1、9 / 11安徽工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院大學(xué)物理II復(fù)習(xí) 韓玉龍第十章靜電場電荷守恒定律電荷守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一.它指出，對于一個(gè)孤立系統(tǒng)，不論發(fā)生 什么變化，其中所有電荷的代數(shù)和永遠(yuǎn)保持不變.電荷守恒定律表明，如果某一 區(qū)域中的電荷增加或減少了 ，那么必定有等量的電荷進(jìn)入或離開該區(qū)域；如果在一個(gè)物理過程中產(chǎn)生或消失了某種電荷，那么必定有等量的異號電荷同時(shí)產(chǎn)生或消失.庫侖定律庫侖定律（Coulomb's law）,法國物理學(xué)家查爾斯 庫侖于1785年發(fā)現(xiàn)，因而命名 的一條物理學(xué)定律.庫侖定律是電學(xué)發(fā)展史上的第一個(gè)定量規(guī)律.因此，電學(xué)的研究從定性進(jìn)入定量階段，是電學(xué)史中的一塊重要的里程

2、碑.庫侖定律闡明，在 真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力與距離平方成反比，與電量乘積成正比，作用力的方向在它們的連線上，同號電荷相斥，異號電荷相吸.1 qq2 0fkl玩=8.854187817M10,2C2 Nm： 真空電容率（真空介電常數(shù)）電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度是用來表示電場的強(qiáng)弱和方向的物理量.實(shí)驗(yàn)表明，在電場中某一點(diǎn)，試探點(diǎn)電荷（正電荷）在該點(diǎn)所受電場力與其所帶電荷的比值是一個(gè)與試探點(diǎn)電 荷無關(guān)的量.于是以試探點(diǎn)電荷（正電荷）在該點(diǎn)所受電場力的方向?yàn)殡妶龇较颍?以前述比值為大小的矢量定義為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，常用E表示.按照定義，電場中某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度的方向可用試探點(diǎn)電荷（正電荷）在該點(diǎn)所受電

3、場力的電場方向來確定；電場強(qiáng)弱可由試探電荷所受的力與試探點(diǎn)電荷帶電量的比值確定.F .1 q 0E , E 2 rq。4二；0 r點(diǎn)電荷系在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場的電場強(qiáng)度等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng) 度的矢量和1 qi 0-2 ri4 - - o ri帶電體在一點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度等于所有電荷元產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量積分E = dE = 4 二；0rdq 02 1高斯定理真空中的靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，在數(shù)值上等于該閉合曲面內(nèi)所 包圍的電量的代數(shù)和乘以 的倒數(shù).一1一EdS二一"qS-F'0 ins-dV-1爐 dS - "-0給予空間的某個(gè)區(qū)域內(nèi)，任意位置的

4、電場.原則上，應(yīng)用高斯定律，可以很容易 地計(jì)算出電荷的分布.只要積分電場于任意區(qū)域的表面，再乘以真空電容率，就 可以得到區(qū)域內(nèi)的電荷數(shù)量.但是，更常遇到的是逆反問題.給予電荷的分布，求算在某位置的電場.這問題 比較難解析.雖然知道穿過某一個(gè)閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問 題.在閉合曲面任意位置的電場可能會(huì)是非常的復(fù)雜.假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻.那么，就可以借著這均勻性來計(jì)算電場.像圓柱對稱、平面對稱、球?qū)ΨQ等等，這 些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題.若想知道怎樣利用這些對稱性 來計(jì)算電場,請參閱高斯曲面(Gaussian surf

5、ace).靜電場環(huán)路定理在靜電場中，電場強(qiáng)度沿任一閉合路徑的線積分(即電場強(qiáng)度的環(huán)流)包為零二 lE dl =0電勢能在靜電學(xué)里，電勢能(Electric potential energy)是處于電場的電荷分布所具有的勢 能，與電荷分布在系統(tǒng)內(nèi)部的組態(tài)有關(guān).電勢能的單位是焦耳.電勢能與電勢不 同.電勢定義為處于電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷.電勢的單位是伏特.電勢能的數(shù)值不具有絕對意義，只具有相對意義.所以，必須先設(shè)定一個(gè)電勢能 為零的參考系統(tǒng).當(dāng)物理系統(tǒng)內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)電荷都互相分開很遠(yuǎn)(分開距離為無窮遠(yuǎn))，都相對靜止不動(dòng)時(shí)，這物理系統(tǒng)通常可以設(shè)定為電勢能等于零的參考系 統(tǒng).假設(shè)一個(gè)物理系統(tǒng)

