1、最新Word高三數學模擬卷(二)注意事項:1 .本試卷共160分，考試時間150分鐘.2 .答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應位 置上.1 .已知復數 z = a+bi( a, bC R),若(z+ z )( z z ) =8i ,則 ab的值為2 .已知集合 岫y|y=2x+1, xCR, Nl=1；>,則 Mn2.X| X33 .某人打同一款游戲通關的時間分別為x, 9, 10, 11, 9(單位：min),已知這組數據的平均數為10,則方差為 .4 .某馬戲團有大猩猩 2只，猴子3只，現

2、從中任選3只去外地參加表演， 則大猩猩和猴 子都被選中的概率為 .While W舌7+產I+J15d Whi1«* Print SL(第5題)5 .根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的 S的值為.6 .已知等差數列an滿足a5=2, an=11,則a2 -a2 =.1 ln x7 .函數f(x)=一的定義域為,1 - ln x18 .設向量 a, b 滿足 |a| = |b| = 1, a - b= - - ,則 |a + 2b| =.2 29 .已知F1, F2是雙曲線m 4ym =1(0<m<2)的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且PF, PF是一元二次方程t25t + 5

3、=0的兩根，則 m的值為.10 .已知 Rs, t)在函數f(x)=qr=X2的圖象上運動，則s2+ (t 2) 2 + 731)2+t2的最小值為.兀1411 .對任意的e 0, y ,不等式sn7 +C0s7 >|2x1|恒成立，則實數 x的取 值范圍是.12 .用扇形鐵皮卷成一個圓錐筒 (假設扇形半徑可變化)，已知扇形面積為定值S,要使卷成的圓錐筒體積最大，則該扇形的半徑R為.2 (x1) 2, 0< x<2,13 .設當x>0時，f(x)= 12若函數y= f (| x|) m有4個不同的x零點，則實數 m的取值范圍是 .14 .在ABC, D為BC邊上的一點，

4、且AD平分 ABCW面積，若90° >/ BAO90° C, ACAB,則/ BAC勺取值范圍為 .二、 解答題：本大題共 6小題，共90分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出 必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)已知向量a = (sin x, cos x) , x C 兀，兀.(1)已知b= (1 ,淄)，若a, b所成的角為 了，求x的值；(2)已知 c=(yj3 , 1),記 f(x)=(a+c) (a - 2c),求 f(x)的值域.16 .(本小題滿分14分)如圖，在平彳T四邊形 ABCDK已知直線 Bd平面ABE F為CE

5、的中點.(1) 求證：直線AE/平面BDF(2)若/AEB= 90° ,求證：平面 BDFL平面BCE(第16題)17.(本小題滿分14分)如圖，正方體ABCD ABCD是一個棱長為2的空心蔬菜大棚，由8個鋼結構(地面沒有)組合搭建而成的，四個側面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋.已知 E為 柱AA上一點(不在點A, A處)，EA= t.菜農需要在地面正方形 ABCDJ畫出一條曲線l將菜 地分隔為兩個不同的區域來種植不同品種的蔬菜以加強管理，現已知點P為地面正方形ABCD內的曲線l上任意一點，設 a , B分別為在P點觀測E和D的仰角.(1)若a = B ,請說明曲線l是何種曲線，為什么？

6、(2)若E為柱AA的中點，且 a <3時，請求出點 P所在區域的面積.(第17題)2218 .(本小題滿分16分)已知橢圓C： a2 +b2 = 1(a>b>0)的長軸端點分別為 A, A,橢圓C的離心率為e=2 ,兩條準線之間的距離為9.3(1)求橢圓C的標準方程；兀 兀(2)設P是曲線C上的一點，/ PAA2= a , y ，過A2作A2R± AiP于點R設AR與曲線C交于點Q連接PQ求直線PQ的斜率的取值范圍.19 .(本小題滿分16分)設f(x) = aexa, g(x) = ax x2(a為與自變量x無關的正實數).(1)證明：函數f (x)與g(x)的圖

7、象存在一個公共的定點，且在公共定點處有一條公切線；(2)是否存在實數 k,使彳導f "Iv + a ln x-1>k對任意的xC +8 恒成立？若 axx2存在，求出k的取值范圍，否則請說明理由.20 .(本小題滿分16分)若對任意的nC N*,存在一個常數 M使得anWM成立，則稱 M an-k an+ 2為an的一個上界；若對任意的 nCN , an+1Wa十； 成立，則稱數列an為“凹數列”.(1)求證：任意一個正項等比數列bn為“凹數列”；構造一個正項“凹數列” 6,但數列Cn不是等比數列，并給出證明；(2)設無窮正項數列an的前n項和為3,若1為S的一個上界(nCN*

