1、近年來，對于三角形的"四心”問題的考察時有發生，尤其是和平面向量相結合來考A .外心B. 內心C. 重心D .垂心解析：由即-''' ；1 .- 1 f'則“丨4；1 廠所以P為一二的垂心.故選D.點評：本題考查平面向量有關運算，及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關知識巧妙結合三、 內心問題三角形“內心”是三角形三條內角平分線的交點，所以“內心”就在內角平分線線上例3已知P是厶ABC所在平面內的一動點，且點 P滿足則動點P 一定過 ABCFA、重

2、心B、垂心C、外心D、內心解析：如圖2所示，因為I是向量匸丄的單位向量設上-與二一方向上的單位向量Ii I+|分別為刊，又 丿-上 丄，則原式可化為 4,由菱形的基本性質知AP平分一二七L'，那么在 一匚 中，AP平分dW，則知選 B.AB點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生”，首先 MT是什么？想想一個非零向 量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質、角平分線的性質等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了 四、外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線

3、 線上例4已知0是厶ABC內的一點，若 "=0占，貝U O是厶ABC的.A .重心B.垂心C.外心D.內心解析：可旨刃厲方呂秀|冼旨元刃冃方冃元由向量模的定義知0到的三頂點距離相等.故。是的外心，選C.點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個幾何概念， 具有代數形式和幾何形式兩種表示方法，易于數形結合，而且向量問題在進行數形結合時具有新形式、新特點，因此可稱為高中數學的一個交匯點。三角形的“四心”(外心、內心、重心、垂心)是與三角形有關的一些特殊點，各自有一些特 殊的性質。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的

4、“四心”進行考查。這就需要我 們在熟悉向量的代數運算的基礎上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關的一些常見的重要的向量關系式有： 設0, 設0,，則向量，則向量“ AB AC、()必平分/ BAC,該向量必通過 ABC的內心;AB ACAB AC()必平分/ BAC的鄰補角AB AC設 0,的垂心,則向量ABAB cosBACAC cosC）必垂直于邊BC,該向量必通過 ABC ABC中ABAC 一定過bC的中點，通過 ABC的重心 點0是厶ABC的外心2 2 2OA OB 0C 點0是厶ABC的重心+bOA OB OC 0點O是厶ABC的垂心OA Ob Ob Oc Oc OA點O是厶A

5、BC的內心a OA b OB c OC 0 (其中 a b、cabc 三邊) ABC的外心O、重心G、垂心H共線，即OG / OH 設OABC所在平面內任意一點,G ABC的重心，I ABC的內心,則有 OG 1(OA OB OC)3OIaOA bOB cOCabc并且重心G (Xa+X b+XcYa+Y b+Y c內心IaXA+ bX b+ cXa+b+cayA+ byB+ cyca+b+c例1: (2003年全國高考題)O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足OP OAAB(AB AC )AB AC，0,，則動點P的軌跡一定通過厶ABC的()(A)外心(B)內心(C)重

6、心(D)垂心事實上如圖設AEAB ALAB,AC都是單位向量ACETC易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2 : ( 2005年北京市東城區高三模擬題)O ABC所在平面內一點，如果OA OB OB OC OC OA，則 O 必為 ABC 的( )(A)外心(B)內心(C)重心 (D)垂心事實上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OB 丄 CA故選答案D例3:已知0為三角形ABC所在平面內一點，且滿足0A2 2BC0b2 2 2 2CA OC AB ，則點0是三角形ABC 的（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事實上由條件可推出 OA OB OB OC OC

7、 0A故選答案D例4：設O是平面上定點，A、B、C是平面上不共線的三點,動點P滿足OP OAABAC0,，則動點P的軌跡一定通AB cosBAC cosC過厶ABC的（）（A）外心(B)內心（C）重心（D）垂心事實上 （ABAC)?BC ( BC BC) 0故選答案DAB cos BAC cosCOpf.OP.Op!滿 足條件op1例 5、 已知向量|0P| |0| |03| 1，求證： PP2P3是正三角形. oPi i0p2i i0p3i 1，容易想到，Op1 Or； Op! 0 表明，點0是厶RP2P3的重心.分析對于本題中的條件I外心，而另一個條件OF2點0是厶PP2P3的故本題可描述

