1、第八章計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計第 45 講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理、排列與組合基本問題1 .理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.2 .理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；能解決簡單的實際問題.【基礎(chǔ)檢測】1 .圖書館的一個書架有三層，第一層有 3 本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有 5 本不同的語文知識體系【P96】應(yīng)用稅率統(tǒng)jrjr【學(xué)習(xí)目夯實基礎(chǔ)【P96書，第三層有 8 本不同的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，不同的取法有A.12B.16C.64D120【解析】由于書架上有 3+5+8=16 本書，則

2、從中任取一本書，共有 16 種不同的取法.【答案】B2 .火車上有 10 名乘客，沿途有 5 個車站，乘客下車的可能方式有（）A.105種 B.51種C.50 種 D.以上都不對【解析】每個乘客都有 5 種不同下車方法，相互獨立，故乘客下車的可能方式有10t5X5XX5=5 種.【答案】B3 .將 2 名教師，4 名學(xué)生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A.8 種 B.9 種 C.10 種 D.12 種【解析】分 3 步進(jìn)行：為甲地選一名老師，有 d=2 種選法；為甲地選兩個學(xué)生，有C2=6 種選法；剩下的

3、1 名教師，2 名學(xué)生安排到乙地，有 1 種選法.則不同的安排方案共有 2X6X1=12 種.【答案】D4 .在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理 6 門學(xué)科（3 門理科學(xué)科，3 門文科學(xué)科）中選擇 3 門學(xué)科參加等級考試，小丁同學(xué)理科成績較好，決定至少選擇兩門理科學(xué)科，那么小丁同學(xué)的選科方案有種.【解析】選擇兩門理科學(xué)科，一門文科學(xué)科，有CC1=9 種；選擇三門理科學(xué)科，有 1種，故共有 10 種.【答案】105 .下列等式中成立的有.（填寫序號）Cm=庭 CTm；G+1=G+GAl2=(n+2)(n+1)虐【答案】【知識要點】1 .分類加法計數(shù)原理完

4、成一件事件有 n_類_不同的方案， 在第一類方案中有 m 種不同的方法， 在第二類方案中有優(yōu)種不同的方法，在第 n 類方案中有 m 種不同的方法，則完成這件事情，共有 N=_m+m2+下+m_種不同的方法.2 .分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要分成 n 個不同的步驟_,完成第一步有 m 種不同的方法，完成第二步有優(yōu)種不同的方法，完成第 n 步有 m 種不同的方法，那么完成這件事情共有 N=mm2mn種不同的方法.3 .分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一彳事情的不同方法的種數(shù)，它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立

5、,用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與一分步有關(guān)，各個步驟.相互依存一只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.4 .排列排列的定義：從 n 個不同的元素中任取 m(mcn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的一個排列.(2)排列數(shù)的定義：從 n 個不同的元素中任取 m(mcn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的排列數(shù)，用符號A表示.(3)排列數(shù)公式：Am=n(n1)(n2)(nm+1),這里 n,mCN*,并且mn.(4)全排列：n 個不同的元素全部取出的一個排列，叫做 n 個不同元素的一個全排列，即An

6、=n-(n-1)-(n-2)2-1=n!.于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為5.組合(1)組合的定義： 從 n 個不同的元素中取出 m(mcn)個元素_并成一組_,叫彳從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的一個組合.(2)組合數(shù)的定義：從 n 個不同的元素中取出 m(mcn)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的組合數(shù)，用C表示.n!一_CQm.規(guī)定0!1(4)組合數(shù)的性質(zhì)：cm=_cn-m_；cm+1=cm+卅.組合數(shù)的計算公式Cmnnm!(nm!n(n1)(n2)(nm+1)m(m1)21,這里n,*0mCN,并且 men.Cn=1等典例剖析忤97】考點 1 分

7、類加法計數(shù)原理的應(yīng)用例 1(1)從甲地到乙地每天有直達(dá)汽車 4 班，從甲地到丙地，每天有 5 個班車，從丙地到乙地每天有 3 個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有()A.12 種 B.19 種 C.32 種 D.60 種【解析】分兩類：一類是直接從甲到乙；另一類是從甲經(jīng)丙再到乙，可分兩步.第一類有 m=4 種方法，第二類有 n2=5X3=15 種方法，由分類計數(shù)原理可得：從甲到乙的不同乘車方法 n=n1+n2=4+15=19.【答案】B(2)數(shù)學(xué)老師從一弓測試卷的 12 道選擇題、4 道填空題、6 道解答題中任取 3 道題作分析，則在取到選擇題時解答題也取到的不同取法有種.【解析】分三類：其