8、),且數列an為 “凹數列”，一2. 一 *.求證：0< aan+1W (nCN ).n (n+ 1)絕密 啟用前普通高等學校招生全國統一考試（江蘇模擬卷）（數學n （附加題）注意事項:1 .附加題供選修物理的考生使用.2 .本試卷共40分，考試時間30分鐘.3 .答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內.21.【選做題】本題包括 A、B、C共3小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區域 內作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演 算步驟.A.選彳4- 2:矩陣與變換（本小題滿分10分）x222 2x2 y2已知T變換將曲線 C： - +

9、y=1變換為單位圓x+y=1, S變換將曲線 C2： -=1變換為雙曲線x2y2=1,求ST對應的矩陣.B.選彳4 4 4:坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知直線 p ="2 與圓O p =8sin 0相交于 A B兩點,cos 9 一求 OAB勺面積.C.選彳4- 5:不等式選講（本小題滿分10分）1 2 z x y 6J3：255已知實數x, V, z為正實數，求證：x+y+3 4+5+z【必做題】第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時應寫出必要的文字說明、證明 過程或演算步驟.22.（本小題滿分10分）設P, Q為拋物線C: y2 = 4x上的兩點

10、，點P, Q的縱坐標之和為 4.（1）求直線PQ的傾斜角；（2）已知M是拋物線C上的動點，過 M作垂直于x軸的直線，與直線 y=x交于點A,點 B滿足Mb=2Ma,連接OB其中O為原點）交拋物線C于點N,試問：直線 MN否過定點？ 若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.23.（本小題滿分10分）設a, bCR, aw。，a+b>0,數列cr的通項公式為cr = ：（anrbr)(1 wrwn+1), nCN*.令Cr的各項之和為 S+1, fn(a, b) =_Sn±1 .n+1a+ b n(1)計算：fi(a,b),f2(a,b),f3(a,b),驗證不等式f n(a,b)

11、 >對 n=i, 2,3成立；a + b «(2)證明不等式：fn(a, b)> ,并給出等號成立的充要條件.普通高等學校招生全國統一考試(江蘇模擬卷)(二)數學I參考答案及評分標準1. 2 【解析】 由 z= a+ bi ,得 z = a- bi ,因為(z+ z )( z- z ) = 8i ,所以(a+ bi+abi) a+ bi - (a- bi) =4abi=8i,所以 ab= 2.2. y| y>i【解析】因為M= y| y>i,N=x|x_>i= x|x>i,所以MnN=3y| y>i. x+ 9+10+11 + 93. 0.8

12、 【解析】因為這組數據的平均數為10,所以0 =10,解得x5122222= 11,所以這 5 個數據的方差為 :(11 -10) +(9 -10) +(10 -10) +(11 -10) +(9 10) 5= 0.8.4. 190【解析】記2只大猩猩分別為A,B,3只猴子分別為C,D,E,運用枚舉法得從中任意選3只構成的基本事件有 10個，其中大猩猩和猴子都被選中的有9個，所以大猩猩 9 和猴子都被選中的概率為 -.5. 55【解析】i=1時，運行結果為S= 0+12=1, i =2; i=2時，運行結果為 S= 1 + 22=5, i = 3; i=3 時，運行結果為 S= 5+ 32=

13、14, i=4; i=4 時，運行結果為 S= 14 + 42= 30, i=5; i=5時，運行結果為 S= 30+ 52= 55, i=6,退出循環，所以輸出的 S的值 為55.6. 36【解析】設公差為d,因為a5= 2, aii = 11,所以6d=aiia5=9,所以a a?=(a8 + a2)( a8 a2) = 2a5 - 6 d= 36.7.1 e'【解析】要使函數/1 + ln xf(x)= rx 有意義，(1 + In x) ( 1 In x) > 0,>01 In xw。(1 + In x) ( In x 1) w 0,一 1 w ln1 In xwo

14、1/1 + ln x1x<1 e wx<e,所以函數f(x)=、/Fw的定義域為e8 . 4 【解析】|a +2b| =:|a +2b| 2 =a2+4a - b+ 4b2 =，1 2 + 4 =>/3 .9 .孚【解析】因為PF, PF是一元二次方程t25t + 5=0的兩根，所以|PF PE|22=52-4X 5 =45 .因為點 P在雙曲線 2 4 m2 = 1(0< m<2)上，所以 | PF PF| = 2m,所 以2m小，10 .、/5 【解析】 函數f (x) =41 x2的圖象為圓x2+y2=1在x軸上方的部分(包含 x軸上的點)，Ms2+ (t

