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1、近年來,對(duì)于三角形的"四心”問題的考察時(shí)有發(fā)生,尤其是和平面向量相結(jié)合來考A .外心B. 內(nèi)心C. 重心D .垂心解析:由即-''' ;1 .- 1 f'則“丨4;1 廠所以P為一二的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算,及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合三、 內(nèi)心問題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線線上例3已知P是厶ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn) P滿足則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABCFA、重

2、心B、垂心C、外心D、內(nèi)心解析:如圖2所示,因?yàn)镮是向量匸丄的單位向量設(shè)上-與二一方向上的單位向量Ii I+|分別為刊,又 丿-上 丄,則原式可化為 4,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分一二七L',那么在 一匚 中,AP平分dW,則知選 B.AB點(diǎn)評(píng):這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”,首先 MT是什么?想想一個(gè)非零向 量除以它的模不就是單位向量?此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí),如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等,若十分熟悉,又能迅速地將它們遷移到一起,這道題就迎刃而解了 四、外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),所以“外心”就在垂直平分線

3、 線上例4已知0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn),若 "=0占,貝U O是厶ABC的.A .重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析:可旨刃厲方呂秀|冼旨元刃冃方冃元由向量模的定義知0到的三頂點(diǎn)距離相等.故。是的外心,選C.點(diǎn)評(píng):本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個(gè)幾何概念, 具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法,易于數(shù)形結(jié)合,而且向量問題在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合時(shí)具有新形式、新特點(diǎn),因此可稱為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)交匯點(diǎn)。三角形的“四心”(外心、內(nèi)心、重心、垂心)是與三角形有關(guān)的一些特殊點(diǎn),各自有一些特 殊的性質(zhì)。在高考中,往往將“向量作為載體”對(duì)三角形的

4、“四心”進(jìn)行考查。這就需要我 們?cè)谑煜は蛄康拇鷶?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有: 設(shè)0, 設(shè)0,,則向量,則向量“ AB AC、()必平分/ BAC,該向量必通過 ABC的內(nèi)心;AB ACAB AC()必平分/ BAC的鄰補(bǔ)角AB AC設(shè) 0,的垂心,則向量ABAB cosBACAC cosC)必垂直于邊BC,該向量必通過 ABC ABC中ABAC 一定過bC的中點(diǎn),通過 ABC的重心 點(diǎn)0是厶ABC的外心2 2 2OA OB 0C 點(diǎn)0是厶ABC的重心+bOA OB OC 0點(diǎn)O是厶ABC的垂心OA Ob Ob Oc Oc OA點(diǎn)O是厶A

5、BC的內(nèi)心a OA b OB c OC 0 (其中 a b、cabc 三邊) ABC的外心O、重心G、垂心H共線,即OG / OH 設(shè)OABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),G ABC的重心,I ABC的內(nèi)心,則有 OG 1(OA OB OC)3OIaOA bOB cOCabc并且重心G (Xa+X b+XcYa+Y b+Y c內(nèi)心IaXA+ bX b+ cXa+b+cayA+ byB+ cyca+b+c例1: (2003年全國(guó)高考題)O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OAAB(AB AC )AB AC,0,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重

6、心(D)垂心事實(shí)上如圖設(shè)AEAB ALAB,AC都是單位向量ACETC易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2 : ( 2005年北京市東城區(qū)高三模擬題)O ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),如果OA OB OB OC OC OA,則 O 必為 ABC 的( )(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心 (D)垂心事實(shí)上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OB 丄 CA故選答案D例3:已知0為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足0A2 2BC0b2 2 2 2CA OC AB ,則點(diǎn)0是三角形ABC 的(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心事實(shí)上由條件可推出 OA OB OB OC OC

7、 0A故選答案D例4:設(shè)O是平面上定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OAABAC0,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通AB cosBAC cosC過厶ABC的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心事實(shí)上 (ABAC)?BC ( BC BC) 0故選答案DAB cos BAC cosCOpf.OP.Op!滿 足條件op1例 5、 已知向量|0P| |0| |03| 1,求證: PP2P3是正三角形. oPi i0p2i i0p3i 1,容易想到,Op1 Or; Op! 0 表明,點(diǎn)0是厶RP2P3的重心.分析對(duì)于本題中的條件I外心,而另一個(gè)條件OF2點(diǎn)0是厶PP2P3的故本題可描述

8、為,若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心,則該三角形一 定是正三角形在1951年高考中有一道考題,原題是:若一三角形的重心與外 接圓圓心重合,則此三角形為何種三角形?與本題實(shí)質(zhì)是相同的.顯然,本題中的條件|OF?| iOp;i iOp!i 1可改為iOP1i iOF;i iOP!高考原題例6、0是平面上一 定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿Op 0A足0,).則P的軌跡一定通過厶ABC的().A.外心B.內(nèi)心C.重心分析已知等式即aPAB(|aB| |,設(shè)D .垂心,顯然aE,aF都是單位向量,以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形,則結(jié)果為菱形,故AP為ABC的平分線,選B .例7、 A

