1、*MCM1第一章、數(shù)學(xué)建模概論第一章、數(shù)學(xué)建模概論 前言前言1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模1.2 1.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟1.3 1.3 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類1.4 1.4 數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)*MCM2 隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已不再局限于傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域，而正以空前的廣度的應(yīng)用已不再局限于傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域，而正以空前的廣度和深度逐步滲透到人類活動的各個領(lǐng)域。和深度逐步滲透到人類活動的各個領(lǐng)域。 前言：前言： 利用數(shù)學(xué)知識研究和解決實(shí)際問題，遇到的第一項(xiàng)

2、工利用數(shù)學(xué)知識研究和解決實(shí)際問題，遇到的第一項(xiàng)工作就是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（簡稱數(shù)學(xué)建模），數(shù)學(xué)建作就是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（簡稱數(shù)學(xué)建模），數(shù)學(xué)建模正在越來越廣泛地受到人們的重視。模正在越來越廣泛地受到人們的重視。*MCM31.1 1.1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模模型模型是客觀實(shí)體有關(guān)屬性的模擬。 1.陳列在櫥窗中展覽的飛機(jī)模型 2.參加航模比賽的飛機(jī)模型 模型并非一定要是實(shí)體的一種仿照，也可以是對實(shí)體的某些基本屬性的抽象。例如，電路圖/地圖*MCM4 數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它們的建數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它們的建立常常既需要人們對現(xiàn)實(shí)問題有比較深入細(xì)微

3、的觀察和立常常既需要人們對現(xiàn)實(shí)問題有比較深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用各種知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的種應(yīng)用各種知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程被稱為過程被稱為數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical ModelingMathematical Modeling）。）。為為了更清楚地說明什么是數(shù)學(xué)建模，讓我們來看一個具體了更清楚地說明什么是數(shù)學(xué)建模，讓我們來看一個具體實(shí)例。實(shí)例。 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（Mathematical ModelMathematical Model）作為模型的一）作

4、為模型的一類，也是一種模擬，是以數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、類，也是一種模擬，是以數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、圖形等為工具對現(xiàn)實(shí)問題或?qū)嶋H課題的本質(zhì)屬性的抽象而圖形等為工具對現(xiàn)實(shí)問題或?qū)嶋H課題的本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略等。的最優(yōu)策略或較好策略等。*MCM5例例1.1 1.1 （萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)）（萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)） 那是那是16661666年夏末的一個傍晚，在英格蘭林年夏末的一個傍

5、晚，在英格蘭林肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕人走進(jìn)了他母親家的花園里，坐在一棵樹下，人走進(jìn)了他母親家的花園里，坐在一棵樹下，開始埋頭讀他的書。正在他翻動書頁時，他頭開始埋頭讀他的書。正在他翻動書頁時，他頭頂上的樹枝被風(fēng)吹得晃動了起來。突然，頂上的樹枝被風(fēng)吹得晃動了起來。突然，“啪啪”的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，恰好打在了這位青年的頭上。這位青年不是別恰好打在了這位青年的頭上。這位青年不是別人，正是時年人，正是時年2323歲的歲的 牛頓牛頓(1642(16421727):1727): 英國著名的

6、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和英國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，是十七世紀(jì)最偉大的科學(xué)巨匠。天文學(xué)家，是十七世紀(jì)最偉大的科學(xué)巨匠。*MCM6 據(jù)說，牛頓當(dāng)時正在苦苦思索著一個問題：是什么力據(jù)說，牛頓當(dāng)時正在苦苦思索著一個問題：是什么力量使月球保持在環(huán)繞地球運(yùn)行的軌道上，又是什么力量使量使月球保持在環(huán)繞地球運(yùn)行的軌道上，又是什么力量使行星保持在其環(huán)繞太陽運(yùn)行的軌道上？掉下的蘋果打斷了行星保持在其環(huán)繞太陽運(yùn)行的軌道上？掉下的蘋果打斷了他的思索，他的思索，“為什么這只蘋果會墜落到地上呢？為什么這只蘋果會墜落到地上呢？”牛頓轉(zhuǎn)牛頓轉(zhuǎn)而考慮起這個使他感到困惑不解的問題。有人說正是從這而考慮起這個使他感到困惑不解

