1、2021年全國統一高考數學試卷理科全國卷I 、選擇題共12小題,每題5分,總分值60分9,全集U=AU B,那么集5 分設集合 A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8, 合？U An B中的元素共有2.3.A. 3個B. 4個C. 5個D.5分乏 =2+i,那么復數z二1+1A. - 1+3iB. 1 -3iC. 3+iD.3-i5分不等式|當|<1的解集為X-!A. x| 0<x< 1 Ux|x>1B. x|0<x<1D. x|x<0C. x| - 1<x<04.225分雙曲線三-4二1 a>0, / b2b>0

2、的漸近線與拋物線y=x2+1相切,那么該雙曲線的離心率為B. 2C.二5.5分甲組有5名男同學,3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學.假設從甲、乙兩組中各選出2名同學,那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選A. 150種B. 180種C. 300 種D. 345 種的射影D為BC的中點,那么異面直線A :6. 5分設為、b、c是單位向量,且=0,那么a-c?b-c的最小值為C. - 1A. - 2Ai在底面ABC上7. 5分三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等,AB與CC所成的角的余弦值為C .一C.48. 5分如果函數y=3cos"的圖象關于點號,.中央對稱,那么1

3、4 的最小值為A B C D 64329. 5分直線y=x+1與曲線y=ln x+a相切,那么a的值為A. 1B, 2C. - 1D. - 210. 5分二面角a- l- B為6.°,動點P、Q分別在面a、B內,P到B的 距離為我,Q到a的距離為2/,那么P、Q兩點之間距離的最小值為A. 1B. 2C.不D. 411. 5分函數f x的定義域為R,假設f x+1與f x-1都是奇函數,那么 A.fx是偶函數B.fx是奇函數C.fx=f x+2D.fx+3是奇函數212. 5分橢圓C:5-+y2=1的右焦點為F,右準線為I,點AC I,線段AF交C于點B,假設瓦=3而,那么|而|=A.

4、二B. 2C.三D. 3二、填空題共4小題,每題5分,總分值20分13. 5分x-y 10的展開式中,x7y3的系數與x3y7的系數之和等于.14. 5分設等差數列an的前n項和為Sn,假設S9=81,那么m+%+a8=.15. 5分直三棱柱ABC- A1B1C1的各頂點都在同一球面上,假設 AB=AC=AA=2, /BAC=120,那么此球的外表積等于 .16. 5分假設微-冀g,那么函數y=tan2xtan3x的最大值為. HIJ三、解做題共6小題,總分值70分17. 10分在 ABC中,內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 求

5、 b.18. 12分如圖,四棱錐 S ABCD中,底面ABCD為矩形,SD,底面ABCRAD=/it DC=SD=2 點 M 在側棱 SC上,/ ABM=60I證實：M是側棱SC的中點；H求二面角 S- AM-B的大小.19. 12分甲、乙二人進行一次圍棋比賽,約定先勝 3局者獲得這次比賽的勝 禾I,比賽結束,假設在一局中,甲獲勝的概率為 0.6,乙獲勝的概率為0.4, 各局比賽結果相互獨立,前 2局中,甲、乙各勝1局.I求甲獲得這次比賽勝利的概率；R設士表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數,求 己的分布列及數學期 望.20. (12分)在數列an中,ai=1, an+i= (1+) an+

6、三工. n 2n(1)設bn求數列 bn的通項公式； n(2)求數歹1an的前n項和Sn.21. (12分)如圖,拋物線 E： y2=x與圓M： (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四個點.(I )求r的取值范圍；(II)當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線 AG BD的交點P的坐標.22. (12分)設函數 f (x) =x3+3bx2+3cx有兩個極值點 x1、X2,且 x C T , 0, X2e1, 2.(1)求b、c滿足的約束條件,并在下面的坐標平面內,畫出滿足這些條件的點 (b, c)的區域；(2)證實：-io4f (工2)<4 . fad202

