1、高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1.5 電磁場(chǎng)邊值關(guān)系電磁場(chǎng)邊值關(guān)系Boundary Conditions of Electromagnetic Field高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀復(fù)習(xí):,0,.DBEtBDHJt MrrHB1 ,0errED1 ,0EJ在導(dǎo)電物質(zhì)中在導(dǎo)電物質(zhì)中稱(chēng)為電導(dǎo)率稱(chēng)為電導(dǎo)率高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1.5 電磁場(chǎng)邊值關(guān)系電磁場(chǎng)邊值關(guān)系Boundary Conditions of Electromagnetic Field 在電動(dòng)力學(xué)中，我們關(guān)心的場(chǎng)量 、 是一個(gè)矢量，要想確

2、定區(qū)域V中的 和 ，必須知道V中每一點(diǎn) 、 的散度和旋度，以及在邊界面上的法線(xiàn)分量 、 。本節(jié)主要是討論兩種不同介質(zhì)的分界面上Maxwells equations 的形式，亦即電磁場(chǎng)邊值關(guān)系。BEBEBEnBnE高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 大家知道, 由于在外場(chǎng)作用下，介質(zhì)分界面上一般出現(xiàn)一層束縛電荷和電流分布，這些電荷、電流的存在又使得界面兩側(cè)場(chǎng)量發(fā)生躍變，這種場(chǎng)量躍變是面電荷、面電流激發(fā)附加的電磁場(chǎng)產(chǎn)生的，描述在兩介質(zhì)分界面上，兩側(cè)場(chǎng)量與界面上電荷、電流的關(guān)系，是本節(jié)的主要討論內(nèi)容。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 然而，微分形

3、式的Maxwells equations不能應(yīng)用到兩介質(zhì)的界面上, 這是因?yàn)镸axwells equations對(duì)場(chǎng)量而言, 是連續(xù)、可微的。只有積分形式的Maxwells equations 才能應(yīng)用到兩介質(zhì)的分界面上，這是因?yàn)榉e分形式的Maxwells equations對(duì)任意不連續(xù)的場(chǎng)量適合。因此研究邊值關(guān)系的基礎(chǔ)是積分形式的Maxwells equations：高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀dddd0ddfSLSSfLSDSQdElBSdtBSdHlIDSdt ,0,.DBEtBDHJt 高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1、法向

4、分量的躍變、法向分量的躍變（discontinuity of normal component) 1D介質(zhì)1介質(zhì)22D2n1n2ds1ds2ds1dsdsfSQsdDD 如圖所示，在分界面處作一個(gè)小扁平匣，匣的上下底面 ， 分別位于界面的兩側(cè)， ， ， 三個(gè)面元平行，大小相等，ds為界面上被截出的面元，匣的高度h0，用 求矢量 通過(guò)匣表面的通量。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀121122ddddSSSSDSDSDSDS側(cè)側(cè)側(cè)D由于匣的高度h0，所以通過(guò)側(cè)面的 的通量也可以忽略不計(jì)，因此1122d()dSDSD nDnS1D介質(zhì)1介質(zhì)22D2n1n高等教育出版社郭碩

5、鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1D介質(zhì)1介質(zhì)22D2n1n12 , nnnn 12()ddfD nDnSSfnnDD12其中 是界面上的自由電荷 面密度， 及 分別為界面兩側(cè)的電位移矢量 在面法線(xiàn)上的分量， 的方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2。nD1fnD2Dn1122d()dSDSD nDnSn21()fnDD高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀12PPnPn為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線(xiàn)極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。PnnPP12fnnDD12nnnnnnPEDPED22021101,Pfnn

6、EE120利用實(shí)際上主要應(yīng)用關(guān)于Dn的邊值關(guān)系式高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀fnnEE1122212112, , nnnnDDEE連續(xù)無(wú)躍變不連續(xù)有躍變fnnDD120f討論討論：a) 對(duì)于兩種電介質(zhì)的分界面 ，則得0fDE b) 只有導(dǎo)體與介質(zhì)交界面上，存在 。這時(shí) 、 在法線(xiàn)上都不連續(xù)，有躍變。DE 根據(jù) 的關(guān)系，不難得到高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 c) 對(duì)于磁場(chǎng) ，把 應(yīng)用到邊界上的扁平匣區(qū)域上，同理得到0sdBSBn2dSh1B介質(zhì)1介質(zhì)22B2n1n1dSdSn121122ddddSSSSBSBSBSBS側(cè)側(cè)側(cè)21()