6、里的每一個(gè)點(diǎn)電荷，從無窮遠(yuǎn)緩慢地被遷移到其所在位置 總共所做的機(jī)械功為，則這物理系統(tǒng)的電勢能U為.U 二W'0' 一 一Wa = a q0E dla在這過程里，所涉及的機(jī)械功 W,不論是正值或負(fù)值,都是由這物理系統(tǒng)之外的 機(jī)制賦予，并且，緩慢地被遷移的每一個(gè)點(diǎn)電荷，都不會(huì)獲得任何動(dòng)能.如此計(jì) 算電勢能，并沒有考慮到移動(dòng)的路徑，這是因?yàn)殡妶鍪潜Ｊ貓觯妱菽苤桓跏?位置與終止位置有關(guān)，與路徑無關(guān).電勢在靜電學(xué)里，電勢(electric potential)定義為處于電場中某個(gè)位置的單位電荷所具 有的電勢能.電勢又稱為電位，是標(biāo)量.其數(shù)值不具有絕對意義，只具有相對意 義，因此為了便

7、于分析問題，必須設(shè)定一個(gè)參考位置，稱為零勢能點(diǎn).通常，一 個(gè)明智的選擇是將無窮遠(yuǎn)處的電勢設(shè)定為零.那么，電勢可以定義如下：假設(shè)檢 驗(yàn)電荷從無窮遠(yuǎn)位置，經(jīng)過任意路徑，克服電場力，緩慢地移動(dòng)到某位置，則在 這位置的電勢，等于因遷移所做的機(jī)械功與檢驗(yàn)電荷量的比值.Wq。'0'=E dl在國際單位制里，電勢的度量單位是伏特(Volt),是為了紀(jì)念意大利物理學(xué)家亞歷山德羅 伏打(Alessandro Wlta)而命名.點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場中，某點(diǎn)的電勢是各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 的代數(shù)和nua = " uii 1Ua = ：E dl電勢與電場強(qiáng)度的積分和微分關(guān)系式Ua

8、0 一=E dll duEl = ； E =dlcu 7 cU 7 cu - i +j +k kcx cy 君zCliaigej»Phte Hie口»Elevtnc field EPlate sejjaiTiticii d導(dǎo)體的靜電平衡靜電平衡是指導(dǎo)體中的自由電荷 (通常為帶負(fù)電荷電的電子)所受到的力達(dá)到平 衡而不再做定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).處在靜電平衡下的導(dǎo)體，為一個(gè)等勢體，其表面為 等勢面.導(dǎo)體內(nèi)部的電場強(qiáng)度處處為零，導(dǎo)體表面上任意一點(diǎn)場強(qiáng)的方向與表面 垂直，大小與該處的電荷面密度成正比.- a -Esurface - n；0電容在電路學(xué)里，給定電勢差，電容器儲存電荷的能力，稱

9、為電容(capacitance),標(biāo)記 為C.采用國際單位制，電容的單位是法拉(farad),標(biāo)記為F.平行板電容器是一種簡單的電容器，是由互相平行、以空 間或介電質(zhì)隔離的兩片薄板導(dǎo)體構(gòu)成.假設(shè)這兩片導(dǎo)板分 別載有負(fù)電荷與正電荷，所載有的電荷量分別為-Q、+Q, 兩片導(dǎo)板之間的電勢差為V,則這電容器的電容為- QC =一V1法拉等于1庫侖每伏特，即電容為1法拉的電容器，在正 常操作范圍內(nèi)，每增加1伏特的電勢差可以多儲存1庫侖 的電荷.課后習(xí)題：10. 1 (1)(2)(3)(4)(5);10. 2 (1)(2)(4)(5);建議作業(yè)題：10.4; 10. 8(此題為10.4的延伸)；10. 1

10、3(類似加深又隹度的有10. 21); 10. 17何作 為填空);10. 18(類似加深又隹度的有10. 24); 10. 33(此題為10.13的延伸);10. 35(此 題為 10. 21 的延伸);10.41; 10. 4210.1 選擇題(1)真空中兩平行帶電平板相距為 間的作用大小為D2_ q _(A) F2 (B) F =4 二；°d；°S(C) F2q2；°S(D) F2q2；°Sd,面積為S,且有d <<S,帶電量分別為+ q q ,兩板解析：平板電容器由兩個(gè)彼此靠得很近的平行極板(設(shè)為 A和B)所組成，兩極板的面積均為S,

