1、齊次平衡法求解非線性方程李士崗（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）摘 要：本文概述了齊次平衡原則的基本思想和步驟，并應(yīng)用于非線性數(shù)學(xué)物理方程的求解。這是一種解題方法的創(chuàng)新及應(yīng)用，以KdV方程為例，驗(yàn)證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的周期解，并且還可獲得孤子解和其它形式的解。關(guān)鍵詞：齊次平衡原則；非線性變換；非線性偏微分方程；KdV方程；周期解。一、引言40多年來，非線性數(shù)學(xué)物理方程研究領(lǐng)域頗具特色成就之一是發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了非線性偏微分方程精確解(特別是孤立波解)的各種精巧方法。如反散射方法、雙線性算子方法、變換(BT)等。近年來提出并發(fā)展起來的齊次平衡方法1-4，實(shí)際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指

2、導(dǎo)原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點(diǎn)；再者，還適用于用計(jì)算機(jī)符號計(jì)算系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，且得到的是精確的結(jié)果。本文基本內(nèi)容安排如下：概述齊次平衡原則的主要思想與步驟；簡述用齊次平衡原則導(dǎo)出非線性偏微分方程的非線性變換及精確解。二、齊次平衡原則9我們概述一下齊次平衡原則的基本思想和步驟，為簡單起見，僅以一個(gè)未知函數(shù)，兩個(gè)自變量的情形為例來闡明，對若干個(gè)未知函數(shù)及多個(gè)自變量的方程組的情形，可類似地表述。給定一個(gè)非線性偏微分方程 （1）這里P一般是關(guān)于u對x，t的偏導(dǎo)數(shù)或混合導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

3、表達(dá)式。一個(gè)函數(shù)稱為是方程（1）的擬解，如果存在單變元的函數(shù)，使關(guān)于x和t的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，即 （2）關(guān)于x和t的低于m+n階偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，或者將（2）改寫為： （3）的各種偏導(dǎo)數(shù)為變元的低于m+n次的一個(gè)多項(xiàng)式（不管及其導(dǎo)數(shù)）， 精確地滿足（1）、（2）及（3）中的非負(fù)整數(shù)m,n,單變元函數(shù)以及函數(shù)都是特定的，將（3）代入（1）后，可通過下述步驟確定它們。首先，使最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中包含的的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項(xiàng)中包含的關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等，來決定非負(fù)整數(shù)m及n是否存在（若發(fā)生m及n中有負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)的情形，可通過未知函數(shù)的變換，將原方程化為新未知函數(shù)方程，使相應(yīng)的m

4、，n為非負(fù)的，其針對不同方程有不同的變換）。其次，集合的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項(xiàng)，使其系數(shù)為零，而得滿足的常微分方程，解之可得，一般是對數(shù)函數(shù)。第三，將的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)，用的較高階的導(dǎo)數(shù)來代替，再將的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別合并在一起，并令其系數(shù)為零，而得的各次齊次型的一般是過定的偏微分方程組，可適當(dāng)選擇（2）中線性組合之系數(shù)，使過定的偏微分方程組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結(jié)果代入（3），經(jīng)過一些計(jì)算就可得到（1）的精確解。對許多非線性數(shù)學(xué)物理方程（組），上述步驟的解答使肯定的，故齊次平衡原則有一定的普適性。此外，也可用其它方式敘述齊次平衡原則，其敘述方式依賴于對方程（1）的解的相應(yīng)

5、的先驗(yàn)假設(shè)形式，這里不再贅述。三、非線性變換與周期解9用齊次平衡原則可導(dǎo)出相當(dāng)廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，可得非線性偏微分方程的各種形式的精確解。這方面的主要結(jié)果可在1-9中找到。這類方程包括著名的Burgers方程(含高階情形，多維情形以及方程組的情形)，KdV方程7（含mKdV，高階KdV，多維情形以及耦合KdV方程組的情形），Benjamin-Bona-Mahony方程,Kuramoto-Sivashinsky方程,粒子物理的方程，Chaffea-Infante反應(yīng)擴(kuò)散方程,Fisher方程（含各種廣義Fisher方程）,水波的Boussinesq方程組及其各

6、種變形等，至少有及十種之多5-6。現(xiàn)以KdV方程為例，驗(yàn)證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的各種精確解，以便于對齊次平衡原則的具體應(yīng)用有個(gè)清楚的了解。例1：對KdV方程9： （4）為使非線性項(xiàng)與最高次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求：m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解： （5）其中,為待定函數(shù)。 將（5）及上述等式代入（4），可得： （6）令 （7）可設(shè)： ，即：c=2 （8）進(jìn)而可得如下關(guān)系： ， （9）利用（7）和（9），（6）可簡化為：令的系數(shù)為零，欲使這些條件成立，只須滿足 （10） （11）由于齊次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假

7、設(shè)（10）、（11）具有如下形式解： （12）其中k，r為待定常數(shù)。， ，代入（10）、（11）可得：或或 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，例2：對KdV方程8： （13）為使非線性項(xiàng)與最高次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解： （14）其中,為待定函數(shù)。 將（14）及上述等式代入（13），可得： （15）令 可設(shè)： ，即：進(jìn)而可得如下關(guān)系：，把上述等式代入（15），化簡可得：令的系數(shù)為零，欲使這些條件成立，只須滿足 （16） （17）由于齊次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假設(shè)（16）、（17）具有如下形式解： （

8、18）其中k，r為待定常數(shù)。，代入（16）、（17）可得：或或 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，。四、齊次平衡原則的解題應(yīng)用小結(jié)齊次平衡原則齊次平衡原則可導(dǎo)出相當(dāng)廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，根據(jù)不同的w的假設(shè)形式如，可得非線性偏微分方程的各種形式的周期解。它實(shí)際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指導(dǎo)原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來。因而，齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點(diǎn)。這一特性已從上述例題中得以驗(yàn)證，而且求出的解具有實(shí)用上和理論意義；另外還可運(yùn)用軟件系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算，操作性較強(qiáng)。齊次平衡原則對于求

9、解非線性數(shù)學(xué)物理方程具有直接、簡潔、步驟分明的特點(diǎn)，是求解非線性數(shù)學(xué)物理方程的便利方法。參考文獻(xiàn)：1.Wang Mingliang.The solitary wave solutions for variant Boussinesq equationsJ physics Latter A.1995.199:169172.2.Wang Mingliang.Exact solations for the Rlw-Burgers equationJ.Matheinatica Applicata.1995.8(1):5155.3.Wang Mingliang.Li Zhibin.Application

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12、ear equationLI SHI GANG( Baotou normal school mathematics science college)Abstract:This text said all together basic thought and steps of an equilibrium principle, and apply in not the square distance of the line mathematics physics solve.This is the innovation of a method of a kind of solution and application, to take square distance of KdV as an example, verifying together an equilibrium principle also borrow it acquires the KdV period of the square distance solution, and can also acquire the solutio