7、1年全國統一高考數學試卷理科全國卷I 參考答案與試題解析一、選擇題共12小題,每題5分,總分值60分1. 5 分設集合 A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8, 9,全集 U=AU B,那么集合？U An B中的元素共有A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個【考點】1H:交、并、補集的混合運算.【分析】根據交集含義取A、B的公共元素寫出AH B,再根據補集的含義求解.【解答】解：AU B=3, 4, 5, 7, 8, 9,AH B=4, 7, 9 a ?u AH B =3, 5, 8應選 A.也可用摩根律：?u APB = ?uA U ?uB應選：A.【點評】此題考查集合的根本

8、運算,較簡單.2. 5分工 =2+i, WJ復數z=1+iA. 1+3iB, 1 -3iC. 3+iD. 3-i【考點】A1:虛數單位i、復數.【分析】化簡復數直接求解,利用共腕復數可求 z.【解答】解：=l+i-2+i=l+3i, . z=1-3i應選：B.【點評】求復數,需要對復數化簡,此題也可以用待定系數方法求解.3. 5分不等式|當|<1的解集為 x-lA. x| 0<x< 1 Ux|x>1B. x|0<x<1C. x| - 1<x<0D. x|x< 0【考點】7E:其他不等式的解法.【分析】此題為絕對值不等式,去絕對值是關鍵,可利

9、用絕對值意義去絕對值, 也可兩邊平方去絕對值.【解答】解：: |史L|<1, x-l|x+1| <| X- 1| , . X2+2x+1<x2-2x+1.x< 0.不等式的解集為x|x< 0.應選：D.【點評】此題主要考查解絕對值不等式, 屬基此題.解絕對值不等式的關鍵是去 絕對值,去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方.4. 5分雙曲線£-4=1 a>0, b>0的漸近線與拋物線y=x2+1相切,那么該雙曲線的離心率為A.三B. 2C.二D. 7【考點】KC雙曲線的性質；KH:直線與圓錐曲線的綜合.【專題】11:計算題.【分析】

10、先求出漸近線方程,代入拋物線方程,根據判別式等于0,找到a和b的關系,從而推斷出a和c的關系,答案可得.22k【解答】解：由題雙曲線三號la>0, b>0的一條漸近線方程為 聲, a2a代入拋物線方程整理得ax2 - bx+a=0, 因漸近線與拋物線相切,所以b2 - 4a2=0,即小二5a應選：C.【點評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線的離心率,根底題.5. (5分)甲組有5名男同學,3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學.假設 從甲、乙兩組中各選出2名同學,那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選 法共有()A. 150 種B. 180 種C. 3

11、00 種D. 345 種【考點】D1:分類加法計數原理；D2:分步乘法計數原理.【專題】5O:排列組合.【分析】選出的4人中恰有1名女同學的不同選法,1名女同學來自甲組和乙組 兩類型.【解答】解：分兩類(1)甲組中選出一名女生有 Cs/cb,gJzzs種選法；(2)乙組中選出一名女生有 C52?C61?C21=120種選法.故共有345種選法.應選：D.【點評】分類加法計數原理和分類乘法計數原理, 最關鍵做到不重不漏,先分類, 后分步！6. (5分)設為、b、c是單位向量,且=0,那么(a-c)? (b-c)的最小值為(A. - 2B. V2- 2C. - 1【考點】9O:平面向量數量積的性質

12、及其運算.【專題】16:壓軸題.【分析】由題意可得I a+b | =V2,故要求的式子即 a*b - ( a+b) ?c+7 = 1 - la+ITcl cos<a+ir , c>=1 -V2cos<a+V , 再由余弦函 數的值域求出它的最小值.【解答】解：:君、E、c是單位向量,a*b=0, . . a_L b, | a+b | =/2 . (a-c)?(b-c) = ab- ( a+b) ? c+2=0 - (a+b) ?c+1=1 - | a+b | * | c |cos.=1-&COS<Z+F ,C>> 1/2.應選：D.【點評】考查向量的