11、設(shè)兩極板分別帶有 +q , -q的電荷，于是每塊極板的電荷密度為。=9。忽略極S板的邊緣效應(yīng)，把兩極板間的電場看成是均勻電場，由高斯定理可得兩板間場強(qiáng)為匚二一 qI-=1 O工 eS由U =Edl = Ed =qd。再根據(jù)C =Q得到C =至。平板電容器的電容與極板的面積 AS ；UdS成正比，與極板間的距離 d成反比，電容是否帶電無關(guān)，只與電容器本身的結(jié)構(gòu)形狀有關(guān)。電場強(qiáng)度E =-q-,某電荷產(chǎn)生的電場不會(huì)對它自己施以靜電力，所以計(jì)算一塊極板對另 ；oS一塊極板的電力時(shí)，電場不是E。F=Eq(2)如圖所示，閉合曲面 S內(nèi)有一點(diǎn)電荷q, P為S面上一點(diǎn)，在S面外A點(diǎn)有一點(diǎn)q',若將 q

12、'移至B點(diǎn)，則CP點(diǎn)的電場強(qiáng)度改變 P點(diǎn)的電場強(qiáng)度不變 P點(diǎn)的電場強(qiáng)度改變 P點(diǎn)的電場強(qiáng)度不變(A)穿過S面的電通量改變, (B)穿過S面的電通量改變, (C)穿過S面的電通量不變, (D)穿過S面的電通量不變,(3)下列說法正確的是B(A)電場強(qiáng)度不變的空間，電勢必為零 (B)電勢不變的空間，電場強(qiáng)度必為零 (C)電場強(qiáng)度為零的地方電勢必定為零 (D)電勢為零的地方電場強(qiáng)度必定為零 (E)電勢越大的地方電場強(qiáng)度必定越大 (F)電勢越小的地方電場強(qiáng)度必定越小(4)如圖所示，在帶電體A旁有一不帶電的導(dǎo)體殼B, C為導(dǎo)體殼空腔內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是B(A)帶電體A在C點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

13、為零(B)帶電體A與導(dǎo)體殼B在外表面的感應(yīng)電荷在C點(diǎn)所產(chǎn)生的合電場強(qiáng)度為零(C)帶電體A與導(dǎo)體殼B在內(nèi)表面的感應(yīng)電荷在C點(diǎn)所產(chǎn)生的合電場強(qiáng)度為零(D)導(dǎo)體殼B在內(nèi)外表面的感應(yīng)電荷在C點(diǎn)所產(chǎn)生的合電場強(qiáng)度為零(6) 10.2填空題(1)電量和符號都相同的三個(gè)點(diǎn)電荷q放在等邊三角形的頂點(diǎn)上，為了不讓它們由于斥力的3作用而散開，可在三角形的中心放一符號相反的點(diǎn)電荷q ,則的電量應(yīng)為 q3O處的電場強(qiáng)(2)邊長為a的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)都放有電荷，如圖所示。則正六邊形中心 度大小為一 J2二 0a(4)一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，帶電量為 q (q < 0),另有兩個(gè)均帶正電荷 Q的點(diǎn)電荷位于 環(huán)的

14、軸線上，分別在環(huán)的兩側(cè)，它們到環(huán)心的距離都等于環(huán)的半徑Ro則當(dāng)此電荷系統(tǒng)處于平衡時(shí)，Q: q=J21E 二4二；oqx3 ，R2x2 2FE =;qo即得結(jié)果。J_Qq，£32 )4二；0 R2 . R2 24二；0 2R(5)如圖，無限大平板導(dǎo)體放在電場強(qiáng)度E。的均勻電場中，導(dǎo)體兩側(cè)板面A、B均與電場線垂直，則A、B板面上的電荷面密度分別為crA=，仃B =。%E0,+ /E0(7)兩個(gè)電容器的電容之比Ci： C2=1:2,把它們串聯(lián)起來接電源充電，它們的電場能量只比Wi： W2=,如果并聯(lián)起來接電源充電，則它們的電場能量只比Wi： W2=2:1 ; 1:210.4一長為l的均勻帶

15、電直導(dǎo)線，其電荷線密度為為試求導(dǎo)線延長線上距離近端為a處一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。1 dq 11dxdE =三=三4二；0 l a -x4二；0 l a -x-o o 1痕4I Io-E,dx 11la -x 24二；0 a l aE=i4 o a l a10.8 一長為l的帶電細(xì)導(dǎo)體棒，沿 x軸放置，棒的一端在原點(diǎn)。其電荷線密度為狂Ax, A為常數(shù)。求x軸坐標(biāo)為x=l+a 一點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小。/P1 dq A xdxd 一-4二;0 l a -x 24二;0 l a -xE，4二；°l xdx° l a-x 2A ll= 1jln(1710.9 半徑為R的細(xì)圓環(huán)，圓心在 Oxy的原