15、2) 2 +M (s 1) 2+t2表示點P到點M0, 2)的距離與點 P到點 N(1 , 0)的距離之和，即 Ws2+ (t2) 2 +M (s1) 2+t2 =PMF PN> MN=鄧.11. 4, 54+consin 2 e + cos2 e(sin 2 0 + cos2 0)=5 +cos2 8sin 2 01【解析】埼4sin 2 9 + cos2e=9,當且僅當cos2 8sin 2 04sin 2 9cos2 0,即 cos2 0=| , sin 2 0 =1 時取等號，所以 |2x-1| <9,解得一4W x<5. 3312. 43 【解析】由題意知，圓錐母線

16、長為R,設圓錐底面的半徑為為 h,則 r2+h2=R2, 2 % r , R= S,R=1.圓錐筒的體積V=兀r2hTr2-r2, S2r2兀2r6令 r2= t Cu' = S2 3 712t 2=0,u' <0,所以當且僅當S 得 t =F C 3兀St=-FS-,即3兀S71Su= S2r 2兀2r6=S2t-u2t3,令大，此時扇形的半徑Rf=當 0<t <-33兀時，u' >0,當丁一 <t <一時,、/3兀 兀取得最大值，即這個圓錐筒的體積最,313. m|0<1 或 2w m<2因為f (| x|)為偶函數，

17、且當x>0時,【解析】 函數y = f(| x|) m有4個不同的零點等價于 y=f(| x|)的圖象與直線y=m的圖象有4個不同的公共點.2 (x1) 2, 0WxW2,f(x)=+1 x>2所以可以作出函數y= f(x)的圖象如圖所示，由圖可知若函x一. ，3數y = f(| x|) m有4個不同的手點時，則頭數m的取值氾圍是巾0<亦1或萬< n<2.14 . 90 ° , 180° ) 【解析】 設/ BAD= a , / CAD= § .因為/ BAA 90° C,所以 a >90° C, 3 <

18、;90° B.因為 AOAB,所以 B>C,所以 0° < § < a .因為 90° >/ BAD 所以 0° < § < a <90° ,所以 sin a >sin (90 ° C) = cos C, sin 3 <sin (90 ° B) = cos B - 、，11 因為D為BC邊上的一點，且 AAF分 ABC的面積，即S(aaba Sacd,所以c , ADsin a =/ b ADsinB，所以 c sin a=b sin B，所以 c c

19、os CWb cos B 在 ABC中，由正弦定理得 sin Ccos CW sin B cos B,所以 sin 2 CW sin 2 B.因為 3 <90° B,所以 B< 90° B<90° .因為 C<B,所以 C<90° ,所以 2B, 2CC (0 ° , 180° ).因為 sin 2 C< sin 2 B,所以 |2C 90° | 引2 B-90° | ,所以(2C 90° ) 2>(2 B-90° ) 2,所以(2 C+ 2B- 180

20、° )(2 C- 2場>0.因為B>C,所以2C+ 2B- 180° < 0,所以B+ C< 90° ,所以/ BAC勺取值范圍是90 ° , 180 ).15 .【解答】(1)因為向量a=(sin x, cos x) , b=(1 ,a, b所成的角為-y ,所以 a - b= sin x 一m cos x= yj (sinx) 2+ ( cos x) 2 - 12+ (一鏡)2 - cos 兀工，(2分) 3所以 2sin x-4- =1,所以 sin x-T- =1 .(4 分) 332因為 xC Tt,兀，所以 x C 3

21、 ，3，所以 x-3- =- 76 或 x ), (6 分)所以 x=- 6-或 x= -2 .(7 分)(2) f (x) = (a + c) (a 2c) = a2 a c 2c2= (sin x)2+ (cos x)2- (3 sin x- cos x)2(木)2+( 1)2 =7(# sin xcos x) = 72sinx-6- , (9 分)因為 xC Tt,兀，所以 x-6- e , 6- , (11 分)所以一1 wsin<1, (13 分)所以f(x)的值域為 9, 5.(14 分)16.【解答】(1)如圖，連接AC設A(T BD= G連接FG由四邊形 ABC四平行四邊

22、形，得 G是AC的中點.又因為F是CE的中點，所以在 AC計，FG/ AE因為AE平面BDF FG 平面BDF所以AE/平面BDF(7分)(2) 因為/ AEB= 90° ,所以 AE1 BE又因為直線 BC1平面ABE AE平面ABE所以AE! BC又 BS BE= B, BC BE 平面 BCE所以直線AEL平面BCE由(1)知，FG/ AE,所以直線FGL平面BCE因為直線FG平面BDF所以平面 BDFL平面BCR14分)17.【解答】(1)如圖(1),連接 PA PD 則/ EPA= " , / DPD= (3 .(第 17 題(1)因為 a = B ,所以 tan

