1、數(shù)列11、 已知數(shù)列n a 滿足1232n n n a a +=+,12a =,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。2、 已知數(shù)列n a 滿足11211n n a a n a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。3、 已知數(shù)列n a 滿足112313n n n a a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。4、 已知數(shù)列n a 滿足1132313n n n a a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。5、 已知數(shù)列n a 滿足112(153n n n a n a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。6、 已知數(shù)列n a 滿足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+

2、- ,求n a 的通項(xiàng) 公式。數(shù)列2 1. 已知數(shù)列n a 滿足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。2:已知數(shù)列n a 滿足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a3、已知數(shù)列a n ,滿足a 1=1,13211(32-+=n n a n a a a a (n 2,則a n 的通項(xiàng)4、已知在數(shù)列n a 中,若111,23(1n n a a a n +=+,則該數(shù)列的通項(xiàng)n a5、 已知數(shù)列n a 中,651=a ,1121(31+=n n n a a ,求n a 。6、已知數(shù)列n a 中,11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=

3、+,求na7、已知數(shù)列n a 前n 項(xiàng)和2214-=n n n a S .(1求1+n a 與n a 的關(guān)系;(2求通項(xiàng)公式n a .8、已知數(shù)列n a 中,2111,1n n a aa a =+0(>a ,求數(shù)列.的通項(xiàng)公式n a9、已知數(shù)列a n 滿足:1,13111=+=-a a a a n n n ,求數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式。10、.已知數(shù)列n a 中,n S 是其前n 項(xiàng)和,并且1142(1,2,1n n S a n a +=+= ,設(shè)數(shù)列,2,1(21 =-=+n a a b n n n,求證:數(shù)列n b 是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列,2,1(,2=n a c n nn,求證:數(shù)列n

4、c 是等差數(shù)列; 求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和。數(shù)列1:答案1、 已知數(shù)列n a 滿足1232n n n a a +=+,12a =,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。解:1232n n n a a +=+兩邊除以12n +,得113222n n n n a a +=+,則113222n n n n a a +-=,故數(shù)列2nna 是以1222a 11=為首項(xiàng),以23為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得31(122n n a n =+-,所以數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式為31(222nn a n =-。2、 已知數(shù)列n a 滿足11211n n a a n a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公

5、式。(累加法解:由121n n a a n +=+得121n n a a n +-=+3、已知數(shù)列n a 滿足112313n n n a a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。解:3 1.n n a n =+-評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式1231n n n a a +=+轉(zhuǎn)化為1231n n n a a +-=+,進(jìn)而求出11232211(n n n n n a a a a a a a a a a -=-+-+-+-+ ,4、已知數(shù)列n a 滿足1132313n n n a a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。解21133.322n n na n =+- 評(píng)注:本題解題的關(guān)

6、鍵是把遞推關(guān)系式13231n n n a a +=+轉(zhuǎn)化為111213333n n n n n a a +-=+,進(jìn)而求出112232111122321(333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+-+-+ ,即得數(shù)列3n n a 的通項(xiàng)公式,最后再求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。5、 已知數(shù)列n a 滿足112(153n n n a n a a +=+=,求數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。解:n a 的通項(xiàng)公式為(112325!.n n n na n -=評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系12(15n n n a n a +=+轉(zhuǎn)化為12(1

7、5nn na n a +=+,進(jìn)而求出13211221n n n n a a a a a a a a a - ,即得數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。 6、已知數(shù)列n a 滿足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+- ,求n a 的通項(xiàng)公式。解:n a 的通項(xiàng)公式為!.2nn a =評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式1(1(2n n a n a n +=+轉(zhuǎn)化為11(2n n a n n a +=+,進(jìn)而求出132122n n n n a a aa a a a - ,從而可得當(dāng)2n n a 時(shí),的表達(dá)式,最后再求出數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列通項(xiàng)公式方法歸納類(lèi)型1(1n

8、 f a a n n +=+解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法求解。 如:已知數(shù)列n a 滿足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。類(lèi)型2 n n a n f a (1=+ 解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法求解。 如:已知數(shù)列n a 滿足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+1(n ,求n a 。類(lèi)型3q pa a n n +=+1(其中p ,q 均為常數(shù),01(-p pq 。 解法(待定系數(shù)法

