1、運(yùn)城學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文淺談新課改后數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用系 別： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 班 級(jí)： 1141 姓 名： 來(lái)燕燕 學(xué) 號(hào)： 2011064114 指導(dǎo)教師： 解瑞金 存檔時(shí)間： 2013年7月 內(nèi)含材料： 讀書(shū)筆記 論文學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 系 別: 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)科專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名: 來(lái)燕燕 運(yùn) 城 學(xué) 院二零一三年六月淺談新課改后數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用系 別： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名：來(lái)燕燕指導(dǎo)教師：解瑞金運(yùn) 城 學(xué) 院二零一三 年 六 月 淺談新課改后數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的

2、對(duì)應(yīng)關(guān)系，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙的結(jié)合起來(lái)，借助形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性以及它們之間的對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化關(guān)系來(lái)研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法。現(xiàn)在高中教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思維能力有較強(qiáng)要求，特別是在新課改實(shí)施后，更加注重提高學(xué)生的探究能力，要求主動(dòng)進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)實(shí)際動(dòng)手操作，而不是機(jī)械被動(dòng)的接受，真正做到以學(xué)生為本，與社會(huì)接軌，而數(shù)形結(jié)合是這一難題的重大突破口，如果能利用好這一工具，就可以起到事半功倍的效果.本文通過(guò)具體例題分析、探究在高中新課程改革中數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 數(shù)與形 數(shù)形結(jié)合 新課程改革 高中數(shù)學(xué)Introduction to application of symbolic-gr

3、aphic combination in mathematics in high school after the new curriculum reformAbstract Symbolic-graphic combination is based on the corresponding relationship between number and shape , ingeniously make combination of quantitative relation and graphics , with theintuitionofform , and the normalityo

4、f number and the corresponding and transformation betweenthemto research and solving math problems.Currently,mathematics thinking ability in high school has being demanded urgently, especially after the implementation of new curriculum reform, it stresses that students should improve their own capab

5、ilities, carries on the exploratory learning actively.To be truly student-centered,trulysocial integrated ,the actual beginning ability rather than mechanical passive acceptance is emphasized. The tool of symbolic-graphic combination is a breakthrough of this problem that if use it well，you can play

6、 a multiplier effect .This article explores the focus of analysis, through specific examples ，the thought of the application of symbolic-graphic combination in the new high school curriculum reform in teaching.Keywordsnumber and shapesymbolic-graphic combination the new curriculum reformhigh school

7、mathematics目錄引 言1第1章 數(shù)形結(jié)合思想的研究作用21.1 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用21.2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中新課改的必要性51.3 從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合51.4 從高考題設(shè)計(jì)來(lái)看數(shù)形結(jié)合6第2章 數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用72.1 數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題82.2 函數(shù)及其圖像內(nèi)容凸顯的數(shù)形結(jié)合思想122.3 幾何內(nèi)容充滿了數(shù)形結(jié)合思想15總 結(jié)16致 謝17參考文獻(xiàn) 17引言數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之，就是通過(guò)建立數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言直觀化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面1：或者是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，即以形

8、作為手段，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如應(yīng)用向量圖像的直觀性來(lái)說(shuō)明向量之間的關(guān)系運(yùn)算；或者是借助于數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段來(lái)解決問(wèn)題，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2.縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材，都有用到數(shù)形結(jié)合思想，而且在高三的章節(jié)復(fù)習(xí)過(guò)程中也得到全面鞏固，但學(xué)生在實(shí)際動(dòng)手解題過(guò)程中仍會(huì)遇到很多問(wèn)題，通過(guò)平時(shí)觀察發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在很多學(xué)生對(duì)圖形的綜合應(yīng)用性不強(qiáng)，很容易思維混亂，只停留在最淺層的圖形分析上，知識(shí)不能靈活貫通.經(jīng)過(guò)教育實(shí)習(xí)實(shí)踐和閱讀相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂，而大部分學(xué)生做題時(shí)比較盲目，不講究方法、技巧，只是就題論題，不能很好的提取題中隱含的信