23、 a =tan (3 , (2 分) AE DD t 22八所以 PA="DP '所以 pa =Pd,所以 P> t .PA (3 少) I f L/1I f I L/I,2- -_令-=X >1,則 PD-入 PA(4 分)如圖(2),建立平面直角坐標系,0)D(0 , 2),設 Rx, y),則山2+ (y2) 2 =入山”2，(5 分)化簡得X2+222 12y一1_ 入2=入，所以P點的軌跡，即曲線l是在正方形ABC咕的一段圓弧.(7分)(2)由(1)知當E為柱AA的中點時，t = 1,所以入=2,(1)中圓的方程為x2+2 242y+3=3，(8 分)因

24、為 a < (3 ,所以 tan a <tan所以AA<PD，所以PA<京，所以Pa2PA （10分） I / I L/I / I L/2外,（12 分）所以點P在圓弧x2+ y+-3分)所以點P所在區域的面積為14162班 108+6>/3-8%* 3 =27.（1418.【解答】(1) 由橢圓C的離心率為,兩條準線之間的距離為9,得c 2a= 3，2a2T=9a2 = b2+c2,（2分）令 c=2k,a=3k（k>0）,則 b=m k ,代入至2c9,得 k=1,所以a= 3, b=5 ,所以橢圓C的標準方程為2%=1.（4分）(2)設直線A1P的斜率

25、是k,則（6分）設P, Q的坐標分別是(xi, y1),（x2, y。，則直線AP的方程是y=k(x+3),22x y一十 -= 1,由9 5消去y,得y=k （x+3）,（9 k2+ 5） x2 + 54k2x+ 9（9 k25） =0, （8 分）（10 分）3 （5 9k2） x1=5 +9k230 k y1= 5+9k2,解得同理，得所以因為所以19.3 (95k2) x2=9+5k230k y2=9TkPQ= 0 x1 x21 g( k)= kk(12 分)30k30k5+9k29+5k2：7"：. 2.3 (59k)3 (95k )51八府(k-k ), (15 分)5

26、9k29 5k2在1 ,小上單調遞增,kpQC 0, 5213 I16【解答】（1）因為2x2的圖象存在一個公共的定點. .x因為 f （ x） = ae , 處有一條公切線，為直線（2）假設存在實數分）0f(0) = ae a= 0, g(0)q。，0).(2g' (x) =a 2x,y=ax.(4 分)f (x) + k,使得分）所以f'（0）a一 Inx=0,所以 f(x)=aea, g(x) = ax=a, g' (0)=a,所以在定點 Q0 , 0）kx - 1>-x對任意的1x+8恒成立,即存在實數k,使得k<ex-x In x-x對任意的xC1

27、2, +°°恒成立. （5分）令 h( x) = ex x Inx x, xC1- -koo2'則 h' ( x) = ex- lnx- 2, xC1-1-002'(6分)令 mjx) = ex In x 2, xC+ oo皿，x 1 xex1則 m(x) = ex =1,xe 2, +8(8分)xx1令 y= xe -1,則 y' = e (1 + x)>0 在 x C (2+ 8）上恒成立,所以y= xex 1在xC12'+ OO上單調遞增.(10 分)因為2 e1 =1e 222<01 1>0,1所以存在唯一實

28、數xqC 2, 1,使得 x°ex。一 1=。，即 ml （x。）：。，且 xd=e x。,所以h' （x）在X0處取得最小值h (x。) = ex。- ln x。一 2 = ex。- ln e Xo 2 = ex。+ x。一2>e2 +2 2 =市>。,-2 =ve -(12 分)所以h(x)在 xC12, +8上單調遞增,所以1 h(x)>h 2 In 2 -1=Ve +2.(14分）因為k<exx ln1x-x對任意的xC 2,+°° 恒成立，所以k<Ve Tln 2 -1_2，所以存在keln 2 -1f (x) +

29、aaxIn x 1>k對任意的x1一、xC 5, +°0 恒成立.（16分）20.【解答】（1）設正項等比數列bn的公比為q,則bn+1 bn+ bn+2_2=bnq一2bn + bnq(q1) 2= -bn-" 2"所以正項等比數列"為“凹數列”.(2分)設Cn=dn+en,其中 & , en分別為兩個正項等比數列,公比分別為q1, q2且 q1 wq2,顯然 Cn>0( n C N ),Cn+ Cn+ 2=(dn+ 1 + en+ 1)(dn+ en) + ( dn+2+ en+2)dn+1 dn+ dn+2+ (a+1 en+