13、運算法那么；交換律、分配律但注意不滿足結合律.7. 5分三棱柱ABC- A1B1C1的側棱與底面邊長都相等,Ai在底面ABC上的射影D為BC的中點,那么異面直線AB與CC所成的角的余弦值為【考點】LO:空間中直線與直線之間的位置關系.【分析】首先找到異面直線AB與CC所成的角如/AAB;而欲求其余弦值可 考慮余弦定理,那么只要表示出 A1B的長度即可；不妨設三棱柱 ABC- A1B1C1 的側棱與底面邊長為1,利用勾股定理即可求之.【解答】解：設BC的中點為D,連接A1D、AD A1B,易知8 h A1AB即為異面 直線AB與CG所成的角；并設三棱柱 ABC- A1B1C1的側棱與底面邊長為1

14、 ,那么| AD|斗,| AQ| 4 ,|A1B| 亨1 + 1 _由余弦定理,得cose一3 應選：D.【點評】此題主要考查異面直線的夾角與余弦定理.4718. 5分如果函數y=3cos2x+|的圖象關于點* , 0中央對稱,那么|小|D.7T7的最小值為A 6【考點】HB:余弦函數的對稱性.【專題】11:計算題.【分析】先根據函數y=3cos2x+|的圖象關于點紀0中央對稱,令x=!二 33代入函數使其等于0,求出小的值,進而可得|加的最小值.【解答】解：二函數y=3cos 2x+|的圖象關于點更,0中央對稱.兀+言 巾二k兀當LkE Z由此易得|01瓶小=卷應選：A.【點評】此題主要考查

15、余弦函數的對稱性.屬根底題.9. 5分直線y=x+1與曲線y=ln x+a相切,那么a的值為 . 1B, 2C. - 1D. - 2【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程.【分析】切點在切線上也在曲線上得到切點坐標滿足兩方程；又曲線切點處的導數值是切線斜率得第三個方程.【解答】解：設切點 P x°, y°,那么 y0=x0+1, y0=ln x0+a,x0+a=1 y0=0, x0= - 1 a=2.應選：B.【點評】此題考查導數的幾何意義,常利用它求曲線的切線10. 5分二面角a- l- B為60°,動點P、Q分別在面a、B內,P到B的距離為“,Q到a的距

16、離為2V3,那么P、Q兩點之間距離的最小值為A. 1B, 2C.三D. 4【考點】LQ:平面與平面之間的位置關系.【專題】11:計算題；16:壓軸題.【分析】 分另1J作QA± a于A, AC±l于C, PB± B于B, PD,l于D,連CQ, BD 那么/ACQ之PBD=60,在三角形APQ中將PQ表示出來,再研究其最值即可.【解答】解：如圖分另I作 QA,a于 A, AC±l 于 C, PBX 0于 B, PD± l 于 D,連 CQ BDWJ/ACQ之 PDB=60, AQ=2Vs BP二審,又.二' -''

17、9;'-當且僅當AP=0,即點A與點P重合時取最小值.應選：C.【點評】此題主要考查了平面與平面之間的位置關系,以及空間中直線與平面之間的位置關系,考查空間想象水平、運算水平和推理論證水平,屬于根底題.11. (5分)函數f (x)的定義域為R,假設f (x+1)與f (x-1)都是奇函數,那么A. f (x)是偶函數B. f (x)是奇函數C. f (x) =f (x+2)D. f (x+3)是奇函數【考點】3I:奇函數、偶函數.【專題】16:壓軸題.【分析】首先由奇函數性質求f (x)的周期,然后利用此周期推導選擇項.【解答】解：= f (x+1)與f (x- 1)都是奇函數,函數