9、息，也很難做到舉一反三，因此有必要對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧進(jìn)行研究、探索.文中通過(guò)具體實(shí)例詳細(xì)分析了新課程改革后數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.在分析過(guò)程中，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，仔細(xì)回顧學(xué)生的解題誤區(qū)，并指出相應(yīng)的解決對(duì)策，意在讓學(xué)生更好的理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一思想方法，對(duì)老師如何提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和提高學(xué)生成績(jī)有切實(shí)可行的價(jià)值.第1章 數(shù)形結(jié)合思想研究的作用1.1 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)在知識(shí)的深度和廣度上都大幅度增加，如二次函數(shù)、參變量問(wèn)題、三角函數(shù)公式的運(yùn)用、空間與平面及實(shí)際運(yùn)用問(wèn)題等，相同時(shí)間內(nèi)接受的知識(shí)增加不少，但沒(méi)有太多的課時(shí)讓學(xué)生消

10、化吸收；在語(yǔ)言方面也有明顯的區(qū)別，初中數(shù)學(xué)主要是通俗、易懂，而從高一開(kāi)始數(shù)學(xué)內(nèi)容比較抽象，邏輯性比較強(qiáng)，對(duì)高一新生來(lái)說(shuō)思維跨度比較大，因此，教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中要注意逐漸培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言向圖形、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的能力.新課改強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，但在教學(xué)過(guò)程中教師仍是領(lǐng)導(dǎo)者，是領(lǐng)路人的角色，教師如果只是純粹的講授新知，學(xué)生很容易走進(jìn)死學(xué)的胡同，容易產(chǎn)生厭學(xué)情趣.高中生還普遍存在一聽(tīng)就懂，一看就會(huì)，一做就錯(cuò)的現(xiàn)象，而數(shù)形結(jié)合則將教師單純的“教”變成“教”與“學(xué)”并舉，利用數(shù)圖的配合呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系及科學(xué)探究的思路，直觀形象的揭示問(wèn)題本質(zhì)，讓學(xué)生真正自主學(xué)習(xí)，由“要我學(xué)”向“我要學(xué)”轉(zhuǎn)變.

11、例如在講授完函數(shù)概念后，向?qū)W生具體介紹函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)，通過(guò)圖形對(duì)比記憶，最終目的是讓學(xué)生多方面、多層次的理解函數(shù)的本質(zhì)；關(guān)于集合在高中課本開(kāi)始部分講到集合，作為一種新概念的引入，數(shù)形結(jié)合的方法成為很好的過(guò)渡，在一定程度上幫助學(xué)生理解交、并、補(bǔ)等概念.表1.1 韋氏圖的應(yīng)用（1）借助圖形理解概念.圖中陰影部分表示集合S中子集A的補(bǔ)集，記為CA圖中陰影部分表示集合A與集合B的交集，記為AB圖中陰影部分表示集合A與集合B的并集，記為AB由表1.1知，集合和集合的交集就是兩個(gè)集合的公共部分；集合和集合的并就是兩個(gè)集合的全部；集合中的子集的補(bǔ)集就是中除去的剩余部分.通過(guò)圖形，幾個(gè)基本

12、概念之間的聯(lián)系、區(qū)別就很明了了.（2）借助圖形記憶公式高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多公式也多，記憶起來(lái)比較麻煩.特別在三角函數(shù)這一板塊，三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式等有幾十個(gè)，要準(zhǔn)確記憶不是易事，而且很容易記混，如果利用三角函數(shù)的幾何直觀圖來(lái)表示，借助直角坐標(biāo)系和單位圓，如圖1.1所示，問(wèn)題就很容易解決.圖 1.1 設(shè)r是圓的半徑，則=,（）,(),，則結(jié)合三角函數(shù)的定義知：，（）.借助圖形我們還能得到如圖1.2的情況：正切余弦正弦圖 1.2每種三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)）就能夠容易記憶.且有“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，我們很容易判斷各三角函數(shù)的符號(hào)，如的符號(hào)，在的圖形上再往左旋轉(zhuǎn)，把看成銳角，可