30、en+2dnq1 2dn+ dnq1enq2一2en + enq2dn(qL 1 ) 22(q21)n22-W。,所以正項數列Cn為“凹數列”.（4分）卜面證明：正項數列Cn不是等比數列.若Cn是等比數列，則(dn+1+en+1)2=(dn+en) ( & + 2+ 8+2)(nl N *)所以 dn + 1 + en+1 + 2dn+1en+1 = dndn+2 + enSn + 2+ dnei+2+ dn+2en(nCN*),因為數列a, en分別為兩個正項等比數列，所以 dn + 1 = dndn+2, Sn+1 = enen+2,所以 2dn+ien+1 = dnen+2+dn

31、+2en,22所以 2dnenqiq2= dnenC|2 + dnenqi ,因為 dnenW0,所以 2qiq2=q： +q；,所以(q2qi) 2= 0,所以 q2=qi,與 qiWq2 矛盾，所以數列 6不是等比數列.(6分) *(2) 右存在一個常數 kCN ,使得 ai>a2>a3>3> ak,但 ak<ak+i, (7 分)將 an+iWanan+2 (nCN*)中的 n 換成 k,得 ak+i w akak+2 ,進一步得 ak+i- ak< ak+2- ak + 1.由不等式的傳遞性得，ak+i<ak+2, (8分)同理可得， ak+

32、2<ak+3<ak+4<<an<，以 ak<ak+ i<ak+2 <ak+ 3<ak+ 4<" , , < an<, , ",所以數列a從ai項到ak項遞減，從ak項開始向后遞增，所以 ai + a2+ ak1+ak+ak+i + an>n&.(10 分)因為正常數k是固定的，且ak>0,所以當n足夠大時，必有 ai + a2+ an>1(n>k),與題設ai + a2+ an< 1矛盾，所以an不可能從某一項開始遞增，所以 an-an+i>0( nN*).(

33、12 分)令 bk = ak ak+i(k e n ), ak= bk+ ak+i( ke n ),由 ak+1 ak w ak+2 ak+1,得 bk > bk+i, bk > 0( k e n ),所以 1 > ai + a2 + a3+ + an= (bi+ a2) +a2+ a3+ an= bi+ 2a2+ a3+ an=bi+2(戾+a) + a3+ an=bi+2b2+38+ + an=bi + 2b2+ +(n- 1) bn i + nan=bi + 2b2+ +(n 1) b i + n(bn + an+i)=bi + 2b2+ +(n i) bn i + n

34、tn+ nan+i> bi + 2b2+ +(n i) b i + nbn>bn+2bn+- +n (n+ i)=i +2+ (ni) + nb=2bn,一2一所以bnWnTk對一切MN成立.綜上，對一切 nCN*, 0< an-an+i<-2成立.(i6 分) n (n+i)）（二）2020年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇模擬卷數學n （附加題）參考答案及評分標準21. A.【解答】因為T變換將曲線C:2=1變換為單位圓+ y2=1,所以x2'所以T變換對應的矩陣為1M= 2.（3 分）=y，因為s變換將曲線22G：1一=1變換為等軸雙曲線_y2=1,x所

35、以（6分）3,所以T變換對應的矩陣為 y5，所以變換ST對應的矢!陣為NM=01.（102分）B.【解答】 以極點為坐標原點，極軸為x軸,建立平面直角坐標系,兀p cos 0 cos + p sin0 sin - =y/2 ,將直線p =虛化為普通方程得 兀cos 0 4即 x+y2=0, （3 分） 將圓Q p=8sin 0化為普通方程得 x2+y2-8y=0,即 x2+（y 4）2=16.（6 分）因為圓心 Q0, 4）到直線x + y2=0的距離為d= |0+三2| =，2 ,所以 AB= 2r2-d2 =2>/16-（啦）2 = 2/ ,（9 分）11所以 OAB勺面積為2 AB d= 2 X2/ xy2 =24.（10分）C.【解答】，（3分）因為實數x，v，z為正實數,所以+2 +13x y 64 +5 +z所以x+y+3>3(9分)因為中的等號不同時成立,所以x y 69 ：254+5+z >5.(10 分)$2t 222.設 P*, s , Q，t (swt),因為P與Q的縱坐標之和為4,所以S+t =4. 一 兀t s 4又直線PQ勺