18、f (x)關于點(1, 0)及點(-1, 0)對稱,.f (x) +f (2-x) =0, f (x) +f (-2-x) =0,故有 f (2-x) =f ( - 2 x),函數f (x)是周期T=2- (-2) =4的周期函數.f ( - x- 1+4) =- f (x- 1+4),f (-x+3) =-f (x+3),f (x+3)是奇函數.應選：D.【點評】此題主要考查奇函數性質的靈活運用,并考查函數周期的求法.212. (5分)橢圓C: +y2=1的右焦點為F,右準線為1,點AC 1,線段AF交C于點B,假設FA=3FB,那么|正產()B. 2D. 3【考點】K4:橢圓的性質.【專題

19、】11:計算題；16:壓軸題.【分析】過點B作BMx軸于M,設右準線l與x軸的交點為N,根據橢圓的性 質可知FN=1,進而根據包二3而,求出BM, AN,進而可得| AF| .【解答】解：過點B作BMx軸于M,并設右準線l與x軸的交點為N,易知FN=1.由題意前;3同,故FM,故B點的橫坐標為,縱坐標為土 333即BM,3故 AN=1,Iaf|=V2.應選：A.【點評】本小題考查橢圓的準線、向量的運用、橢圓的定義,屬根底題.二、填空題共4小題,每題5分,總分值20分13. 5分x-y 10的展開式中,x7y3的系數與x3y7的系數之和等于-240 .【考點】DA:二項式定理.【專題】11:計算

20、題.【分析】首先要了解二項式定理：a+b JGOanbO+CnZnrbOCnZanIb'+Cnran- rbr+Gna0bn,各項的通項公式為：Tr+1=Granrbr.然后根據題目求解即可.【解答】解：由于x-y10的展開式中含x7y3的項為G03x103y3- 13=-G03x7y3, 含 x3y7 的項為 G07x10 7y7 T 7= - C107x3y7.由Ci03=G07=120知,x7y3與x3y7的系數之和為-240.故答案為-240.對于公式：a+b n=Ci0anb0+Ci1an【點評】此題主要考查二項式定理的應用問題,1b1+Cn2an 2b2+Cnran rbr

21、+Cnna0bn,屬于重點考點,同學們需要理解記憶.14. 5分設等差數列an的前n項和為0,假設3=81,貝U a2+as+a8= 27【考點】83:等差數列的性質；85:等差數列的前n項和.【分析】由S9解得a5即可. a5=9 a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【點評】此題考查前n項和公式和等差數列的性質.15. 5分直三棱柱ABC- A1B1G的各頂點都在同一球面上,假設 AB=AC=AA=2, /BAC=120,那么此球的外表積等于 20冗.【考點】LR球內接多面體.【專題】11:計算題；16:壓軸題.【分析】通過正弦定理求出底面外接圓的半徑,設此圓圓心為O',球心為

22、O,在RT OBO中,求出球的半徑,然后求出球的外表積.【解答】 解：在 ABC中AB=AC=2 /BAC=120,可得：不由正弦定理,可得 ABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為 O',球心為O,在RT2OBO中,易得球半徑二,故此球的外表積為4冗聲=20幾故答案為：20冗【點評】此題是根底題,解題思路是：先求底面外接圓的半徑,轉化為直角三角 形,求出球的半徑,這是三棱柱外接球的常用方法；此題考查空間想象水平, 計算水平.16. 5分假設三工,那么函數y=tan2xtan3x的最大值為-842【考點】3H:函數的最值及其幾何意義；GS:二倍角的三角函數.【專題】11:計算題；16:壓軸

23、題.【分析】見到二倍角2x就想到用二倍角公式,之后轉化成關于 tanx的函數,將tanx看破成整體,最后轉化成函數的最值問題解決.【解答】解：令tanx=t,n .32tan%y=tan2Ktan -1-tan x故填：-8.【點評】此題主要考查二倍角的正切,二次函數的方法求最大值等,最值問題是 中學數學的重要內容之一,它分布在各塊知識點,各個知識水平層面.以最 值為載體,可以考查中學數學的所有知識點.三、解做題共6小題,總分值70分17. 10分在 ABC中,內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,a2 - c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 求 b.【考點】HR余弦定理.