9、:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 如:已知數(shù)列 a n 中， a1 = 1 ， a n +1 = 2a n + 3 ，求 a n . 類(lèi)型 4 a n +1 = pan + q （其中 p， 均為常數(shù)， pq( p - 1(q - 1 ¹ 0 ） q 。 an +1 = pan + rq , （或 ( n n 其中 p，q, r 均為常數(shù)） 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 q n +1 ，得： a n+1 p a n 1 = · + 引入輔助數(shù)列 q n+1 q q n q b

10、n （其中 bn = a n ） ，得： bn +1 = n q 如:已知數(shù)列 a n 中， a1 = p 1 bn + 再待定系數(shù)法解決。 q q 5 1 1 n+1 , an+1 = an + ( ，求 a n 。 6 3 2 類(lèi)型 5 遞推公式為 an+ 2 = pan+1 + qan （其中 p，q 均為常數(shù)） 。 解法一(待定系數(shù)法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an + 2 - sa n+1 = t (an +1 - sa n 其中 s，t 滿足 ìs + t = p í îst = -q 解法二(特征根法： 對(duì)于由遞推公式 a n + 2 = pan +1

11、+ qan ， 1 = a , a 2 = b 給出的數(shù)列 a n ， a 方程 x - px - q = 0 ， 叫做數(shù)列 a n 的特征方程。 x1 , x 2 是特征方程的兩個(gè)根， x1 ¹ x2 若 當(dāng) 2 時(shí)，數(shù)列 a n 的通項(xiàng)為 a n = Ax1 n -1 n + Bx2 -1 ，其中 A，B 由 a1 = a , a 2 = b 決定（即把 n 代入 得到關(guān)于 A、 的方程組）當(dāng) x1 = x2 時(shí)， B ； a1 , a 2 , x1 , x2 和 n = 1,2 ， a n = Ax1n -1 + Bx2 -1 ， 數(shù)列 a n 的通項(xiàng)為 an = ( A +

12、Bn x1 ， 其中 A， 由 a1 = a , a 2 = b 決定 B （即把 a1 , a 2 , x1 , x2 n -1 和 n = 1,2 ，代入 a n = ( A + Bn x1 ，得到關(guān)于 A、B 的方程組） 。 如：數(shù)列 a n ： 3a n + 2 - 5a n +1 + 2a n = 0(n ³ 0, n Î N ， a1 = a, a2 = b ，求數(shù)列 a n 的通 項(xiàng)公式。 n -1 類(lèi)型 6 遞推公式為 S n 與 a n 的關(guān)系式。(或 S n = f (an 解 法 ： 這 種 類(lèi) 型 一 般 利 用 ìS1 × &#

13、215; × × × × × × × × × × × × × ×(n = 1 an = í îS n - S n-1 × × × × × × × (n ³ 2 與 an = S n - S n-1 = f (an - f (an-1 消去 S n (n ³ 2 或與 S n = f ( S n - S n-1 (n ³ 2 消去 a n

14、進(jìn)行求解。 如：已知數(shù)列 a n 前 n 項(xiàng)和 S n = 4 - a n - 1 2 n-2 . （1）求 an+1 與 a n 的關(guān)系； （2）求通項(xiàng)公式 a n . 類(lèi)型 7、 an+1 = pan ( p > 0, an > 0 r 解法：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為 an+1 = pan + q ，再利用待定系數(shù)法求解。 如：已知數(shù)列 a n 中， a1 = 1, a n+1 = 1 2 的通項(xiàng)公式. × an (a > 0 ，求數(shù)列 an a 類(lèi) 型 8、 a n +1 = f ( n a n 解 法 ： 這種 類(lèi)型 一 般 是等 式 兩邊 取 倒數(shù) 后 換 元轉(zhuǎn) 化 為 g ( n a n + h( n an+1 = pan + q 。 如：1、已知數(shù)列an滿足： a n = a n-1 , a1 = 1 ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 3 × a n-1 + 1 2、若數(shù)列的遞推公式為 a1 = 3, 1 1 = - 2(n Î ¥ ，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 an +1 an 3、已知數(shù)列 a n 滿足 a1 = 1, n ³ 2