9、BC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,oH m(oA oB OC),則實(shí)數(shù) m =分析:本題除了利用特殊三角形求解外,純粹利用向量知識(shí)推導(dǎo)則比較復(fù)雜,更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀.解法如下,由已知,有向量等式0 ,(0H 0A)|(0C 0B) o,將已知, 有 m(0A 0B 0C) 0A|(0C 0B)0 ,由0是外心,得(m 1)01 BC 0 ,由于 ABC將其中的向量分解,向已知等式形式靠攏,有代 入OB2) (m 1)0m是任意三角形,則OABC不恒為0,故只有m 1恒成立.或者,過點(diǎn)0作OM BC與M,則M是BC的中點(diǎn),有oM7H是垂心,則AH BC,故aH與0M共線,

10、設(shè)AH12koM,則0H 0A AH 0A -(0B 0C) ,又 0H m(0A 0B 0C)2(m.2,根據(jù)已知式子0H m(0A 0B 0C)中的0A 0B 0C(m 1)0A (mk0,有 m 1 m 0,得 m角形的重心坐標(biāo)公式,設(shè)三角形的重心為G,O是平面內(nèi)任一點(diǎn),均有T t T0G寧嚴(yán),由題意,題目顯然敘述的是一個(gè)一般的結(jié)論,先作圖使問題直觀化,如圖1,由圖上觀察,很容易猜想到HG 2G0,至少有兩個(gè)產(chǎn)生,故可得部分,很容易想到三圖1其二,點(diǎn)/、* 5八、猜想的誘因,其一是,BF,OT均與三角形的邊AC垂直,則BF/OT ;G 是三角形的中線 BT的三等分點(diǎn)此時(shí),會(huì)先猜想 BHG

11、TOG,但現(xiàn)在缺少一個(gè)關(guān)鍵的條件,即BH 2OT,這樣由兩個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例,同時(shí),夾角對(duì)應(yīng)相 等可得相似.當(dāng)然,在考試時(shí),只需大膽使用,也可利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行證明.本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理,即設(shè) O、G、H分別是 ABC勺外心、GH= 1 : 2,利用向量表示就是重心和垂心,則 O、G、H三點(diǎn)共線,且 OG:OH 3oG .例8、點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足 OA|OB o|oC o|oA,則點(diǎn)O是ABC的().A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交占八、C三條中線的交點(diǎn)D 三條高的交點(diǎn)分析移項(xiàng)后不難得OB(CA Oc|ab OACB 0,點(diǎn) O 是

12、 ABC 的垂心,C3推廣應(yīng)用題例9 在厶ABC內(nèi)求一點(diǎn)P,使AP2小.BP CP 最分析如圖2,構(gòu)造向量解決取aCA量有*7Jr X設(shè)tbp4a,4XJfx2CP2彳(XJrz1 - -是詁222JraJrx時(shí)BP2 CP2 最小,此時(shí),即 Op 1(oA oB oC),則點(diǎn)P為 ABC勺重心.例10已知0為厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足ioAr ibC ioBf |曲局忌,則。為mbcl bC|2 (oC oB)2 OC OB2 2O|oB , |cA|2,|aB|2 也類似展心.分析將|開代入,已知等式與例4的條件一樣.也可移項(xiàng)后,分解因式合并化簡(jiǎn),O為垂心.例 11已知 0 為 ABC的

13、OAsin BOC OB sin AOCOCsi n AOB分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明.如圖3,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸的正半軸,C在x軸的上1方.Sa aob - X2y。,直線BC的方程是2yx (X2 X3)y X23 0,由于點(diǎn)A與點(diǎn)O必在直線BC的同側(cè),且畑30 ,因此有Xoy3X3yoX2 yoX230,得c1 ,SA BOC2(X3y0X2 y3 X0 y3 X2 y0) 直線AC的方程是y3X X3y 0,由于點(diǎn)(1,0)與點(diǎn)O必在直線AC的同側(cè),y3X3 0 0,因此有孫3 X3Y0是,容易驗(yàn)證,Oa0,得 Sa aocSa boc OB2(X0y3 X3y。).OC Sa aob 0 ,Sa aocSa bocSa boa|sin BOC,sin AOB ,Saaoc-21|1|si nAOC,又 |OA| |OB| |oC |,則所證成立.總結(jié):知識(shí)綜述(一)三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點(diǎn);2、垂心三角形的三條垂線的交點(diǎn);3、內(nèi)心一一三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心);4、外心三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心) 根據(jù)概念,可知各心的特征條件比如:重心將中線長(zhǎng)度分成2: 1;垂線與對(duì)應(yīng)邊的向量積為 0;角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等OA OB OC 0 ;OA OB OB OC

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