1、數系的擴充和復數的概念教學設計【學習目標】1 知識與技能：了解引進復數的必要性； 理解虛數單位i 以及 i 與實數的四則運算規律 理解并掌握復數的有關概念 （復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部、復數相等 ） 2 過程與方法：通過問題情境， 了解擴充數系的必要性， 感受數系的擴充過程， 體會引入虛數單位i 和復數形式的合理性，使學生對數的概念有一個初步的、完整的認識3情感、態度與價值觀：通過問題情境， 體會實際需求與數學內部矛盾在數學擴充過程中的作用， 以及書與現實世界的聯系?！窘虒W目的】（ 1 ）了解引進復數的必要性，理解并掌握復數的有關概念；（ 2 ）教學同時傳授學生轉化的數學思想；

2、（ 3 ）教會學生提出問題、解決問題，學會學習?！?教學重點】復數的概念，虛數單位i ，復數的分類（實數、虛數、純虛數）和復數相等?！?教學難點】虛數單位 i 的引進及復數的概念。【教學方法】采用了預習準備；引導探索，多媒體演示，練習多種手法相結合的教學方法【 授課形式】新授課（ 1 課時）【 教學過程】引入新課請同學們回答以下問題：（1）在自然數集N中，方程x+4=0有解嗎？（2）在整數集Z中，方程3x2 = 0有解嗎？（3）在有理數集Q中，方程x2-2= 0有解嗎？活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，最后師生總結活動成果：問題（1）在自然數集中，方程 x+4 = 0無解，為此引進負數

3、，自然數f整數；問題(2)在整數集中，方程 3x2=0無解，為此引進分數，整數f有理數； 2問題(3)在有理數集中，方程 x 2=0無解，為此引進無理數，有理數f實數.數集的每一次擴充， 對數學本身來說， 解決了在原有數集中某種運算不能實施的矛盾， 如分數解決了在整數集中不能整除的矛盾， 負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾， 無理數解 決了開方開不盡的矛盾提出問題：從自然數集N擴充到實數集 R經歷了幾次擴充？每一次擴充的主要原因是什么？ 每一次擴充的共同特征是什么？活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組討論，師生共同歸納總結活動成果：擴充原因：滿足解決實際問題的需要；滿足數學自身完善和發展的需

4、要.擴充特征： 引入新的數； 原數集中的運算規則在新數集中得到保留和擴展， 都滿足交換 律和結合律，乘法對加法滿足分配律設計意圖回顧從自然數集N擴充到實數集R的過程，幫助學生認識數系擴充的主要原因和共同特征.探究新知提出問題：方程x2+1 = 0在R上有解嗎？如何對實數集進行擴充，使方程x2+1 = 0在新的數集中有解？活動設計：小組討論，類比猜想，設想新數的引進，師生共同完成學情預測：學生討論可能沒有統一結果，無法描述類比原來不同階段數系的每一次擴充的特點，在實數集中方程x2+1 = 0無解，需要引進“新數”擴充實數集.讓我們設想引入一個新數i,使i滿足兩個條件：(1)i是方程x2+1 =

5、0的根，即i2=1; (2)新數i與實數之間滿足加法、乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律設計意圖面對新問題的需要，感到擴充實數集的必要性，通過類比，猜想增添的新數需滿足的條件提出問題 ： 同學們設想， 實數 a 與新數 i 相加， 實數 b 與新數 i 相乘，結果如何表達？實數a 與實數 b 和新數 i 相乘的結果相加，如何表示？活動設計： 學生動手操作，嘗試寫出新數與實數加法和乘法的運算，然后教師引導，更正不正確的寫法，統一新數的特點，為引出復數的概念做鋪墊活動成果： a ibia bi.根據條件 (2) ， i 可以與實數 b 相乘，再與實數a 相加由于滿足乘法和加法的交換律，從而