7、0nBB無(wú)躍變連續(xù) ,12nnBB2211nnHHBH2112 ,nnHH不連續(xù) 有躍變高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生躍變。2 切向分量的躍變SLfSdDdtdIl dH在狹長(zhǎng)形回路上應(yīng)用麥?zhǔn)戏匠蘴1H2H如圖，在界面兩旁取一狹長(zhǎng)形回路，回路的一長(zhǎng)邊在介質(zhì)1中，另一長(zhǎng)邊在介質(zhì)2中。長(zhǎng)邊l與面電流正交。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 取回路上下邊深入到足夠多分子層內(nèi)部，使面電流完全通過(guò)回路內(nèi)部。從宏觀來(lái)說(shuō)回路短邊的長(zhǎng)度仍可看作趨于零,因而有l(wèi)HHl dHLtt12 其中t表示沿l的切向分量。通過(guò)

8、回路內(nèi)的總自由電流為lIffSLfSdDdtdIl dHt1H2H高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而0SdDdtd21ttfHHfLSdH dlID dSdtlHHl dHLtt12lIfft1H2H高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀上式可以用矢量形式表示。設(shè)l為界面上任一線(xiàn)元， t為l方向上的單位矢量。 流過(guò)了l的自由電流為fffInlnl對(duì)于狹長(zhǎng)形回路用21ffLH dlHHlInl 得SLfSdDdtdIl dH21ttfHHfntl高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解

9、讀上式再用n矢乘, 注意到磁場(chǎng)切向分量的邊值關(guān)系21fHHn21fnHHnn0fnfHHn1221ffLH dlHHlInl ffn nn n mntl21ttfHH高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀磁化強(qiáng)度法向分量的躍變：磁化強(qiáng)度法向分量的躍變：lmntdmLMlI21dttLMlMMl現(xiàn)在來(lái)看兩介質(zhì)交界面上的磁化電流分布情況。如圖所示的回路中，有nmt2M1M介質(zhì)2介質(zhì)1lmmIl21ttmMM21()mnMM高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。012EEn可得電場(chǎng)切向分量的邊值關(guān)系：SLSdBdtdl d

10、E,同理，應(yīng)用高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀以后在公式中出現(xiàn)的和, 除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電流線(xiàn)密度，不再寫(xiě)出角標(biāo)f。總括我們得到的邊值關(guān)系為這組方程和麥?zhǔn)戏匠谭e分式一一對(duì)應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場(chǎng)以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實(shí)質(zhì)上是邊界上的場(chǎng)方程。212121210,0.nEEnHHnDDnBBSSfSLfSLSdBQSdDSdDdtdIl dHSdBdtdl dE. 0,高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀例題（課本P37） 無(wú)窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度f(wàn)，求電場(chǎng)和束縛電荷分布。解

11、:由對(duì)稱(chēng)性可知電場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得fD1fD2. 0, 012221212BBnDDnHHnEEn+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀由這兩式得2211,ffEE束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處， f=0由得PfnnEE120fPEE1020120+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀在介質(zhì)1與下板分界處在介質(zhì)2與上板分界處容易驗(yàn)證10101ffPE 20201ffPE0 PPP由得PfnnEE12

12、0介質(zhì)整體是電中性的+ f- f2E1E高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1.6 電磁場(chǎng)的能量和能流電磁場(chǎng)的能量和能流Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field 電磁場(chǎng)是一種物質(zhì)，它具有內(nèi)部運(yùn)動(dòng)。電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)和其他物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式相比有它的特殊性一面，但同時(shí)也有普遍性的一面。即電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)和其他物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式之間能夠互相轉(zhuǎn)化。 高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀1. 場(chǎng)和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律(Law of Conservation and Transform of Energy of Electr

13、omagnetic Field) 能量是按一定的形式分布于場(chǎng)內(nèi)的,而由于場(chǎng)在運(yùn)動(dòng),場(chǎng)能量不是固定的分布于空間中,而是隨著場(chǎng) 在空間中傳播 因此，我們需要引入兩個(gè)物理量來(lái)描述。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀場(chǎng)的能量密度w(x,t), 它是場(chǎng)內(nèi)單位體積的能量。場(chǎng)的能流密度S， S在數(shù)值上等于單位時(shí)間垂直流過(guò)單位橫截面的能量其方向代表能力傳輸方向.高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀能量守恒的積分形式:VtVvfSddddd通過(guò)界面 流入V內(nèi)的能量場(chǎng)對(duì)電荷系統(tǒng)所作的功率V內(nèi)場(chǎng)的能量增加率 場(chǎng)和電荷之間,場(chǎng)的一區(qū)域與另一區(qū)域之間,都有可能發(fā)生能量轉(zhuǎn)

14、移.在轉(zhuǎn)移過(guò)程中總能量是守恒的.高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀相應(yīng)的微分形式:vftwS當(dāng)V 時(shí)VwtVvfdddd結(jié)論: 場(chǎng)對(duì)電荷所做的總功率等于場(chǎng)的總能量減小率,因此場(chǎng)和電荷的總能量守恒.VtVvfSddddd高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀2. 電磁場(chǎng)能量密度和能流密度表達(dá)式Energy Flux Density of Electromagnetic FieldEJBvvEvvBvEvf)()(由洛倫茲力公式得:tDHJ()DJ EEHEt ,BEt ()()DEHHEEt ()()DEHHEEt VtVvfSdddddvftwS

