1、初中數學數的整除性精選題練習及答案閱讀與思考設a, b是整數,bw0,如果一個整數q使得等式a = bq成立,那么稱a能被b整除,或稱b整除a ,記作b |a ,又稱b為a的約數, 而a稱為b的倍數.解與整數的整除相關問題常用到以下知識：1.數的整除性常見特征：假設整數a的個位數是偶數,那么 2|a；假設整數a的個位數是0或5,那么5|a；假設整數a的各位數字之和是 3或9的倍數,那么31a或9|a；假設整數a的末二位數是4或25的倍數,那么41a 或25|a；假設整數a的末三位數是8或125的倍數,那么81a或I25|a；假設整數a的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數,那么111a.

2、2.整除的根本性質設a , b , c都是整數,有：假設 a|b , b|c,那么 a|c；假設 c|a , c|b ,那么 c|a ± b；假設 b |a , c| a ,那么b , c| a ；假設b|a, c|a ,且b與c互質,那么 bc|a；假設a|bc ,且a與c互質,那么a|b .特別地,假設質數 p |bc ,那么必有p |b或p |c.例題與求解【例1】在1,2, 3, , , 2 000這2 000個自然數中,有 個自然數能同時被 2和3整除,而 且不能被5整除.“五羊杯競賽試題解題思想：自然數n能同時被2和3整除,那么n能被6整除,從中剔除能被5整除的數,即為所

3、求.【例2】a , b是正整數a > b,對于以下兩個結論：在a+b, ab, ab這三個數中必有2的倍數；在a+b, ab, ab這三個數中必有3的倍數.其中A.只有正確B,只有正確C.,都正確D.,都不正確江蘇省競賽試題解題思想：舉例驗證,或按剩余類深入討論證實.【例3】整數13ab456能被198整除,求a, b的值.江蘇省競賽試題解題思想：198=2x 9x 11,整數13ab456能被9, 11整除,運用整除的相關特性建立 a , b的等式, 求出a , b的值.【例4】a, b, c都是整數,當代數式 7a+2b+3c的值能被13整除時,那么代數式 5a +7 b 22 c的

4、值是否一定能被 13整除,為什么？“華羅庚金杯邀請賽試題 解題思想：先把5a + 7b 22c構造成均能被13整除的兩個代數式的和,再進行判斷.【例5】如果將正整數 M放在正整數 m左側,所得到的新數可被 7整除,那么稱 M為m的“魔術 數例如：把86放在415左側,得到86 415能被7整除,所以稱86為415的魔術數,求正整數n的最小值,使得存在互不相同的正整數a ,a2, ,an,滿足對任意一個正整數m,在a1,a>, ,an中都至少有一個為 m的“魔術數.解題思想：不妨設aj =71+ti =1, 2,3, , , n； t=0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6至少有一個為

5、m的“魔術數.根據題中條件,利用 a10k +mk是m的位數被7除所得余數,分析i的取值.【例6】一只青蛙,位于數軸上的點a ,跳動一次后到達 ak書,ak, ak書滿足|ak書一ak|=1,我們把青蛙從a1開始,經n1次跳動的位置依次記作 An ： a1, a2,改,an. 寫出一個 A5,使其 a1 =a5 =0 ,且 a1 + a2 + a3 + 4 + a5 >0; 假設 a1=13, a2000 =2 012 ,求 a1000 的值； 對于整數nn>2,如果存在一個 An能同時滿足如下兩個條件：a1=0 ；a1 + a2 + a3+ ,+ &=0.求整數n n &

6、gt;2被4除的余數,并說理理由.2021年“創新杯邀請賽試題解題思想：& =a5=0 .即從原點出發,經過 4次跳動后回到原點,這就只能兩次向右,兩次向x步,向左跳了 y步,那么左.為保證 a + a2 + a3 + % + a5 >0.只需將"向右安排在前即可.假設a=13, a2000 =2 0 1 2,從a1經過1 999步到a2.,不妨設向右跳了x y =199913 x -y =2021x=1999,解得x可見,它一直向右跳,沒有向左跳.y =0設An同時？兩足兩個條件： a=0 ；a + a? + a3 + , + & =0 由于a1=0,故從原點