8、一是選擇、填空、解答各一道，有 C；2ddi=288 種取法；其二是選擇題 2 道、填空題 0 道、解答題 1 道，有戌&=396 種取法；其三是選擇題 1 道、填空題 0 道、解答題 2道，有 C12c4d=180 種取法，綜上滿足題設(shè)的不同取法種數(shù)為 n=288+396+180=864.【答案】864(3)已知集合昨1,2,3,4,集合 A,B 為集合 M 的非空子集，若對？xCA,yCB,xy 恒成立，則稱(A,B)為集合 M 的一個“子集對”，則集合 M 的“子集對”共有個.【解析】當(dāng) A=1時，B 有 231 種情況；當(dāng) A=2時，B 有 221 種情況；當(dāng) A=3時，B 有 1種情

9、況；當(dāng) A=1,2時，B 有 221 種情況；當(dāng) A=1,3,2,3,1,2,3時，B 均有 1 種情況；所以滿足題意的“子集對”共有 7+3+1+3+3=17(個).【答案】17【點評】利用分類加法計數(shù)原理解題時 2 個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).考點 2 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用例 2(1)有六種不同顏色，給如圖的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720【解析】第一個區(qū)域有 6 種不同的涂色方法，第二個區(qū)域有 5

10、種不同的涂色方法，第三個區(qū)域有4 種不同的涂色方法，第四個區(qū)域有 3 種不同的涂色方法，第六個區(qū)域有 4 種不同的涂色方法，第五個區(qū)域有 3 種不同的涂色方法，根據(jù)乘法原理得不同的涂色方法共有 6X5X4X3X3X4=4320 種.【答案】A(2)從一 1,0,1,2 這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù) f(x)=ax2+bx+c 的系數(shù)，則可組成個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個(用數(shù)字作答).【解析】一個二次函數(shù)對應(yīng)著 a,b,c(aw0)的一組取值，a 的取法有 3 種，b 的取法有 3 種，c 的取法有 2 種，由分步乘法計數(shù)原理知共有 3X3X2=18 個二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù),則

11、 b=0,同上可知共有 3X2=6 個偶函數(shù).【答案】18;6(3)某出版社的 7 名工人中，有 3 人只會排版，2 人只會印刷，還有 2 人既會排版又會印刷，現(xiàn)從 7人中安排 2 人排版，2 人印刷，有幾種不同的安排方法.【解析】第一類：既會排版又會印刷的 2 人全不被選出，即從只會排版的 3 人中選 2 人，有 3 種選法；只會印刷的 2 人全被選出，有 1 種選法，由分步計數(shù)原理知共有 3X1=3 種選法.第二類：既會排版又會印刷的 2 人中選出 1 人，有 2 種選法.若此人去排版，則再從會排版的 3 人中選 1 人，有 3 種選法，只會印刷的 2 人全被選出，有 1 種選法，由分步計

12、數(shù)原理知共有2X3X1=6 種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的 2 人中選 1 人，有 2 種選法，從會排版的 3 人中選 2人，有 3 種選法，由分步計數(shù)原理知共有 2X3X2=12 種選法；再由分類計數(shù)原理知共有 6+12=18 種選法.第三類：既會排版又會印刷的 2 人全被選出，同理共有 16 種選法.所以共有 3+18+16=37 種選法.【點評】利用分步乘法計數(shù)原理解題時 3 個注意點(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.(3)對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.考點 3 組合基本問題例

13、 3 某市工商局對 35 種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有 15 種假貨.現(xiàn)從 35 種商品中選取 3 種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有 2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有 2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有 2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？【解析】可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.(1)從余下的 34 種商品中，選取 2 種有d4=561(種)，某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有 561 種.(2)從 34 種可選商品中，選取 3 種，有區(qū)種或者晨一 C24=C34=598

14、4(種).，某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有 5984 種.(3)從 20 種真貨中選取 1 件，從 15 種假貨中選取 2 件有 C；0C25=2100(種).，恰有 2 種假貨在內(nèi)的不同的取法有 2100 種.(4)選取2件假貨有 Cl。 種， 選取3件假貨有C35種， 共有選取方式C10C25+C35=2100+455=2555(種).至少有 2 種假貨在內(nèi)的不同的取法有 2555 種.(5)選取 3 件的總數(shù)有 C35,因此共有選取方式C35-C35=6545-455=6090(種).，至多有 2 種假貨在內(nèi)的不同的取法有 6090 種.【點評】組合問題常有以下兩類題型變化：6 1)“含

15、有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.7 2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.考點 4 排列基本問題例 4 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù).(1)全體排成一行，其中甲只能在正中間或者兩邊位置.(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.(4)全體排成一