24、【分析】根據正弦定理和余弦定理將 sinAcosC=3cosAsin叱成邊的關系,再根據 a2-c2=2b即可得到答案.【解答】 解：法一：在 ABC中sinAcosC=3cosAsinC那么由正弦定理及余弦定理有：a 2ab -3 2bc C,化簡并整理得：2 (a2-c2) =b2.又由 a2 - c2=2b ,. 4b=b2.解得b=4或b=0 (舍)；法二：由余弦定理得：a2 - c2=b2 - 2bccosA又 a2-c2=2b, bw0.所以 b=2ccosA+2又 sinAcosC=3cosAsinCsinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCs i1A+C) =4co

25、sAsinC即 sinB=4cosAsinCft正弦定理得 sinB=sinC, c故b=4ccosAD由,解得b=4.【點評】此題主要考查正弦定理和余弦定理的應用.屬根底題.18. (12分)如圖,四棱錐 S ABCD中,底面ABCD為矩形,SD,底面ABCR AD=/2, DC=SD=2 點 M 在側棱 SC上,/ ABM=60(I)證實：M是側棱SC的中點；(H)求二面角 S- AM-B的大小.SB【專題】11:計算題；14:證實題.【分析】(I )法一：要證實M是側棱SC的中點,作MN / SD交CD于N,作NEE± AB 交 AB 于 E,連 ME、NB,那么 MN 上面

26、ABCD MEXAB, =AD二加設 MN=x, WJ NC=EB=x解RTAMNE即可得x的值,進而得到M為側棱SC的中 點；法二：分別以DA、DC、DS為x、v、z軸如圖建立空間直角坐標系 D-xyz,并求 出S點的坐標、C點的坐標和M點的坐標,然后根據中點公式進行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、v、z軸如圖建立空間直角坐標系 D-xyz,構造 空間向量,然后數乘向量的方法來證實.(H)我們可以以D為坐標原點,分別以DA、DC DS為x、y、z軸如圖建立空 間直角坐標系D-xyz,我們可以利用向量法求二面角 S- AM-B的大小.【解答】 證實：(I )作MN / SD交CD于N,

27、作NE±AB交AB于E,連 ME、NB,那么 MNL面 ABCD MEXAB, NE=AD二W設 MN=x, WJ NC=EB=x在 RTMEB中,/MBE=60 . .在 RIA MNE 中由 ME2=nW+MN2； 3x2=x2+2解得x=1,從而 ro=-SD '- M為側棱SC的中點M .(I)證法二：分別以 DA、DG DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系 D- xyz,那么 A(表, 0, 0), B(&, 2, 0), C(O, 2, 0), S(0, 0, 2_設 M (0, a, b) (a>0, b>0),那么：. ,一, ,一 .

28、:,cos<由題得二,豆 # SC'幺匕2)_即,2*V(a-2) £ + b2+2 22 4 2(b-2)解之個方程組得a=1, b=1即M (0, 1, 1)所以M是側棱SC的中點.(I)證法三：設sff=XMC,那么'l/ '1+ 九 1+ A1+ 九 1+ A又廣, ；.1"故“,： U|一 . 11-,即京?2222+備備)'解得人=1所以M是側棱SC的中點.H由I得 1H0, L 1,冠二衣,-1, -1,又- . .：,.,設. . . 1.工2分別是平面SAM、MAB的法向量,n,'MA=0 那么,一即,%

29、9;AS=0亞勺一V1一£ 1n9 pMA=0且1二一,-AB=0=0且2乃二 0分別令町二功士加得 zi=1, yi=1, Y2=0, Z2=2,即叫二L 1,0,2, 一 一、星空一遍Cii七F而角S- AM - B的大小 兀A E B【點評】空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦 值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；19. (12分)甲、乙二人進行一次圍棋比賽,約定先勝 3局者獲得這次比賽的勝 禾I,比賽結束,假設在一局中,甲獲勝的概率為 0.6,乙獲勝的