6、都可以把結果寫成 a+bi(a , bC R)的形式.提出問題：形如a+bi(a , bC R)的數包括所有實數嗎？包括你原來沒遇到過的新數嗎？寫出實數系經過上述擴充后得到的新數構成的集合C.活動設計：學生思考，可以討論，師生共同總結，得出復數的概念活動成果：形如 a+bi(a , bC R)的數，包括所有實數，也包括新數bi和a+bi ,實數a和新數i可以看作是a+ bi(a , bC R)這樣數的特殊形式，即a=a+0i , i =0 + i.實數系經過上述擴充后，得到的新數集C=a + bi|a , bC R.我們把形如a+bi(a , bCR)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數

7、所構成的集合C叫做復數集，即 C= a + bi|a , b R.復數通常用字母z表示，即z = a+bi(a , bC R),這一表示形式叫做復數的代數形式.注意：今后不做特殊說明，a, bCR,其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部.設計意圖讓學生自己添加上這些新數， 感受實數系的擴充過程， 認識擴充后新數的特點， 知道復數的代數形式及有關概念理解新知提出問題：對于復數 z=a+bi,當且僅當a, b滿足什么條件時，z為實數，為0,為虛數，為純虛數？活動設計：學生思考、討論，師生總結活動結果：當且僅當b=0時，復數z=a+bi是實數；當且僅當 a=b=0時，復數z = a +bi為0;

8、當且僅當bw。時，復數z=a + bi是虛數；當且僅當 a=0且bw。時，復數z= a bi 為純虛數設計意圖讓學生進一步理解復數的代數形式，明確復數z = a+bi為實數、虛數和純虛數的充要條件提出問題：實數系擴充到復數系后，實數集R與復數集C有怎樣的關系？你能類比實數的分類， 對復數進行合理的分類嗎？試用韋恩圖表示復數集、 實數集、 虛數集和純虛數集之間的關系活動設計：小組討論，學生嘗試分類，教師引導歸納.活動結果：實數集 R是復數集C的真子集，復數z=a+bi可以分類如下:實數 b=0復數z虛數 b w 0當a = 0時為純虛數復數集、實數集、虛數集和純虛數集之間的關系用圖表示如下:設計

9、意圖讓學生了解數系擴充后復數的正確分類及各數系之間的包含關系.提出問題：你認為滿足什么條件，可以說這兩個復數相等？活動設計：學生討論探究a + bi =c+di時，實部和虛部應滿足的條件，教師補充.活動結果：若a+bi=c + di(其中a, b, c, dCR),則a=b且c=d,即兩個復數相等的充 要條件是實部和虛部分別相等.特別地，a+bi =0 a=0且b=0.設計意圖通過探究討論，讓學生對復數相等的概念達成共識，并揭示復數相等的內涵， 利用兩復數相等，可以得到關于實數的方程組，進而得到a, b的值.提出問題：任意兩個復數可以比較大小嗎？若可以，請說明進行比較的方法；若不可以，請說明理

10、由.活動設計：讓學生思考，議論后發言，教師點撥.學情預測：學生可能不知所云， 無法下結論，也可能類比實數的大小比較，認為可以比較大小.活動結果：若兩個復數都是實數，則可以比較大小；否則就不能比較大小.因此，一般說來，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較其大小.練一練：1、斷下列命題是否正確(1)當 zCC 時，z2>0（2） 若 a>b,貝U a+i >b+i .（3）若a,b為實數，則Z=a+bi為虛數（4）若b為實數，則Z=bi必為純虛數2.說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出實部和虛部12+ 3i ;-3+目；*+ i ;兀；-乖i ;0.例1實