16、行，男、女相間.(5)全體排成一行，男生不能排在一起.(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.(7)排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人.(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有 3 人.【解析】(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲.左、右、中共三個位置可供甲選擇，有A3種，其余 6 人全排列，有 A6種，由乘法原理得A3A6=2160 種.(2)位置分析法，先排最左邊，除去甲外，有 A6種，余下的 6 個位置全排有 N 種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA5種，則符合條件的排法共有A6A!AA!=3720 種.(3)捆綁法：將男生看成一個整體，進(jìn)行全排列，再與其

17、他元素進(jìn)行全排列.共有 A3A5=720 種.(4)插空法：先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有 AH=144 種.(5)插空法：先排女生，然后在空位中插入男生，共有A4A5=1440 種.(6)定序排列：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為 N,第二步，對73A一、甲、乙、丙進(jìn)仃全排列，則為七個人的全排列，因此 A7=NXA?,Nl=其=840 種.(7)與無任何限制的排列相同，有 A7=5040 種.(8)從除甲、乙以外的 5 人中選 3 人排在甲、乙中間的排法有 A3種，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、 乙相鄰的排法有A3A2種.最后再把選出的 3 人的排列插入到

18、甲、 乙之間即可.共有 A3XA2XA3=720種.【點評】排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題，在分析時，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.1.計數(shù)重復(fù)或遺漏的原因在于分類、分步的標(biāo)準(zhǔn)不清，一般來說，應(yīng)檢查分類是否是按元素的性質(zhì)進(jìn)行，分步是否是按事件發(fā)生的過程進(jìn)行.2 .排列與組合的定義相近， 它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).處理排列組合問

19、題的一般思想是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列組合問題的基本方法和原理，要注意積累分類與分步的基本技能.3 .分清問題與元素順序有關(guān)還是無關(guān)，是區(qū)分排列組合問題的原則；搞清解決問題的方法需分步還是需分類，是統(tǒng)計排列與組合問題總數(shù)的依據(jù).圖走進(jìn)高考P984 .(2016全國卷 H)如圖，小明從街道的 E 處出發(fā)，先到 F 處與小紅會合，再一起到【P98】方法總結(jié)位于 G 處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A.24B.18C.12D.9【解析】E-有 6 種走法，F(xiàn) 一 G 有 3 種走法，由乘法原理

20、知，共 6X3=18 種走法.【答案】B5 .（2017天津）用數(shù)字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）【解析】一個數(shù)字是偶數(shù)、三個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有 C1C5A4=960（個），四個數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有A5=120（個），則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有 960+120=1080（個）.【答案】10806 .（2018全國卷 I）從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1 位女生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）【解析】可分兩種情況，只有 1 位女生入選，不同的選法

21、有乙戊=12（種），有 2 位女生21一入選，不同的選法有 GC4=4（種）.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有 1 位女生入選的不同選法有 16 種.【答案】161.如圖所示，從甲地到乙地有 3 條公路可走，從乙地到丙地有 2 條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有 2 條水路可走.則從甲地經(jīng)乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為（）A6,8B,6,6C.5,2D.6,2=6 種;再由分類加法計數(shù)原理，可得從甲地到丙地，共有【解析】由題意, 從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得,共有 2X36+2=8 種走法.00A 組題【答案】A2 .若 Am=2 解，則m的值為（）A.5B.3

22、C.6D.7【解析】根據(jù)題意，若$=2Am,則有mm-1）（m-2）（m-3）（m-4）=2xm（m-1）（m-2）,即（m-3）（m-4）=2,解得：m=5.【答案】A3 .某人的手機號碼為 139Xxxxxxxx,若前六位固定， 最后五位數(shù)字是由 6 或 8 組成的， 則這樣的電話號碼的個數(shù)為（）A.20B.25C.32D.60【解析】依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由 6 或 8 組成，可分 5 步完成，每一步有 2 種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為 25=32.【答案】C4 .元旦假期，高三的 8 名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各兩名

23、，分乘甲，乙兩輛汽車，每車限坐 4 名同學(xué)（乘同一輛車的 4 名同學(xué)不考慮位置順序），其中（1）班兩位同學(xué)是攣生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的 4 名同學(xué)中恰有 2 名同學(xué)是來自同一個班的乘坐方式共有（）A.18 種 B.24 種 C.48 種 D.36 種【解析】由題意，第一類，（1）班的 2 名同學(xué)在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班級中選兩個為 C2=3 種，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學(xué)生為 C1C2=4種，故有 3X4=12 種；第二類，（1）班的 2 名同學(xué)不在甲車上，則從剩下的 3 個班級中選擇一個班級的兩名同學(xué)在甲車上，為 4=3 種，然后再從剩下的兩個班級

