1、實用標準文檔2-3 隨機變量及其分布要點歸納一、離散型隨機變量及其分布列1(1)隨機變量：在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量通常用字母 X， Y，等表示(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量(3)離散型隨機變量的分布列：一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2 ， xi ， x n， X取每一個值 xi (i 1， 2， ， n) 的概率P(X xi) pi，以表格的形式表示如下：Xx1x 2xixnPp1p2pip

2、n我們將上表稱為離散型隨機變量X 的概率分布列，簡稱為X的分布列有時為了簡單起見，也用等式P(X xi) pi ，i 1， 2， ， n表示 X的分布列(4) 離散型隨機變量的分布列的性質： pi 0， i 1， 2， ，n；n pi 1.i 1文案大全實用標準文檔(5)常見的分布列：兩點分布：如果隨機變量 X的分布列具有下表的形式，則稱 X服從兩點分布，并稱 pP(X 1)為成功概率 .X01P1pp兩點分布又稱0 1 分布，伯努利分布超幾何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件產品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，則事件 X k 發生的概率為P (Xkn kCM CNM， k 0， 1

3、， 2， m，即k)nC NX01m0 n 01 n 1m n mPCM CNMCM C NMCM CNMCNnCNnCNn其中 mmin M ， n ，且 n N，M N， n，M ， N N* .如果隨機變量 X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量 X服從超幾何分布2二項分布及其應用(1)條件概率：一般地，設A 和 B 是兩個事件，且P( A) 0，P（ AB）稱 P(B|A) P（ A） 為在事件A 發生的條件下， 事件 B 發生的條件概率 P(B |A)讀作 A 發生的條件下B 發生的概率(2)條件概率的性質：0P(B|A)1；必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0；如果B

4、和C 是兩個互斥事件，則P(B C|A ) P(B|A) P(C|A)(3)事件的相互獨立性：設A， B 為兩個事件，如果P(AB )P(A)P(B)，則稱事件A 與事件 B 相互獨立如果事件A 與 B相互獨立，那么A與B，A與 B，A與 B也都相互獨立(4) 獨立重復試驗：一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為 n次獨立重復試驗(5) 二項分布：一般地，在 n次獨立重復試驗中，設事件 A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，那么在 n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生 k次的概率為文案大全實用標準文檔P(X k) Cpk(1 p)n k， k 0，1， 2， ， n.此時稱隨機變

5、量 X服從二項分布，記作X B(n， p)，并稱 p為成功概率兩點分布是當n 1時的二項分布，二項分布可以看成是兩點分布的一般形式3離散型隨機變量的均值與方差(1) 均值、方差：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2x ix nPp1p2pipn則稱 E(X) x1 p1 x2p2 xi pi xn pn為隨機變量 X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平n稱 D( X )(xi E ( X) 2 pi 為隨機變量X 的方差，D （ X ）為i 1隨機變量X 的標準差(2) 均值與方差的性質：若 YaX b，其中 a，b是常數， X是隨機變量，則Y也是隨機變量，且 E(

6、aXb) aE(X)b，D(aXb) a2D(X)(3) 常見分布的均值和方差公式：兩點分布：若隨機變量X服從參數為 p的兩點分布，則均值E(X) p，方差 D(X)p(1p)二項分布：若隨機變量XB(n，p)，則均值 E(X)np，方差 D(X) np(1p)文案大全實用標準文檔(2)正態曲線的特點：曲線位于x 軸上方，與x 軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線x對稱；1曲線在 x處達到峰值 2；曲線與 x 軸之間的面積為1.(3) 和 對正態曲線的影響：當 一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿 x軸平移；當 一定時，曲線的形狀由 確定， 越小，曲線越 “瘦高 ”，表示總體的分布越集中