7、的問題。有人說正是從這一問題的思考中，他找到了答案，并提出了一問題的思考中，他找到了答案，并提出了 這一故事講得有聲有色，我們暫且不去管這一故事這一故事講得有聲有色，我們暫且不去管這一故事的真?zhèn)巍渖系粝碌奶O果也許的確給過牛頓某種啟示，的真?zhèn)巍渖系粝碌奶O果也許的確給過牛頓某種啟示，但萬有引力定律的誕生卻決非如此簡單，事實(shí)上，它是但萬有引力定律的誕生卻決非如此簡單，事實(shí)上，它是幾代人努力的結(jié)果。幾代人努力的結(jié)果。*MCM7 十五世紀(jì)中葉，十五世紀(jì)中葉，哥白尼哥白尼（1473-15431473-1543）沖破）沖破宗教努力的束縛，向長期統(tǒng)治人們頭腦的地心說宗教努力的束縛，向長期統(tǒng)治人們頭腦的地心

8、說發(fā)起挑戰(zhàn)，提出了震驚世界的日心說。按照哥白發(fā)起挑戰(zhàn)，提出了震驚世界的日心說。按照哥白尼的理論，地球在一個以太陽為圓心的圓形軌道尼的理論，地球在一個以太陽為圓心的圓形軌道上作勻速圓周運(yùn)動，繞太陽一周的時間叫一年。上作勻速圓周運(yùn)動，繞太陽一周的時間叫一年。哥白尼的理論是科學(xué)史上的一次重大革命，不僅哥白尼的理論是科學(xué)史上的一次重大革命，不僅改變了那個時代人類對宇宙的認(rèn)識，而且根本動改變了那個時代人類對宇宙的認(rèn)識，而且根本動搖了歐洲中世紀(jì)宗教神學(xué)的理論基礎(chǔ)。恩格斯稱搖了歐洲中世紀(jì)宗教神學(xué)的理論基礎(chǔ)。恩格斯稱“從此自然科學(xué)便開始從神學(xué)中解放出來從此自然科學(xué)便開始從神學(xué)中解放出來”，“科學(xué)的發(fā)展從此便大

9、踏步前進(jìn)科學(xué)的發(fā)展從此便大踏步前進(jìn)”。*MCM8 由于受到歷史和科學(xué)水平的限制，哥白尼的學(xué)說也免由于受到歷史和科學(xué)水平的限制，哥白尼的學(xué)說也免不了包含著一些不盡人意的缺陷。不了包含著一些不盡人意的缺陷。 此后，丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué)家此后，丹麥著名的實(shí)驗(yàn)天文學(xué)家第谷第谷（1546-16011546-1601）花了二十多年的時間觀察）花了二十多年的時間觀察當(dāng)時已被發(fā)現(xiàn)的五大行星的運(yùn)動情況當(dāng)時已被發(fā)現(xiàn)的五大行星的運(yùn)動情況, ,獲獲得了十分豐富而又精確的第一手資料，他得了十分豐富而又精確的第一手資料，他一生的奮斗目標(biāo)就是提高觀測的精確性，一生的奮斗目標(biāo)就是提高觀測的精確性，終身堅(jiān)持準(zhǔn)確細(xì)致的實(shí)地觀測，

10、并在去世終身堅(jiān)持準(zhǔn)確細(xì)致的實(shí)地觀測，并在去世前，把這些畢生精心觀測的資料（包括前，把這些畢生精心觀測的資料（包括700700多顆恒星運(yùn)行資料）都贈給了他晚年多顆恒星運(yùn)行資料）都贈給了他晚年最大的發(fā)現(xiàn)最大的發(fā)現(xiàn)他的學(xué)生和助手他的學(xué)生和助手開普勒開普勒（1571-16301571-1630），并且告誡開普勒：一定），并且告誡開普勒：一定要尊重事實(shí)、尊重觀察數(shù)據(jù)。要尊重事實(shí)、尊重觀察數(shù)據(jù)。*MCM9 第谷遺留下來的資料浩如煙海，第谷遺留下來的資料浩如煙海，需要長期、耐心、細(xì)致地去研究。開需要長期、耐心、細(xì)致地去研究。開普勒在對這些資料經(jīng)過了長達(dá)九年的普勒在對這些資料經(jīng)過了長達(dá)九年的分析計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，第

