求導必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的，分清其復合關系4、 拓展延伸 能力升華例1、(1)(2012·遼寧高考)已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為_(2)已知曲線yx3. 求曲線在點P(2,4)處的切線方程；求斜率為4的曲線的切線方程解答(1)y，yx，y|x44，y|x22.點P的坐標為(4,8)，點Q的坐標為(2,2)，在點P處的切線方程為y84(x4)，即y4x8.在點Q處的切線

7、方程為y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，則A點的縱坐標為4.(2)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率ky|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.設切點為(x0，y0)，則切線的斜率kx4，x0±2.切點為(2,4)或，切線方程為y44(x2)或y4(x2)，即4xy40或12x3y200.若將本例(2)中“在點P(2,4)”改為“過點P(2,4)”如何求解？解：設曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率ky|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yx·xx. 點P(2，4)在切

8、線上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40. x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20.解得x01或x02. 故所求的切線方程為4xy40或xy20.變式練習3已知函數f(x)2 (x>1)，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線l分別交x軸和y軸于A，B兩點，O為坐標原點(1)求x01時，切線l的方程；(2)若P點為，求AOB的面積解：(1)f(x)，則f(x0)，則曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)的切線方程為yf(x0)(xx0)，即y .所以當x01時，切線l的方程為xy30.(2)當x0時，y；當y0時，xx02. SAOB，SAO

9、B.例2、已知a為常數，若曲線yax23xln x存在與直線xy10垂直的切線，則實數a的取值范圍是()A.B. C. D.解答由題意知曲線上存在某點的導數為1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根當a0時，顯然滿足題意；當a<0時，需滿足0，解得a<0. 綜上，a.答案A歸納:導數幾何意義應用的三個方面導數的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知過某點M(x1，f(x1)(不是切點)的切線斜率為

10、k時，常需設出切點A(x0，f(x0)，利用k求解變式練習4若函數f(x)sin(0<<)，且f(x)f(x)是奇函數，則_.解析：f(x)sin，f(x)cos.于是yf(x)f(x)sincos2sin2sin2cos(x)，由于yf(x)f(x)2cos(x)是奇函數，k(kZ)又0<<，. 答案：練習1曲線y在點M處的切線的斜率為()A B. C D.解析：y，故y.曲線在點M處的切線的斜率為. 選B2已知函數f(x)x3fx2x，則函數f(x)的圖象在點處的切線方程是_解析：由f(x)x3fx2x，可得f(x)3x22fx1，f3×22f×

11、1，解得f1，即f(x)x3x2x.則f32，故函數f(x)的圖象在處的切線方程是y，即27x27y40. 答案：27x27y405、 課后作業 鞏固提高1曲線y在點M(，0)處的切線方程是_答案：xy02如圖，函數yf(x)的圖象在點P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.解析：由題意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312. 答案：23(2013·永康模擬)函數yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能是()解析：選D據函數的圖象易知，x<0時恒有f(x)>0，當x>0時，恒有f(x)<0.4若函數f(x)cos x2xf，則f與f

12、的大小關系是()AffBf>f Cf<f D不確定解析：選C依題意得f(x)sin x2f，fsin 2f，f，f(x)sin x1，當x時，f(x)>0，f(x)cos xx是上的增函數，注意到<，于是有f<f.5已知t為實數，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，則t等于()A0 B1 C. D2解析：選Cf(x)3x22tx4，f(1)32t40，t.6曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為()Ay3x1 By3x1 Cy3x1 Dy2x1解析：選A依題意得y(x1)ex2，則曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線的斜率為y|x0，故曲線yxex

13、2x1在點(0，1)處的切線方程為y13x，即y3x1.7設函數f(x)在R上的導函數為f(x)，且2f(x)xf(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0 Bf(x)<0 Cf(x)>x Df(x)<x解析：選A由已知，令x0得2f(0)>0，排除B、D兩項；令f(x)x2，則2x2x4x2>x2，但x2>x對x不成立，排除C項8已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)4.答案：49已知函數yf(x)及其導函數yf(x)的圖象如圖所示

14、，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_解析：根據導數的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在點P處的切線的斜率kf(2)1，又過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.答案：xy2010若曲線f(x)ax5ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是_解析：曲線f(x)ax5ln x存在垂直于y軸的切線，即f(x)0有正實數解又f(x)5ax4，方程5ax40有正實數解5ax51有正實數解a<0.故實數a的取值范圍是(，0)答案：(，0)11已知函數f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為x2y50，求yf(x)的解析式解：由已知得，12f(1)50，f(1)2，即切點為(1

15、，2)又f(x)，解得f(x).12如右圖所示，已知A(1,2)為拋物線C：y2x2上的點，直線l1過點A，且與拋物線C相切，直線l2：xa(a<1)交拋物線C于點B，交直線l1于點D.(1)求直線l1的方程；(2)求ABD的面積S1.解：(1)由條件知點A(1,2)為直線l1與拋物線C的切點y4x，直線l1的斜率k4.所以直線l1的方程為y24(x1)，即4xy20.(2)點A的坐標為(1,2)，由條件可求得點B的坐標為(a,2a2)，點D的坐標為(a，4a2)，ABD的面積為S1×|2a2(4a2)|×|1a|(a1)3|(a1)3.13如圖，從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點Q1(0,1)，曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點的坐標為(xk,0)(k1,2，