15、()DBEHEHtt 高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀得HEStBHtDEtwvftwStBHtDEHEEJvf)(比較高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀分兩種情況討論(1)真空中電荷分布情況 BH01ED0因此BES01)(2121200BEw這時(shí)相互作用的物質(zhì)是電磁場(chǎng)和自由電荷, 能量在兩者之間傳播. 在真空中HEStBHtDEtw高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 場(chǎng)對(duì)自由電荷所作的功率密度為JE，它或者變?yōu)殡姾傻?動(dòng)能，或者變?yōu)榻苟鸁帷?chǎng)對(duì)介質(zhì)中束縛電荷所作的功轉(zhuǎn)化為極化能和磁化能而儲(chǔ)備在介質(zhì)中，也可能有一

16、部分轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)（介質(zhì)損耗）。當(dāng)外場(chǎng)變化時(shí)，極化能和磁化能亦發(fā)生變化，如果不計(jì)及介質(zhì)損耗，則這種變化是可逆的。 (2)介質(zhì)內(nèi)的電磁能量和能流 這時(shí)相互作用的系統(tǒng)包括三個(gè)方面： 電磁場(chǎng)、自由電荷、介質(zhì)。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀一般介質(zhì)中場(chǎng)能量的改變量BHDEw線(xiàn)性介質(zhì)EDHB積分得:)(21BHDEw介質(zhì)的極化和磁化狀態(tài)由介質(zhì)電磁性質(zhì)方程確定，一定的宏觀電磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)于一定的介質(zhì)極化和磁化狀態(tài)，因此我們把極化能和磁化能歸入場(chǎng)能中一起考慮，成為介質(zhì)中的總電磁能量。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 3. 電磁能量的傳輸Propagati

17、on of energy of electromagnetic field在恒定電流或低頻交流電情況下，電磁能量在場(chǎng)中傳播。在電路中，物理系統(tǒng)的能量包括導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和導(dǎo)線(xiàn)周?chē)臻g中的電磁場(chǎng)能量。導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的電流密度為:vneveJ高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀導(dǎo)體內(nèi)自由電子的平均漂移速度是很小的，相應(yīng)的動(dòng)能也很小，而在恒定的情況下，整個(gè)回路上，電流都有相同的值，因此，電子運(yùn)動(dòng)的能量并不是供給負(fù)載上消耗的能量。在傳輸過(guò)程中，一部分能量進(jìn)入導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部變?yōu)榻苟鸁釗p耗；在負(fù)載電阻上,電磁能量從場(chǎng)中流人電阻內(nèi)，供給負(fù)載所消耗的能量。高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電

18、磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀例題（P43） 同軸傳輸線(xiàn)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)半徑為a，外導(dǎo)線(xiàn)半徑為b，兩導(dǎo)線(xiàn)間為均勻絕緣介質(zhì)(如圖)。導(dǎo)線(xiàn)載有電流I，兩導(dǎo)線(xiàn)間的電壓為U。(1) 忽略導(dǎo)線(xiàn)的電阻，計(jì)算介質(zhì)中的能流S和傳輸功率;(2)計(jì)及內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)的有限電導(dǎo)率,計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)表面進(jìn)入導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的能流,證明它對(duì)于導(dǎo)線(xiàn)的損耗功率.高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀 解： (1)以距對(duì)稱(chēng)軸為r的半徑作一圓周(arb),應(yīng)用安培環(huán)路定律,由對(duì)稱(chēng)性得rIH2導(dǎo)線(xiàn)表面上一般帶有電荷，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的電荷(電荷線(xiàn)密度)為高斯定理 對(duì)稱(chēng)性rrE2rEr2IrH 2高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀式中ez為沿導(dǎo)線(xiàn)軸向單位矢量?jī)蓪?dǎo)線(xiàn)間的電壓baIndrEUbar2zzrerIeHEHES224因而zaberUIS21ln能流密度高等教育出版社郭碩鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀把S對(duì)兩導(dǎo)線(xiàn)間圓環(huán)狀截面積積分得傳輸功率UIdrrUIrdrSPbabaab1ln2 UI即為通常在電路問(wèn)題中的傳輸功率表達(dá)式，這功率是在場(chǎng)中傳輸?shù)母叩冉逃霭嫔绻T鴻版電動(dòng)力學(xué)第5節(jié)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系完全解讀(2)設(shè)導(dǎo)線(xiàn)的電導(dǎo)率為，由歐姆定律,在導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)有zeaIJE2由于電場(chǎng)切向分量是