11、數m取什么數值時，復數 z=m+ 1 + （m1）i是實數；（2）虛數；（3）純虛數.思路分析：首先要在變化中認識復數代數形式的結構，正確判斷復數的實部和虛部，因為me R,所以m+ 1, m- 1都是實數，分別為實部、虛部；然后由復數z = a+bi是實數、虛數和純虛數的條件，用列方程（或不等式）的方法求出相應的 m的取值.解：（1）當m- 1=0,即m=1時，復數z是實數；（2）當m- 1 w 0,即廿1時，復數z是虛數；當n+1=0,且m- 1w0時，即m=1時，復數z是純虛數。學生總結歸納鞏固練習：當m為何實數時，復數 m 2+m-2+（m2-1）i是（1）實數 （2）虛數（3）純虛數

12、例 2 已知(2x- 1)+i =y(3 y)i ,其中 x, yC R,求 x與 y.應首先將復數轉化為代數形式，并思路分析：根據兩復數相等的定義求其中參數值的問題,確定其實部和虛部，然后利用兩復數相等的充要條件,即實部和虛部分別相等列出相應的方程組，然后解方程組求出參數的值.解：根據復數相等的定義可得,5解得 x = 2, y = 4.學生總結歸納：轉化的數學思想課堂小結：給學生5鐘的時間回顧總結， 亦可討論，落實課堂初設立的三個學習目標是否達成，然后提 問，學生總結1.內容知識:2解題規律方法： 3思想方法：當堂小測：1、若復數(a + 1) + (a21)i(a C R)是實數，則 a

13、=.2、若復數 (a 2-3a+2)+(a-1)i是純虛數 , 則實數 a 的值為 ()A.1 B.2 C.1 或 2D.-13、 x-y+(y-1)i=2 i, 則 x= ( )， y= ( )，其中 x， y?R。課后作業：課本習題3.1 P119 : A組1.2從心理特征來說， 這一階段的學生邏輯思維從經驗型逐漸像理論型發展， 觀察能力、 記 憶能力和想象能力也隨著迅速的發展。 一方面運用直觀生動的形象， 引發學生的興趣， 一方 面，要創造條件和機會，使他們的注意力始終集中在課堂上。從學生的知識技能基礎來看， 在之前學習經歷過三次數系的擴充， 在這些基礎上， 對于學習復數的引入及相關概念

14、都是很好的鋪墊性知識。從學生活動經驗基礎來看， 在相關的知識學習的過程中， 學生已經具有解決一些實際問題的能力， 獲得了探究新的知識的基礎； 同時， 在以前的學習中學生經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作交流能力。但本節內容對學生來說是陌生的， 因此很多學生對此學習表現出困惑 復數的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味， 學生不易接受， 要使學生通過學習本節內容后， 達到新課標 所規定的要求并非易事， 因此在教學中要根據學生的實際情況通過大量的實例，將已有知識和新學知識通過問題鏈設計教學， 讓學生體驗已學過的數集的擴充歷史， 體會數集的擴充是生產實踐的需

15、要， 也是數學學科自身發展的需要； 通過小組合作學習， 使學生了解數的發展過程和規律， 對各種數集之間的關系有著比較清晰、 完整的認識， 從而學生更容易積極主動地建構虛數的概念、 復數的概念、 復數的分類以及兩復數相等的條件 不可期待一蹴而就 要通過解題， 逐步理解掌握有關方法與思想的內涵， 避免陷入煩瑣的計算與人為技巧之中，要重視引導學生經歷探索、解決問題的過程教師要充分閱讀新課標 ，深刻 理解本節的編寫意圖本課題從提出問題（用什么方法解決方程 x2+1 = 0在實數集中無解的問題），引發學生的認知沖突，激發學生擴充實數系的欲望。本課本的教學重點是復數概念、復數分類、復數相等，學生在學習中思

16、考、應用。本課本的難點在復數概念的理解，如何引導學生開展探索，通過設置問本，引導學生討論合作探究， 運用幻燈片、 采用類比的手段， 逐步引導學生深入探究， 課堂探究過程很順利，較好的完成了設計的教學任務。讓學生參悟道理，領會精神。一、 “教”的效果分析：1、在本課本的教學中，緊密聯系生活實際，本課時設計注重以學生為主體，改變學生學習方式， 提高學習質量為了發揮教學過程的整體教育功能，保持教學系統的最大活力， 在教學中綜合運用多種教學方法，形成良好的整體結構，發揮教學的最大效益2、本課時設計根據近幾年高考特點適當對例本、習本做了一些拓展，目的是讓學生進一步理解一些數學方法和數學思想，拓寬學生的數