13、以判斷在第三象限，有. （3）借助圖形記憶運(yùn)算圖像由于它的直觀性與整體感，是人們數(shù)學(xué)學(xué)生的重要工具，數(shù)學(xué)教學(xué)中許多運(yùn)算可以通話圖形幫助理解并加強(qiáng)記憶，借助圖形的直觀性來(lái)理解抽象概念，如向量的加減法運(yùn)算，它的整個(gè)運(yùn)算過(guò)程運(yùn)用圖1.3很容易完成，但用文字很難描述.向量的減法平行四邊形法則三角形法則圖1.3 向量的運(yùn)算 借助圖形教師可以很形象的把向量的運(yùn)算法則講解清楚，學(xué)生也能清楚理解并掌握.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)數(shù)量的關(guān)系問(wèn)題，分析其幾何意義，借助圖形的直觀性來(lái)解決問(wèn)題，使邏輯思維和形象思維很好的結(jié)合起來(lái)，對(duì)學(xué)生素質(zhì)的拓展和解題能力的提高都有很大的幫助，也為探究數(shù)學(xué)新知開(kāi)辟了一條重要途徑. 1.2 高中

14、數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中新課改的必要性 新一輪基礎(chǔ)教育課程改革是“新課改”的全稱.從根本上說(shuō)，我們當(dāng)今處在知識(shí)大爆炸的信息時(shí)代，社會(huì)正日新月異的向前發(fā)展，如果我們所學(xué)的知識(shí)仍停步不前，我們就會(huì)被淘汰，要做到真正對(duì)學(xué)生負(fù)責(zé)，讓他們真正全面、自主、個(gè)性的發(fā)展，新課程改革已成為教育的新潮流.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程理念、課程目標(biāo)、課程內(nèi)容及實(shí)施建議等各個(gè)部分都對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法做了具體要求，較傳統(tǒng)教學(xué)相比，新課改強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀“三維”目標(biāo)的達(dá)成，因此，進(jìn)行新課改已成為一種必要： （1）培養(yǎng)學(xué)生思維能力的需要.數(shù)學(xué)教育改革要求學(xué)生既要掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又要掌握基本技能.一旦學(xué)生掌握一

15、種數(shù)學(xué)思想方法，他們會(huì)在思想上有所突破，數(shù)學(xué)思維及問(wèn)題解決能力也可以提高到一個(gè)新的層次.通過(guò)國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)比較分析，數(shù)形結(jié)合一方面在宏觀認(rèn)識(shí)上能對(duì)學(xué)生的各種能力起到促進(jìn)作用，比如觀察、理解、記憶、邏輯等；另一方面，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐動(dòng)手能力，讓學(xué)生主動(dòng)參與、積極探究、學(xué)會(huì)合作，適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展需要. （2）提高教學(xué)效果的需要.長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)受到傳統(tǒng)觀念的束縛，數(shù)學(xué)教育側(cè)重于學(xué)習(xí)現(xiàn)成知識(shí)的結(jié)論、解題技巧和方法，卻忽略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最初目的、基本態(tài)度和學(xué)生能力的培養(yǎng)，從而降低了教育的質(zhì)量.學(xué)生需要的并不是現(xiàn)成的結(jié)論、經(jīng)驗(yàn)，只有通過(guò)自己分析、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能真正掌握一門學(xué)習(xí)技巧，在學(xué)習(xí)、生活中都會(huì)受益匪

16、淺.1.3從新課改教材的內(nèi)容特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合新課改的核心理念就是一切以學(xué)生的發(fā)展為前提.因此，現(xiàn)代教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，數(shù)形結(jié)合思想偏重于將某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，使很多問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣可以優(yōu)化學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生健康、快樂(lè)的學(xué)習(xí). 新課改后，高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修兩部分.必修部分包括集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)、立體幾何初步、平面幾何、平面解析幾何初步、平面上的向量、三角恒等變換、解三角形、數(shù)列、不等式等2.可以說(shuō)，整個(gè)高中數(shù)學(xué)基本上都在數(shù)形結(jié)合的思想下展開(kāi).新課標(biāo)的基本理念是注重高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性，發(fā)