11、谷的觀察結(jié)果與分析計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，第谷的觀察結(jié)果與哥白尼的理論并不完全一致。例如，哥白尼的理論并不完全一致。例如，他在分析火星的公轉(zhuǎn)時發(fā)現(xiàn)，火星的他在分析火星的公轉(zhuǎn)時發(fā)現(xiàn)，火星的運(yùn)行周期與運(yùn)用哥白尼理論計(jì)算出來運(yùn)行周期與運(yùn)用哥白尼理論計(jì)算出來的結(jié)果大約要相差的結(jié)果大約要相差1/81/8度（一個周期為度（一個周期為360360度），開普勒十分了解第谷的習(xí)性，度），開普勒十分了解第谷的習(xí)性，深信第谷的觀察結(jié)果是精確無誤的，深信第谷的觀察結(jié)果是精確無誤的，不可能有這樣大的誤差，于是他認(rèn)為不可能有這樣大的誤差，于是他認(rèn)為產(chǎn)生這一誤差的唯一原因就是火星有產(chǎn)生這一誤差的唯一原因就是火星有可能不是作當(dāng)時人們普遍

12、認(rèn)為的勻速可能不是作當(dāng)時人們普遍認(rèn)為的勻速圓周運(yùn)動。圓周運(yùn)動。*MCM10 他以觀察數(shù)據(jù)為依據(jù)，改用各種不同的幾何曲線他以觀察數(shù)據(jù)為依據(jù)，改用各種不同的幾何曲線來表示火星的運(yùn)動軌跡，發(fā)現(xiàn)火星應(yīng)當(dāng)是沿橢圓軌道來表示火星的運(yùn)動軌跡，發(fā)現(xiàn)火星應(yīng)當(dāng)是沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的，太陽在此橢圓的一個焦點(diǎn)上，而且其繞太陽運(yùn)行的，太陽在此橢圓的一個焦點(diǎn)上，而且其它行星的運(yùn)行也是如此。接著他又發(fā)現(xiàn)，雖然行星運(yùn)它行星的運(yùn)行也是如此。接著他又發(fā)現(xiàn)，雖然行星運(yùn)行的速度是不均勻的，在近日點(diǎn)時較快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)時行的速度是不均勻的，在近日點(diǎn)時較快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)時較慢，但是，從任何一點(diǎn)開始，在單位時間內(nèi)，向徑較慢，但是，從任何一點(diǎn)開始

13、，在單位時間內(nèi)，向徑掃過的面積卻是不變的。開普勒在計(jì)算出當(dāng)時已知的掃過的面積卻是不變的。開普勒在計(jì)算出當(dāng)時已知的五大行星的運(yùn)行周期五大行星的運(yùn)行周期 , ,軌道長半軸軌道長半軸 后，又發(fā)現(xiàn)了后，又發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)行的某些規(guī)律（見表行星運(yùn)行的某些規(guī)律（見表1-11-1）T*MCM11T2T3*MCM12 當(dāng)時，對數(shù)表已經(jīng)出現(xiàn)了，開普勒在把上述數(shù)據(jù)的當(dāng)時，對數(shù)表已經(jīng)出現(xiàn)了，開普勒在把上述數(shù)據(jù)的對數(shù)查出來以后，又得一新表：對數(shù)查出來以后，又得一新表：lgalgT由表由表1-21-2可以看出可以看出 lg:lg2:3aT ，故，故32aT 據(jù)此，開普勒提出了至今仍十分著名的三大假設(shè)據(jù)此，開普勒提出了至今仍

14、十分著名的三大假設(shè)（即（即KeplerKepler三定律三定律） *MCM13 （3 3）行星運(yùn)行周期的平方正比于橢圓長半）行星運(yùn)行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（即為軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（即為絕對常數(shù)）。絕對常數(shù)）。 （1 1）行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢）行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點(diǎn)上。圓的一個焦點(diǎn)上。 （2 2）行星與太陽的連線（矢徑）在相同時）行星與太陽的連線（矢徑）在相同時間內(nèi)掃過的面積相等。間內(nèi)掃過的面積相等。*MCM14 牛頓認(rèn)為，行星運(yùn)動之所以會具有上述特征，必定牛頓認(rèn)為，行星運(yùn)動之所以會具有上述特征，必定是某一力學(xué)