7、出發,經過k 1步到達ak,假定這k 1步中,向右跳了xk步,向左跳了yk步,于是ak =xk yk,xk+yk =k1,那么a+a2 +a3+, +an=0 +乂2丫2+乂3丫3+,xn yn=2x1 +乂2+,+xn-x2 +y2n n-1+(X373)+,+ (Xn+yn)“X2+X3 + ,+xn)- -由于ai+a2+ 為 + , 十 % 町所以n(n -1)=4( x? + X3 + , + Xn).即 41n(n 1).水平練習A級11的學生得及格,那么2.11 1 .某班學生不到 50人,在一次測驗中,有 一的學生得優,-的學生得良,73有 人不及格.2 .從1到10 000這

8、1萬個自然數中,有 個數能被5或能被7整除.上海市競賽試題3 . 一個五位數3ab98能被11與9整除,這個五位數是 .4 .在小于1 997的自然數中,是3的倍數而不是5的倍數的數的個數是A. 532B. 665C. 133D. 7985 .能整除任意三個連續整數之和的最大整數是A. 1B . 2C. 3D. 6江蘇省競賽試題6 .用數字1, 2, 3, 4, 5, 6組成的沒有重復數字的三位數中,是9的倍數的數有A . 12 個B. 18 個C. 20 個D. 30 個“希望杯邀請賽試題7 .五位數abcde是9的倍數,其中abcd是4的倍數,那么abcde的最小值為多少？黃岡市競賽試題8

9、. 1, 2, 3, 4, 5, 6每個使用一次組成一個六位數字abcdef,使得三位數 abc, bcd , cde, def能依次被4, 5, 3, 11整除,求這個六位數.上海市競賽試題9 . 173口是個四位數字,數學老師說：“我在這個口中先后填入 3個數字,所得到的 3個四位數,依次可被9, 11, 6整除.問：數學老師先后填入的這3個數字的和是多少？“華羅庚金杯邀請賽試題 B級10 假設一個正整數a被2, 3, , , 9這八個自然數除,所得的余數都為1,那么a的最小值為 a的一般表達式為 .“希望杯邀請賽試題11 m , n都是正整數,假設iwmwnw30,且mn能被21整除,那

10、么滿足條件的數對m, n 共有 個.天津市競賽試題12 一個六位數x1989y能被33整除,這樣的六位數中最大是 4.有以下兩個數串1,3,5,7, ,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,1987,1990,1993,1996,199洞時出現在這兩個數串中的數的個數共有個.A. 333B. 334C. 335D. 3365. 一個六位數a1991b能被12整除,這樣的六位數共有 個.A. 4B . 6C. 8D. 126. 假設1 059, 1 417, 2 312分別被自然數n除時,所得的余數都是 m ,那么n m的值為.A . 15B . 1C, 164D.

11、1747. 有一種室內游戲,魔術師要求某參賽者相好一個三位數abc,然后,魔術師再要求他記下五個數：acb, bac, bca , cab, cba,并把這五個數加起來求出和N.只要講出N的大小,魔術師就能說出原數abc是什么.如果 N=3 194,請你確定abc.美國數學邀請賽試題8. 一個正整數N的各位數字不全相等,如果將 N的各位數字重新排列,必可得到一個最大數和一 個最小數,假設最大數與最小數的差正好等于原來的數N,那么稱N為“拷貝數,試求所有的三位“拷貝數.武漢市競賽試題9. 一個六位數,如將它的前三位數字與后三位數字整體互換位置,那么所得的新六位數恰為原數的 6倍,求這個三位數.“

12、五羊杯競賽試題10. 一個四位數,這個四位數與它的各位數字之和為1 999,求這個四位數,并說明理由.重慶市競賽試題11. 從1, 2, , , 9中任取n個數,其中一定可以找到假設干個數 至少一個,也可以是全部 ,它們 的和能被10整除,求n的最小值.2021年全國初中數學競賽試題數的整除性答案例 1267 提示：333-66=267.例2 C 提示：關于的證實：對于 a, b假設至少有一個是 3的倍數,那么ab是3的倍數.假設a, b 都不是 3 的倍數,那么有：(1)當 a=3m+ 1, b=3n+1 時,a-b= 3(m- n); (2)當 a=3m+1, b = 3n + 2 時,