16、點(diǎn)上，圓環(huán)所帶電荷的線密度A A Acos6 ,其中A為常量，如圖所示。求圓心處電場強(qiáng)度的x、y分量。解：取電荷元dq =Acos? Rd ,二dEx-A cos? Rd4二；0R2cosEx=dEx =2 星 一 A cos ? Rd0 4二；°R2cos1A4-0RdEy=dEy = 0 A cos Rdu 2sin% Ey4 二 0 R10.13電荷均勻分布在半徑為 R的球形空間內(nèi)，電荷體密度為p。試求球內(nèi)、球外及球面上的電場強(qiáng)度。根據(jù)電荷分布的球?qū)ΨQ性，可知電場分布也具有球?qū)ΨQ性。以帶電球體的球心為球心，作半徑為r的球形高斯面，由高斯定理: E dS =qns 知: S0&l

17、t;r<R 時(shí):立3p11 / 111 _ 4 Qr=R 時(shí)：E dS = P nR3S；o 3E 4 二 R2 =1 4 4 r R3；o 3E二任3 ；01 _ 43r>R 時(shí)：|E dS = P nR3S；o 3一 21 - 4 _ 3E 4二 r 二:二 R；o 3R3E -23；°r210.17 設(shè)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E與半徑為R的半球面的軸平行，則通過半球面的電通量為：，e = R2EE10.18 兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為 理求解其電場分布。R1和R2o帶電量分別為+ q和一q,用高斯定高斯定理：.E dS =sS；。當(dāng) r<R 時(shí)，4E dS

18、= E 4nr2=0, E=0；1 q._24 ；0 r2 S''當(dāng) R<r<R2時(shí)，&E dS = E '4所2=9,$；0當(dāng) r>R2時(shí)，$E dS= E 4nr2 = =0, E=0。 s；0安徽工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院大學(xué)物理II第習(xí) 韓玉龍p。求：1、球外任一點(diǎn)的電勢； 2、球10.33 一半徑為R的均勻帶電球體，其電荷體密度為 表面上的電勢；3、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢。由高斯定理委於二' qins 知:r0<r<R 時(shí)：E=r=R 時(shí): 3 Eg .以無窮遠(yuǎn)為電勢零參考點(diǎn)，則E=*3跖.r>R 時(shí):1、球外任一點(diǎn)的電勢(

19、r>R)二 CR3-R32、球面任一點(diǎn)的電勢(r=R)3、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(r<R)3 or2dr 二3 ；0r二二 R3口2drR3；gr27R237R 7rdrr 3；0i R32 drR3；°r26；o3R2 -r210.35半徑為R的“無限長”圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為p。試求它產(chǎn)生電場的電勢分布（選圓柱的軸線為電勢的零參考點(diǎn)）。由高斯定理- E dS = 曬知: S_ 斤 =0<r<R時(shí)：E= r=R 時(shí):2% .：RE= r>R 時(shí):2% .DR22 0r一衛(wèi)工4；02；0 r0 ：?rR ： r1、圓柱體外任一點(diǎn)的電勢(r>R)

20、u =drdr =R2；02；。 .0 Pr .PR22、圓枉體面任一點(diǎn)的電勢（r=R） u= dr = -R2樂4年0 ;?r.Pr23、圓枉體內(nèi)任一點(diǎn)的電勢（r<R） u = dr =r2；04；010.41帶電量q的點(diǎn)電荷處在導(dǎo)體球殼的中心, 外及殼上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度和電勢；并畫出球殼的內(nèi)、外半徑分別為 R1和R2.求球殼內(nèi)、E-r和u-r曲線。由高斯定理：sEdS二知:013 / 11(r<R i) E4二；0;(Ri<r<R2)E=0； (r>R2)E =24二；0 r(r<R 1)時(shí) uRi24二；0 rdrr2二 1 qR1 0dR2 q24二；0 rdr 二一q-4二；01r11十R R2R2(Ri<r<R2)時(shí) u = 0dr + 1dr4二；0R2二 1 q . q(r>R2)時(shí) u = Jdr =-r 4 二；0 r 4二；°r10.42半徑為R1的導(dǎo)體球帶電量為 q,球外套以內(nèi)、外半徑分別為R2和R3的同心導(dǎo)體球殼, 球殼上帶電量為 Q。1、求球和球殼的電勢； 2、