17、揚(yáng)我國(guó)高中數(shù)學(xué)重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)和基本能力的培養(yǎng).就高中數(shù)學(xué)新教材比原先的舊版教材，有許多鮮明的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上更突出，思維方法向理性層次變遷，知識(shí)內(nèi)容的整體增加3，如常見(jiàn)的求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題，解方程及解不等式或是三角函數(shù)等問(wèn)題，很大程度簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，在選擇，填空題中這種優(yōu)勢(shì)更為顯著，因此，教師要幫助學(xué)生把這一觀點(diǎn)深植到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，靈活的運(yùn)用這一思維工具.1.4 從高考題設(shè)計(jì)來(lái)看數(shù)形結(jié)合隨著社會(huì)的發(fā)展，不斷提倡創(chuàng)新型人才，高考命題也朝著多樣性和多變性發(fā)展，強(qiáng)調(diào)檢測(cè)學(xué)生的創(chuàng)新能力，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性及

18、綜合運(yùn)用能力.向量與平面解析幾何都具有數(shù)形結(jié)合的特征，在它們的知識(shí)點(diǎn)交匯處命題正是高考命題的一大亮點(diǎn).題設(shè)條件中，通常涉及夾角、平行、垂直、共線、長(zhǎng)度等問(wèn)題，應(yīng)用這些條件時(shí)，通常是向量的坐標(biāo)運(yùn)算把其轉(zhuǎn)化為解析幾何中的條件，使問(wèn)題坐標(biāo)化、代數(shù)化、符號(hào)化，從而應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決解析幾何中的相關(guān)問(wèn)題.其中，平面向量的的數(shù)量積的坐標(biāo)形式運(yùn)算，兩非零向量平行、垂直的充要條件，向量的夾角公式，模的計(jì)算等都是常用到的知識(shí). 從考試的角度來(lái)看，解選擇題，填空題只要答案對(duì)就可以了，至于用到什么方法、手段都不重要，但思路要清晰，平時(shí)做題過(guò)程中要盡可能弄清每一個(gè)題的解決方法，在解一道題時(shí)可能會(huì)有好幾種不同的解法，這

19、就要求學(xué)生能夠理解和掌握所學(xué)知識(shí)并很好的運(yùn)用.由于不要求過(guò)程，解題過(guò)程中用數(shù)形結(jié)合可以化常規(guī)為特殊，避免小題大作，真正做到準(zhǔn)確和快速.例 1.1 （上海）如圖1.4，與是四面體中互相垂直的棱，=2.若且，其中為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是_ . 解析因?yàn)榍遥梢?jiàn)點(diǎn)和點(diǎn)是在為焦點(diǎn)的橢圓上；又因?yàn)榕c垂直，可知四面體是由三角形繞旋轉(zhuǎn)到這個(gè)位置得到的.作垂直于于點(diǎn)，且垂直于，所以四面體的體積最大值即當(dāng)三角形的面積最大時(shí)，即EF取最大值時(shí)；即取最大值時(shí).的最大值是，的最大值是，所以四面體體積最大值為.圖 1.4圖1.5小結(jié) 本題主要是考查學(xué)生空間立體想象能力，根據(jù)題意結(jié)合圖形來(lái)解答.本題最大的難點(diǎn)是借

20、助空間圖形進(jìn)行分解與組合，作出輔助線，本題也不是只考查四面體的相關(guān)知識(shí)，還應(yīng)用了橢圓的相關(guān)知識(shí)，我們習(xí)慣自上而下觀察圖形，在本題中我們要學(xué)會(huì)換位思考作出相應(yīng)輔助線解答.高中的解析幾何大多會(huì)包含許多知識(shí)點(diǎn)，也考查學(xué)生的變向思維能力，命題一般都緊密結(jié)合教材，但不局限于教材，因此備受出題者的青睞.高考中的幾何題通常概念性很強(qiáng)，思維活躍，計(jì)算要求不是很高，解中常常通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想從動(dòng)態(tài)的角度把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，達(dá)到研究、解決問(wèn)題的目的，考查學(xué)生的綜合動(dòng)手動(dòng)腦能力.第2章數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用 新教材更加注重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，借助實(shí)例引入新知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知