8、為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一 定是正三角形在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外 接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質是相同的.顯然，本題中的條件|OF?| iOp；i iOp!i 1可改為iOP1i iOF；i iOP!高考原題例6、0是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點 P滿Op 0A足0,）.則P的軌跡一定通過厶ABC的（）.A.外心B.內心C.重心分析已知等式即aPAB(|aB| |，設D .垂心,顯然aE,aF都是單位向量,以二者為鄰邊構造平行四邊形，則結果為菱形，故AP為ABC的平分線，選B .例7、 A

9、BC的外接圓的圓心為0，兩條邊上的高的交點為H，oH m(oA oB OC)，則實數 m =分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識推導則比較復雜,更加重要的一點是缺乏幾何直觀.解法如下，由已知，有向量等式0 ,(0H 0A)|(0C 0B) o,將已知, 有 m(0A 0B 0C) 0A|(0C 0B)0 ,由0是外心，得(m 1)01 BC 0 ,由于 ABC將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有代 入OB2) (m 1)0m是任意三角形，則OABC不恒為0,故只有m 1恒成立.或者，過點0作OM BC與M，則M是BC的中點，有oM7H是垂心，則AH BC，故aH與0M共線，

10、設AH12koM，則0H 0A AH 0A -(0B 0C) ,又 0H m(0A 0B 0C)2(m.2，根據已知式子0H m(0A 0B 0C)中的0A 0B 0C(m 1)0A (mk0，有 m 1 m 0，得 m角形的重心坐標公式，設三角形的重心為G，O是平面內任一點，均有T t T0G寧嚴，由題意，題目顯然敘述的是一個一般的結論，先作圖使問題直觀化，如圖1,由圖上觀察，很容易猜想到HG 2G0，至少有兩個產生，故可得部分，很容易想到三圖1其二，點/、* 5八、猜想的誘因，其一是，BF,OT均與三角形的邊AC垂直，則BF/OT ;G 是三角形的中線 BT的三等分點此時，會先猜想 BHG

11、TOG，但現在缺少一個關鍵的條件，即BH 2OT，這樣由兩個三角形的兩邊長對應成比例，同時，夾角對應相 等可得相似.當然，在考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進行證明.本題結論是關于三角形的歐拉定理，即設 O、G、H分別是 ABC勺外心、GH= 1 : 2，利用向量表示就是重心和垂心，則 O、G、H三點共線，且 OG：OH 3oG .例8、點O是三角形ABC所在平面內的一點,滿足 OA|OB o|oC o|oA，則點O是ABC的（）.A.三個內角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交占八、C三條中線的交點D 三條高的交點分析移項后不難得OB（CA Oc|ab OACB 0，點 O 是

12、 ABC 的垂心,C3推廣應用題例9 在厶ABC內求一點P，使AP2小.BP CP 最分析如圖2,構造向量解決取aCA量有*7Jr X設tbp4a,4XJfx2CP2彳(XJrz1 - -是詁222JraJrx時BP2 CP2 最小，此時，即 Op 1(oA oB oC),則點P為 ABC勺重心.例10已知0為厶ABC所在平面內一點，滿足ioAr ibC ioBf |曲局忌，則。為mbcl bC|2 (oC oB)2 OC OB2 2O|oB , |cA|2,|aB|2 也類似展心.分析將|開代入，已知等式與例4的條件一樣.也可移項后，分解因式合并化簡,O為垂心.例 11已知 0 為 ABC的

13、OAsin BOC OB sin AOCOCsi n AOB分析構造坐標系證明.如圖3,以A為坐標原點，B在x軸的正半軸，C在x軸的上1方.Sa aob - X2y。，直線BC的方程是2yx （X2 X3）y X23 0，由于點A與點O必在直線BC的同側，且畑30 ，因此有Xoy3X3yoX2 yoX230，得c1 ,SA BOC2(X3y0X2 y3 X0 y3 X2 y0) 直線AC的方程是y3X X3y 0，由于點（1,0）與點O必在直線AC的同側,y3X3 0 0，因此有孫3 X3Y0是，容易驗證，Oa0，得 Sa aocSa boc OB2(X0y3 X3y。).OC Sa aob 0 ，Sa aocSa bocSa boa|sin BOC，sin AOB ，Saaoc-21|1|si nAOC，又 |OA| |OB| |oC |，則所證成立.總結：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點；2、垂心三角形的三條垂線的交點；3、內心一一三角形的三個內角角平分線的交點（三角形內切圓的圓心）；4、外心三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心） 根據概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成2： 1；垂線與對應邊的向量積為 0；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點的距離相等OA OB OC 0 ；OA OB OB OC