24、中分別選擇一人為 dd=4 種，這時共有 3X4=12 種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共有 12+12=24 種不同的乘車方式.【答案】B5. 4 名運動員參加 4X100 接力賽， 根據(jù)平時隊員訓(xùn)練的成績， 甲不能跑第一棒， 乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有（）A.12 種 B.14 種 C.16 種 D.24 種【解析】由于 4 名運動員四棒全排共有&=4X3X2X1=24 種，其中甲跑第一棒的種數(shù)為A3=3X2X1=6;乙跑第四棒的種數(shù)為 A3=3X2X1=6;其中甲跑第一棒， 同時乙跑第四棒的種數(shù)為 A2.則所有不同出場的順序為 H2AUA2=2412+2=14.【答案】B6 .某班舉

25、行的聯(lián)歡會由 5 個節(jié)目組成，節(jié)目演出順序要求如下：節(jié)目甲不能排在第一個，并且節(jié)目甲必須和節(jié)目乙相鄰.則該班聯(lián)歡會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.【解析】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個，當(dāng)甲排在第二、三、四個時，甲乙相鄰，有鹿種排法，將甲乙當(dāng)做一個整體，剩下三個節(jié)目全排列，共 3XA2XA3=36 種；當(dāng)甲排在第五個時，甲乙相鄰，只有一種排法，剩下三個節(jié)目全排列，共 A3=6 種.綜上，編排方案共 36+6=42 種.【答案】427 .兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏 3 局者獲勝，決出勝負(fù)為止，假設(shè)不會出現(xiàn)平局，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有種.【解析】利用分類討論

26、法求解.由題意知比賽場數(shù)至少為 3 場，至多為 5 場.當(dāng)為 3 場時，情況為甲或乙連贏 3 場，共 2 種.當(dāng)為 4 場時，若甲贏，則前 3 場中甲贏 2 場，最后一場甲贏，共有 C2=3 種情況；同理，若乙贏也有 3 種情況.共有 6 種情況.當(dāng)為 5 場時，前 4 場甲、乙各贏 2 場，最后 1 場勝出的人贏，共有 2d=12 種情況.由上綜合知，共有 20 種情況.【答案】208 .在 0,1,2,3,，9 這十個自然數(shù)中， 任取三個不同的數(shù)字.則組成的三位數(shù)中是 3 的倍數(shù)的有個.【解析】若組成的三位數(shù)能被 3 整除，則先把 0,1,2,3,，9,這十個自然數(shù)中分為三組：（0369）

27、;（147）;（258）.若每組中各取一個數(shù)，含 0,共有 dddA2=36 種；若每組中各取一個數(shù)不含 0,共有 01dM=162 種；若從每組中各取三個數(shù)，共有 3Al+C3&=30 種.綜上，組成的能被 3 整除的三位數(shù)共有 36+162+30=228 種.【答案】228B 組題1.某班級有 6 名同學(xué)去報名參加校學(xué)生會的 4 項社團(tuán)活動.若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個社團(tuán)都有人參加，每個人只參加一個社團(tuán)，則不同的報名方案數(shù)為（）A.2160B,13200.2400D,4320【解析】每個社團(tuán)都有人參加有 2 種情況，第一種，有 1 個社團(tuán)有 3 人參加其于 3 個社團(tuán)每個社團(tuán)都是

28、 1 人參加，利用間接法，有（C6C4）,A4=384 種,第二種，有 2 個社團(tuán)分別都有 2 人參加，另外 2 個社團(tuán)都是有 1 人參加，利用間接法,CsCi_24有A2-C4XA=936 種,所以分類加法計數(shù)原理，可得 384+936=1320 種.【答案】B2 .四大名著是中國文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著紅樓夢、三國演義、水滸傳、西游記（每種名著均有若干本）,要求每人只借閱一本名著，每種名著均有人借閱，且甲只借閱三國演義，則不同的借閱方案種數(shù)為.【解析】根據(jù)題意，要求甲借閱三國演義，分 2 種情況討論，乙、丙、丁、戊有 1 人與甲一起借閱三國演義，在 4 人選出 1 人，與甲一起借閱三國演義，有 4 種情況，讓剩下的三人對應(yīng)剩下的三本名著，有 A3=6 種情況，則此時有 4X6=24 種不同的借閱方案；乙、丙、丁、戊中沒有人借閱三國演義，在 4 人選出 2 人，共同借閱除三國演義外的一本名著， 有 d6