7、； 越大，曲線越 “矮胖 ”，表示總體的分布越分散(4) 正態分布的 3原則：若隨機變量 XN(， 2)，則 P( X ) 0.682 6， P( 2 X 2) 0.9544， P( 3 X 3) 0.997 4.在實際應用中，通常認為服從于正態分布 N(，2)的隨機變量 X 只取 ( 3， 3)之間的值，并簡稱之為 3原則文案大全實用標準文檔專題一條件概率1條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)和 P(AB )，解得 P(B |A) P（AB）P（A） .(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件數n(A)，再在事件 A 發生的條件下求事件B 包含的基本事件數 n(AB) ，

8、得 P(B|A) n（ AB ）n（ A） .2解決概率問題要注意“三個步驟，一個結合”(1)求概率的步驟是：第一步，確定事件性質；第二步，判斷事件的運算；第三步，運用公式(2)概率問題常常與排列、組合知識相結合【例1】 在 5道題中有 3道理科題和 2道文科題如果不放回地依次抽取 2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第 2次都抽到理科題的概率；(3)在第 1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率解設“第 1次抽到理科題 ”為事件 A，“第2次抽到理科題 ”為事件 B，則 “第1次和第 2次都抽到理科題 ”為事件 AB.(1)從 5 道題中不放回地依次抽取2道題的事件

9、數為n()A 2520.根據分步乘法計數原理，n(A) A13× A 14 12.n（ A）123于是 P(A) n（ ） 20 5.文案大全實用標準文檔專題二相互獨立事件的概率1求相互獨立事件一般與互斥事件、對立事件結合在一起進行考查，解答此類問題時應分清事件間的內部聯系，在些基礎上用基本事件之間的交、并、補運算表示出有關事件，并運用相應公式求解2特別注意以下兩公式的使用前提(1)若 A， B互斥，則 P(A B)P(A)P(B)，反之不成立(2)若 A， B相互獨立，則 P(AB) P(A)P(B)，反之成立【例 2】 甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種零件，甲機床加工的零件是

10、一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為1，4乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為1 ，甲丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為2129.(1)分別求出甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率文案大全實用標準文檔文案大全實用標準文檔專題三離散型隨機變量的分布列、均值與方差1離散型隨機變量的分布列在高中階段主要學習兩種：超幾何分布與二項分布，由于這兩種分布列在生活中應用較為廣泛，故在高考中對該知識點的考查相對較靈活，常與期望、方差融合在一起，橫向考查2對于分布列的求法，其難點在于每個隨機變量

11、取值時相關概率的求法，計算時可能會用到等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式等3均值與方差都是隨機變量重要的數字特征，方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者聯系密切，在現實生產生活中特別是風險決策中有著重要意義，因此在當前的高考中是一個熱點問題【例 3】 某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行5 次統一測試，學生如果通過其中2 次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加15 次測試假設某學生每次通過測試的概率都是3，每次測試時間間隔恰當每次測試通過與否互相獨立(1)求該學生考上大學的概率；(

12、2)如果考上大學或參加完 5次測試就結束，記該生參加測試的次數為 X，求 X的分布列及 X的數學期望文案大全實用標準文檔112 32 416.P(X 5) C4· ·32733故 X 的分布列為：X2345P1441692727271441638E(X)2×9 3×274×27 5×279 .【例 4】 (2012·棗莊檢測 )某單位為了參加上級組織的普及消防知識競賽，需要從兩名選手中選出一人參加為此，設計了一個挑選方案：選手從6 道備選題中一次性隨機抽取3 題通過考查得知： 6 道備選題中選手甲有4 道題能夠答對， 2 道

13、題答錯；選手乙答對每題的概率都是23，且各題答對與否互不影響設選手甲、選手乙答對的題數分別為， .(1) 寫出 的概率分布列 (不要求計算過程 )，并求出 E()，E()；(2) 求D()， D()請你根據得到的數據，建議該單位派哪個選手參加競賽？文案大全實用標準文檔123解 (1)的概率分布列為131P555所以 E() 1×15 2× 35 3×15 2.22由題意， B 3， 3， E() 3×32，01 31；或者 P( 0) C3327P( 1) C13 23 1 13 2 29；P( 2) C23 23 2 13 49； P( 3) C33 23 3278，專題四正態分布【例5】 某市去年高考考生成績服從正態分布 N(500