21、欲望，因而提高課堂效率.所以，教師要立足新教材，又不僅僅局限于新教材，在吃透教材的基礎(chǔ)上挑選經(jīng)典題型，并努力創(chuàng)設(shè)解決問(wèn)題的各種情境，誘導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦參與到問(wèn)題的解決中.2.1 數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合思想可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問(wèn)題，特別是一些三角函數(shù)的題目和我們通常見(jiàn)到的線性規(guī)劃問(wèn)題.近幾年來(lái)，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，正符合現(xiàn)在新課改的目的要求學(xué)以致用，與生活接軌，與社會(huì)接軌.例2.1 某公司計(jì)劃2013年在甲，乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過(guò)90000元，甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為50

22、0元/分和200元/分，假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？分析 本題屬于典型的求最值題，它考查的是時(shí)間分配問(wèn)題，所以采用線性規(guī)劃的方法解決.先設(shè)分配給甲、乙電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為、,然后建立關(guān)于,所滿足的約束條件（即不等式）和目標(biāo)函數(shù).然后借助幾何圖形，在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最大值.在求最大、最小值時(shí)，先令目標(biāo)函數(shù)為0，即,根據(jù)限制條件作出圖形，然后平移目標(biāo)函數(shù)，若求最小值目標(biāo)函數(shù)向左平移，最后一個(gè)接觸點(diǎn)就是所求點(diǎn)，函數(shù)值就是所求值；若求最大值目標(biāo)函數(shù)向右平移，最后接觸點(diǎn)就是所求點(diǎn)，函數(shù)值就是所求值4.解 設(shè)公司在甲電視臺(tái)

23、和乙電視臺(tái)做廣告是時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得 即 目標(biāo)函數(shù)為.畫(huà)出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖2.1所示的陰影部分.作直線L：,即.平移，從圖2.1可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取的最大值.聯(lián)立 解得=100,=200.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（元），即公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙公司做200分鐘廣告，公司收益最大，最大收益是70萬(wàn).圖2.1 100200100200小結(jié) 本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合思想.在物資調(diào)運(yùn)、產(chǎn)品安排、下料問(wèn)題、飼料配方等問(wèn)題中，一般運(yùn)用線性規(guī)劃來(lái)求其最大值或最小值.本題實(shí)際上還考慮了不等式的應(yīng)用，這就要求在解題時(shí)要學(xué)會(huì)

24、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，注意知識(shí)的連貫性.在近幾年的高考試卷中都可以找到實(shí)際應(yīng)用的題，正符合新課改的核心理念“以學(xué)生為本，關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展”.例2.2 已知實(shí)數(shù)、滿足,求的最小值.分析 在本題中，充分利用了數(shù)學(xué)式的幾何意義：（1）是點(diǎn)到點(diǎn)（1,2）的距離的平方，兩點(diǎn)之間線段最短；（2）是點(diǎn)的軌跡，該題實(shí)際上是求點(diǎn)（1,2）到直線的最短距離，這些幾何意義起到了以“形”助“數(shù)”的作用.在明確了即為點(diǎn)（1,2）到的距離后，這一距離并不是從圖形上測(cè)量而得，而是用點(diǎn)到直線的距離公式求得的，這就是“數(shù)”解“形”的作用.解 的幾何意義是：點(diǎn)到點(diǎn)（1,2）的距離的平方，而點(diǎn)到上移動(dòng).顯然的最小值是點(diǎn)（1,2）到直

25、線的距離.即，所以2，即的最小值為4.小結(jié)本題和上述例題同屬一類，但不是單純的運(yùn)用題設(shè)條件寫(xiě)出限制條件，通常函數(shù)求最值需要畫(huà)出幾何圖形，該題只告訴了直線，但不要忽略了在題目最后中我們還可以提取到點(diǎn)（1,2）到的距離，該題還可理解為,求的最小值.做題過(guò)程中要分析解決問(wèn)題首先要理解題意，借助圖形，注意所說(shuō)的圖形可以只是比較大概的草圖，通過(guò)圖形幫助理解大意是很有效的方法.在平時(shí)訓(xùn)練中，教師可以適當(dāng)增加一些開(kāi)放式題和新型題的訓(xùn)練以開(kāi)拓學(xué)生的知識(shí)面，加強(qiáng)對(duì)圖形的應(yīng)用.例2.3 某生產(chǎn)廠家在生產(chǎn)機(jī)器零件時(shí)需要使用型膠水粘合零件之間的磁鋼與夾板，但長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)該膠的使用沒(méi)有明確的規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)常出現(xiàn)用膠過(guò)多，膠

