1、解線性方程組克默法則作者:日期:第一章 解線性方程組的克拉默 （Gramer）法則解方程是數學中一個基本問題，特別是在中學代數中，解方程占有重要地位，因此這個問題是讀者所熟悉的，譬如說，如果我們知道了一段導線的電阻r ,它的兩端 電位差v ,那么通過這段導線的電流強度i ,就可以由 關系式ir v求出來，這就是通常所謂次方程的問題，在中學代數中,我們解過兒,二元，三元以致四元一次方程組，這一10章和下一章主要就是討論一般的多元一次方程組，即線 性方程組，這一章是引進行列式來解線性方程組， 而下 一章則在更一般的情況下來討論解線性方程組的問題。線性方程組的理論在數學中是基本的也是重要的 內容。對

2、于二元線性方程組a2ixia22x2b2當aia22ai2a2i0時，此方程組有唯一解，即bia22ai2 b2Xi aiia22ai2a2iaiib2a2ibiX2aiia22ai2a2i我們稱ana22 a12 a21為二級行列式，用符號表示為和閏22a12a21aiiai2a2ia22于是上述解可以用二級行列式敘述為：當二級行列式aiai2a2ia22時，該方程組有唯一解，即Xibi ai2b2 a22aii a12,X2aiia2ibib2aiiai2a2ia22對于三元線性方程組有相仿的結論,a2ia22設有三元線性方程組aiiXia12X2a13X3a2iXia22X2a23X3a

3、31X1a32X2a33X3bi b2 b3稱代數式為三級行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33al 3 a22 a31aiia22a33ai2a23a31ai3a21a32aiia23a32ai2a21a33ai3a22a31alia22a33ai2 a23a31al3a21a32a11a23a32al2 a21a33我們有：當三級行列式aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33時，上述三元線性方程組有唯一解，解為Xidid,X2d2 d，X3aiiai2d3a2ia22a31a32bib2b3在這一章中我們要把這個結果推廣到n元線性方程組aiiXia2iX

4、iai2X2a22X2L LaniXian2X2L ainXnL a2nXnL LL annXnbibn的情形biai2ai3aiibiai3b2a22a23d2a21b2 a23b3a32 a33a3ib3a332克拉墨法則現在我們來應用行列式解決線性方程組的問題， 在這里只考慮方程個數與未知量的個數相等的情形，以后會看到這是一個重要的情形, 線性方程組相仿的公式。 本節的主要結果是 定理：如果線性方程組卜面我們將得出與二元和三元aiiXia2iXiai2X2a22X2L LL ainXnaniXian2X2L a2nxL LL annXbb2bn的系數矩陣A的行列式aia12a2ia22M

5、Manian2La1nLa2nMMLannQ)d | A| 0那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數表為did2.x1, x2L L xndddn d其中di是把矩陣A中第j列換成方程組的常數項bi,b2L bn所成的矩陣行列式，即djailLa21LManiLa1,j ibla1,j 1Lalna2,j ib2 a2, j 1 La2nM M M Man,j ibnan,j 1 Lann定理中包含著三個結論：1,方程組有解；2,解是唯一的；3, 解由公式（3）給出，這三個結論是有聯系的，因此證明 的步驟是：把 電，曳L L生 代入方程組，驗證它的確是解 d d d2,假如方

6、程組有解，證明它的解必由公式（3）給出, 在下面的證明中，為了寫起來簡短些，我們盡量用 連加號證明：1把方程組（1）改寫為naijxj b,i 1,2L nj 1首先來證明（3）的確是（1）的解，把 代入第i個方 程，左端為(6)因為a d11 n . dj1aijdjbsAsjd jb1A1jb2 A2jL bn Anj所以adaj jaajnbsAsjs 1a.aijnaij Asjbss 1aijnaij Asjbs j 1naij ( aij Asjbs) j 1根據定理中（6）有dh1 n naij ( aij Asj)bs d s 1 j 1這與第i個方程的右端一致，換句話說，把（

7、3）代入 方程使它們同時變成恒等式，因而（3）確實為方程組 的解2設（C1,C2L Cn）是方程組（1）的一個解，于是有n個naijCjh,i 1,2L nj 1為了證明a 蟲，我們取系數矩陣中第k列元素的 d代數余子式Ak,A2kL Ank,用它們分別乘（7）中n個恒等式；有nAikaij Cj bi Aik ,i 1,2L nj 1這還是n個包等式，把它們加起來，即得n nnAikaij cjbi Aki 1 j 1i 1（8）等式右端等于在行列式d按第k列的展開式中把aik分別換成bi ,因此，它等于把行列式d中第k列換成 bbzL bn ,所得的行列式，也就是dk ,再來看(8)的左

8、端，即n nAk aijCji 1 j 1n naij AkCji 1 j 1n naj AkCjj 1 i 1 n n(aij Aik ) cji 1 j 1naijAkd, j k0,j k所以n n(aij Ak )Cj dCkj 1 i 1于是，(8)即為dck dk,k 1,2L n也就是dkCkk，k 1,2L nd這就是說，如果(q,C2L Cn)是方程組的一個解，它 必為d1 d2. . dn,L L d d d因而方程組最多有一組解 定理通常稱為克拉默法則例解方程組2x1 x2 5x3 x4 8x1 3x2 6x4 92x2 x3 2x45x1 4x2 7x3 6x4 0方程

9、組的系數行列式271476因之可以用克拉默法則，由于d181593 052104716268128511906d205121076108d32113021481965 20627158d4273 09215470所以方程組的唯一解為X3心4, X31,X4 1應該注意，定理只是討論系數矩陣的行列式不 為零時的方程組，它只能應用于這種方程組，至于方程 組的系數行列式為零的情形，將在下一章討論常數項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，顯然，齊次線性方程組總是有解的，因為（0,0 L 0）就是一個解，它稱為零解，對于齊次線性方程組，我們關心 的問題常常是，它除去零解以外還有沒有其他解，或者 說它有沒有非零解，對于方程個數與未知量個數相同的 齊次線性方程組，應用克拉默法則就有定理：如果齊次線性方程組(10)a11x1al2X2a2ixia22X2aniXian2X2L a1n XnL a2nXnL annXn的系數矩陣的行列式|A| 0,那么它只有零解，換 句話說，如果方程組（10）有非零解那么必有|A| 0證明：應用克拉默法則，因為行列式中有一列為零，所以dj 0, j 1,2L n這就是說，它的唯一的解是(0,0L 0)di d2dn,L L d dd例求在什么條件下，方程組X1 x2 0X1 X2 0有非零解根據定理，如果