13、a+b = 3(m+n+1); (3)當 a=3m+2, b=3n+1 時,a+b= 3(m +n+1); (4)當 a=3m+2, b = 3n + 2 時, a b = 3(m n).例 3 a=8. b=0提示：由 9 I (19+a+b)得 a+b=8 或 17;由 11|(3+ab)得 ab=8 或一3.例 4 設 x, y, z, t是整數,并且假設 5a+ 7b22c= x(7a+2b+ 3c) + 13(ya+zb+tc).比擬上式 a, b, c 7x 13y =5的系數,應當有2x+13z=7 ,取x= 3,可以得到y=2, z=1, t=1, 3x 13t =-22貝U有

14、 13 (2a+bc) 3(7a +2b+3c)=5a + 7b22c.既然 3(7a+2b+ 3c)和 13(2a+bc)者B能被 13 整除, 貝U 5a + 7b22c就能被13整除.例5考慮到“魔術數均為7的倍數,又a1,a2, , ,an互不相等,不妨設a1<a2<, <an,余數必為 1, 2, 3,4,5, 6,0,設ai=ki + t(i=1,2,3, , , n； t= 0,1,2,3, 4,5,6),至少有一個為 m的“魔術數,由于ai 10k+m(k是m的位數),是7的倍數,當iw b時,而ai t除以7的余數都是0, 1,2,3, 4, 5, 6中的6

15、個；當i=7時,而aiT0k除以7的余數都是0,1, 2,3,4,5, 6這7個數字循環出現,當i=7時,依抽屜原理,ai 10k與m二者余數的和至少有一個是 7,此時ai - 10k+ m被 7整除,即n=7.例 6(1)A5：0,1, 2, 1,0.(或A5：0,1, 0, 1, 0)(2)a1000=13+ 999 = 1 012.(3)n 被 4 除余數為0或1 .A級1. 12. 3 1433. 39 7984. A 5. C 6. B7. 五位數abcde= 10X abcd + e.又; abcd為4的倍數.故最值為 1 000 ,又由于abcde為9的倍數.故1+ 0+0+0+

16、e能被9整除,所以e只能取8.因此abcde最小值為10 008.8. 324 561 提示：d + f-e是 11 的倍數,但 6<d+f< 5+6=11, 1<e< 6,故 0Wd + f e< 10,因此 d + fe= 0,即 5+f=e,又 e< d, f > 1,故 f=l, e= 6,9. 19提示：1+7+3 + 口的和能被9整除,故口里只能填 7,同理,得到后兩個數為8, 4.B級 十1. 2 521 a=2 520n+ 1(nC N )2. 573. 719 895提示：這個數能被 33整除,故也能被3整除.于是,各位數字之和 (x

17、+ 1 + 9+8+9+y)也能 被3整除,故x+y能被3整除.4. B5. B6. A提示：兩兩差能被 n整除,n=179, m = 164.7. 由題意得 acb + bac + bca + cab + cba = 3 194,兩邊加上 abc .得 222(a+b+c) = 3194+ abc.222(a+b+c) = 222X14+86+ abc ,那么 abc + 86是 222 的倍數.且a+b+c>14,設abc +86 = 222n考慮到abc是三位數,依次取 n= 1, 2, 3, 4.分別彳#出abc的可能值為 136, 358, 580, 802,又由于 a+b+c

18、> 14,故bc=358.8. 設N為所求的三位“拷貝數,它的各位數字分別為 a, b, c(a, b, c不全相等).將其數碼重新排列后,設其中最大數為abc ,那么最小數為 cba .故 N = abc cba = (100a+ 10b+ c) (100c + 10b + a)=99(a c).可知N為99的倍數.這樣的三位數可能是 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990.而 這9個數中,只有954 459 =495.故495是唯一的三位“拷貝數.9. 設原六位數為 abcdef,那么 6x abcdef = defabc,即 6x (1000x abc + def )= 1000 x def + abc ,所以 994X def -5 999x abc ,即 142X def = 857x abc ,/ (142, 857)= 1,142| abc , 857| def ,而 abc , def 為三位數,abc = 142, def