30、概率為0.4, 各局比賽結果相互獨立,前 2局中,甲、乙各勝1局.(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率；(R)設士表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數,求 己的分布列及數學期 望.【考點】C8:相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CG:離散型隨機變量及其分布列；CH:離散型隨機變量的期望與方差.【專題】11:計算題.【分析】(1)由題意知前2局中,甲、乙各勝1局,甲要獲得這次比賽的勝利需 在后面的比賽中先勝兩局,根據各局比賽結果相互獨立,根據相互獨立事件 的概率公式得到結果.(2)由題意知己表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數,由上一問可知己的可能取值是2、3,由于各局相互獨立,得到變量

31、的分布列,求出期望.【解答】解：記Ai表示事件：第i局甲獲勝,(i=3、4、5)B表示第j局乙獲勝,j=3、4(1)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利,.前2局中,甲、乙各勝1局,甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局, B'AgAzt+BaAziAs+AsB4 A5由于各局比賽結果相互獨立, .P (B) =P (A3A4) +P (B3A4A5) +P (A3B4A5)=0.6X 0.6+0.4 X 0.6 X 0.6+0.6X 0.4 X 0.6=0.648(2)己表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數,由上一問可知己的可能取值 是2、3由于各局相互獨立,得到 己的分布列

32、P ( E =2 =P (A3A4+B3B4) =0.52P(己=3 =1 p(己=2 =1- 0.52=0.48EE =2 0.52+3X0.48=2.48.【點評】認真審題是前提,局部考生由于考慮了前兩局的概率而導致失分,這是很可惜的,主要原因在于沒讀懂題.另外,還要注意表述,這也是考生較薄 弱的環節.20. (12分)在數列an中,ai=1, an+i= (id) an©k n 2n(1)設bn=-,求數歹I bn的通項公式；(2)求數歹1an的前n項和S.【考點】8E:數列的求和；8H:數列遞推式.【專題】11:計算題；15:綜合題.【分析】(1)由得%?=%+1,即bn+1

33、=bnd,由此能夠推導出所求的通 n+1 n 2n2n項公式.(2) 由題設知 an=2n 故 Sn= (2+4+, +2n) - ( 1+ + +-+-+一t) 2 2 22設%=1+4+4+4»一由錯位相減法能求出 Tn=4-嚕.從而導出 21 22 232n-12n-1數列an的前n項和Sn.【解答】解：(1)由得bi=ai=1,且%+1=%+J_, n+1 n 2n即 bn+1 =bn+-,b2=bi+,b3=b2+,22bn=bn i+ (n12).于是 bn=bi+j-+-+-=2 - 1(n>2).2 Q2 n11-1又 bi=i,故所求的通項公式為bn=2-.2

34、*t(2)由(i)知 an=2n-2n-1故&= (2+4+- +2n) - ( i心g+4r+9n=+ 勺 + *+-； + 門,c 22 22 2320T 2n-得,1丁/1111nWTn=i V+r +7+n222223211-12nSn=n (n+i) n-n2n,4.【點評】此題考查數列的通項公式和前 n項和的求法,解題時要注意錯位相減法的合理運用.21. (i2分)如圖,拋物線 E： y2=x與圓M： (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于 A、B、C、D四個點.(I )求r的取值范圍;(II)當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線 AC BD的交點P的坐標.r

35、【考點】IR:兩點間的距離公式；JF:圓方程的綜合應用；K8:拋物線的性質.【專題】15:綜合題；16:壓軸題.【分析】(1)先聯立拋物線與圓的方程消去 y,得到x的二次方程,根據拋物線 E： y2=x與圓M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四個點的充要條 件是此方程有兩個不相等的正根,可求出 r的范圍.(2)先設出四點A, B, C, D的坐標再由(1)中的x二次方程得到兩根之和、 兩根之積,表示出面積并求出其的平方值,最后根據三次均值不等式確定得 到最大值時的點P的坐標.【解答】解：(I)將拋物線E: y2=x代入圓M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0)的方程, 消去 y2