17、學視野但嚴格控制了本目難度及本目數量，以大多數學生的接受水平作為參考依據3 、 本課時設計沒有單純從教學內容出發而進行設計， 而是注重了對深層次的教學目的的考慮這正是值得我們深思的問本，否則， 我們的教學將只停留在知識內容或方法上，而忽視能力和素質要求，缺乏深層次的思考二、 “學”的效果分析：1、學生通過本節課的學習，認識到數集的擴充是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要，解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾。2、學生思維不靈活對于解本的思路步驟，需要教師進行點拔以后才能有所領悟?？傊?，本課時設計體現新課標理念由于本節內容的工具性特點，課堂上要鼓勵學生思 考交流與動手實踐，

18、讓學生養成獨立思考和勇于質疑的習慣 同時也應學會與他人交流合作、培養嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神1、本節課是高中數學人教A版選修2-2第3.1.3 數系的擴充和復數的概念。從 內容上看它是學生首次接觸的新概念新內容。從思想層面看，本節課突出本現了 類比、轉 化等數學思想。從 重要性來看，復數的概念是復數這一章的基礎，復數的幾 何意義及基礎運算都是圍繞復數的代數表示形式展開的.2、本節為1個課時.教材通過三個環節完成了對實數系的擴充過程：（1）提出問題（用什么方法解決方程x2+1 = 0在實數集中無解的問題），引發學生的認知沖突，激發學生擴充實數 系的欲望；（2）回顧從自然數集逐步擴充到實

19、數集的過程和特點（添加新數，滿足原來的運算律）；（3）類比、設想擴充實數系的方向及引入新數i所滿足的條件（使i2=-1成立，滿足原來的運算律）.由于學生對數系擴充的知識并不熟悉，教學中教師需多作引導.而復數的 概念是復數這一章的基礎， 復數的有關概念都是圍繞復數的代數表示形式展開的.虛數單位、實部、虛部的命名，復數相等的概念，以及虛數、純虛數等概念的理解，教學中通過例題的 探究和變式訓練，以促進對復數實質的理解，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.通過問題情境，體會實際需求與數學內部矛盾在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系.1、若復數（a + 1） + （a

20、21）i（a C R）是實數，則 a=.2、若復數（a 2-3a+2）+（a-1）i是純虛數，則實數a的值為（）A.1 B.2 C.1 或 2D.-13、x-y+（y-1）i=2 i, 則 x= （ ） , y=（）,其中 x, y?R。教學就是教與學，兩者是相互聯系，不可分割的，有教者就必然有學者。學生是被教 的主體。因此，了解和分析學生情況，有針對性地教，對教與學的情況，我作了以下反思。在教學的設計中要充分為學而教，以學生如何有效獲取知識，提高能力的標準來設計教學，在教學中，備課是一個必不可少，十分重要的環節，備學生，又要備教法。根據我們學生的實際情況，和備課組其他老師商量后決定通過實例，復習前三次數系的擴充，引導學生思考每一次擴充的主要原因是什么，每一次擴充的共同特征是什么，后提出問題（用什么方法解決方程x2+1 = 0在實數集中無解的問題），引發學生的認知沖突，激發學生擴充實數系的欲望。但是對步驟的引入過快， 給學生思考的時間太少， 應該讓學生通過探究討論總結，這樣效果會更好些。其次在新課講解中，教學內容安排要合理。每一節的教學內容要適合學生的實際情況，不能太多，也不能太少了。今天這節課備課的教學內容是，讓學生獨立思考，給出解題思路；然后設計相應的練習， 完成了既定的教