26、水外溢；或用膠過(guò)少，產(chǎn)生脫落，影響了產(chǎn)品質(zhì)量.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，已有一些恰當(dāng)用膠量的具體數(shù)據(jù)（表2.1），現(xiàn)在需要提出一個(gè)既科學(xué)又簡(jiǎn)便的方法來(lái)確定磁鋼面積與用膠量的關(guān)系，試解決此問(wèn)題.表 2.1序號(hào)12345678910磁鋼面積/cm11.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.0443.4用膠量/g0.1640.3690.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332分析 本題看似與圖形沒(méi)有關(guān)系，實(shí)際上該題與上述兩個(gè)例題是同一類型，從生產(chǎn)廠家考慮還是希望用最少的材料產(chǎn)生最大的效益，所以該題還是求最值問(wèn)題.分析題意，就是要建立一個(gè)以磁鋼面積為自

27、變量，用膠量為因變量的關(guān)系.本題中沒(méi)有給出函數(shù)的模型，需要通過(guò)分析所給的數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ颓蠼?觀察散點(diǎn)圖2.2，可以清楚地看到這些基本在一條直線附近，所以可以選擇直線作為模擬模形. 解 若令x表示磁鋼的面積，單位，令表示用膠量，單位，根據(jù)圖像可以設(shè)二者的函數(shù)關(guān)系為.取點(diǎn)（56.6，0.812），（189.0，2.86），將其坐標(biāo)帶入，得：解得.所以所求的關(guān)系式是.8462200100圖 2.2小結(jié)本題還是考查函數(shù)的應(yīng)用.列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系布列方程，要突破這一難點(diǎn)，往往就是要根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法在題中沒(méi)有給出函數(shù)模型時(shí)，需要通過(guò)分

28、析所給的數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ颓蠼?如何選擇函數(shù)的模型呢？最好的方法是畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察與之最接近的函數(shù)圖像，知識(shí)要學(xué)會(huì)活學(xué)活用.我們要立足教材，但絕不能局限于教材，學(xué)會(huì)發(fā)散思維，這才符合新課改的目的.2.2 函數(shù)及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所占份額比較大，包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一元二次函數(shù)等，因此，要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，做到腦中有圖，將圖形性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到化難為易，解決問(wèn)題的目的.例2.4 已知二次函數(shù)的圖形如圖2.3所示，下列結(jié)論：；.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）. A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1

29、個(gè)解析 從圖像的開(kāi)口向和圖向與周交點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以直接得到.對(duì)于，要根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸來(lái)確定.若拋物線對(duì)稱軸在軸右側(cè)，即-，則,所以異號(hào)；反之，同號(hào).本題中拋物線對(duì)稱軸在軸右側(cè)，所以；所以.對(duì)于，需要根據(jù)拋物線定點(diǎn)橫坐標(biāo)與1的大小比較.觀察圖像可得，-,所以.而是二次函數(shù)當(dāng)自變量取值為-2時(shí)的函數(shù)值，觀察圖像可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在軸下方，所以.又由圖像可得當(dāng)時(shí)的函數(shù)值的絕對(duì)值大于時(shí)的函數(shù)值的絕對(duì)值，所以,所以.故選擇項(xiàng).1-1圖 2.3小結(jié) 與圖形相關(guān)的函數(shù)題，圖形是一個(gè)突破口，解題過(guò)程中一定要緊密結(jié)合圖形解答.本題的突破口是二次函數(shù)開(kāi)口向下，說(shuō)明，這就要求學(xué)生做題過(guò)程中一定要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)內(nèi)容的鞏固與練習(xí)，本

30、題看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上全是對(duì)二次函數(shù)基本概念的考查.對(duì)于二次函數(shù))，開(kāi)口向上，開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是-；若，說(shuō)明函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)解；若,說(shuō)明函數(shù)圖像與只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)解（或兩個(gè)相同的解）；若,函數(shù)圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)，方程無(wú)解.以上都是二次函數(shù)的基本性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握并靈活運(yùn)用.例2.55已知函數(shù)在區(qū)間（-，4）上是減函數(shù)，則的范圍是_.解析 在解這個(gè)題目時(shí)，必須應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，否則容易得出.求解這個(gè)題目是逆向思維的過(guò)程根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的值，由于二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)處分開(kāi)，即對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)，而根據(jù)題設(shè)求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，含有參數(shù),無(wú)法確定它與4

31、的大小關(guān)系，所以要分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)是與4的大小關(guān)系，針對(duì)每種情況畫(huà)出一個(gè)草圖（如圖所示），根據(jù)圖像可知符合題意的是右邊的兩邊曲線，而這兩種情況與第三條曲線的區(qū)別就在于它們的對(duì)稱軸的位置不同，概況起共同性可以得出符合條件的關(guān)系是,即4在的左邊，從而求解得.14圖 2.41小結(jié) 本題與上例題同屬一類，都是有關(guān)二次函數(shù)的題型，但本題的難度要求更高，在熟練掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)后考查的知識(shí)面更深、更廣.很多題目的求解過(guò)程中如果能自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以避免不應(yīng)該出現(xiàn)的錯(cuò)誤，例2.5中畫(huà)出圖像可以快捷正確地求解.例 2.66 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）. A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)解

32、析 用代數(shù)的方法求解該方程是很困難的，因此考慮數(shù)形結(jié)合法：觀察圖形方程的解是函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).-121圖 2.5所以這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).在同一坐標(biāo)系里作出與的圖像，如上圖2.5，不難看出，這兩個(gè)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故方程有三個(gè)解，正確選項(xiàng)為.小結(jié) 在解有關(guān)三角函數(shù)的問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.方程與函數(shù)是密切聯(lián)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，方程的解是相應(yīng)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，對(duì)一些解起來(lái)困難的方程可以借助數(shù)形結(jié)合比較容易.再者，在做選擇題時(shí)要求思路清晰，但不要求過(guò)程，結(jié)合圖形可以快速解答.2.3 幾何內(nèi)容

33、充滿了數(shù)形結(jié)合思想立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生形成空間抽象思維能力，通過(guò)對(duì)實(shí)際模型的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)語(yǔ)言描述，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言. 例 2.77如圖2.6，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)，,.（1）求證：/平面； （2）求證：平面平面； （3）求異面直線與所成的角的正切值.圖 2.6分析 求異面直線所成的角時(shí)，先作平行線并把所作的角放在三角形中解三角形，如果求的角為鈍角，根據(jù)異面直線所成的角的范圍（0，90，取其補(bǔ)角即可. （1）由于，分別為，的中點(diǎn)，想到中位線，可用線面平行的判定定理證明；（2）觀察圖形只要證明平面即可；（3）由（1）知，或其補(bǔ)

34、角為所求的角，然后在中進(jìn)行計(jì)算.證明 （1）是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)又平面，平面/平面 （2）底面又且平面平面平面平面（3）由（1）知，故知或其補(bǔ)角為所求的角在中，在中，異面直線與所成的角的正切值為. 小結(jié) 本題考查了考查線面平行，面面垂直的判定定理以及異面直線所成的角.還考查了學(xué)生的邏輯推理和空間想象能力，該題目難度不是特別大，再就是幾何類的題目考查的不深，這就要求學(xué)生一定能夠理解、掌握并熟練運(yùn)用相關(guān)定理與判定，萬(wàn)變不離其宗.空間立體圖比較抽象，要求學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖形作出相應(yīng)的輔助線完成解答.總結(jié)總之，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要也是最基本的一種數(shù)學(xué)思想，它將題目中的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來(lái).其解題思維新穎、方法直觀明了，對(duì)拓展學(xué)生的解題思維、提升解題能力有著積極的作用.數(shù)形結(jié)合不僅可以幫助我們更好、更透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)概念、定理等，而且也是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，因此，要注重在實(shí)際應(yīng)用中數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)、使用.此外，在使用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)