15、規(guī)律的反映，他決心找出這一規(guī)律。根據(jù)開是某一力學(xué)規(guī)律的反映，他決心找出這一規(guī)律。根據(jù)開普勒提出的（普勒提出的（1 1）和（）和（2 2），行星運(yùn)行的速度顯然是不斷），行星運(yùn)行的速度顯然是不斷變化的，這種變化的速度在當(dāng)時還無法計(jì)算，所需要的變化的，這種變化的速度在當(dāng)時還無法計(jì)算，所需要的數(shù)學(xué)工具遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了當(dāng)時傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的范圍。為了研究這數(shù)學(xué)工具遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了當(dāng)時傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的范圍。為了研究這種變化的速度，牛頓不得不自己創(chuàng)造一套嶄新的數(shù)學(xué)方種變化的速度，牛頓不得不自己創(chuàng)造一套嶄新的數(shù)學(xué)方法，并最終建立了微積分，這一過程也花費(fèi)了他整整九法，并最終建立了微積分，這一過程也花費(fèi)了他整整九年的時間。下面我們來看看，

16、如何根據(jù)開普勒三定律和年的時間。下面我們來看看，如何根據(jù)開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即萬有引力定律。萬有引力定律。*MCM15 如圖如圖1-11-1所示，以太陽（設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，橢所示，以太陽（設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，橢圓的長軸方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓方程可表為：圓的長軸方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓方程可表為：cos1epr其中其中 2(1)pae222(1)baeba， e*MCM16應(yīng)用微積分知識，不難求得，在極坐標(biāo)下，矢徑應(yīng)用微積分知識，不難求得，在極坐標(biāo)下，矢徑dt在時間內(nèi)掃過的面積的微元為

17、在時間內(nèi)掃過的面積的微元為: : 221122dAr drdt即即 221rdtdA 由開普勒的假設(shè)（由開普勒的假設(shè)（2 2），矢徑在相同的間內(nèi)掃過的面），矢徑在相同的間內(nèi)掃過的面積相等，故面積的變化率為常數(shù)，因此在任意時刻積相等，故面積的變化率為常數(shù)，因此在任意時刻 t212r221()12(2)02drrrrdt所以所以20rr 即即 *MCM17假設(shè)行星的運(yùn)行周期為假設(shè)行星的運(yùn)行周期為T，則橢圓的面積恰為矢徑，則橢圓的面積恰為矢徑在一個周期內(nèi)掃過的面積，即在一個周期內(nèi)掃過的面積，即 TrdtdtdAabT2021，故，故 Tabr22太陽指向行星的矢徑太陽指向行星的矢徑 rr其長度其長度

18、 與與x x軸的夾角軸的夾角 ),(r點(diǎn)處建立移動的直角坐標(biāo)系，如圖點(diǎn)處建立移動的直角坐標(biāo)系，如圖1-21-2所示所示 在在rurururuu其中其中與與同向，同向， 垂直于垂直于和和均為單位矢量。均為單位矢量。*MCM18顯然移動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系之間有如下的坐標(biāo)變換公式：顯然移動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系之間有如下的坐標(biāo)變換公式：jiujiur)(cos)sin()(sin)(cosij其中其中與與分別為長軸方向和短軸方向上的單位向量。分別為長軸方向和短軸方向上的單位向量。此外有此外有rurrruu對（對（1.31.3）式中的）式中的和和求導(dǎo)并和（求導(dǎo)并和（1.31.3）比較得：）比較得：rruj

19、iuujiu)sin()cos()(cos)sin(*MCM19對（對（1.41.4）式求導(dǎo)并結(jié)合（）式求導(dǎo)并結(jié)合（1.51.5）式得：）式得：ururrr繼續(xù)求導(dǎo)得：繼續(xù)求導(dǎo)得：urururururrr 結(jié)合（結(jié)合（1.51.5）式和（）式和（1.11.1）式我們可得）式我們可得)(2.rrr 以下，我們設(shè)法來求以下，我們設(shè)法來求 2rr，為了計(jì)算方便，我們采用，為了計(jì)算方便，我們采用橢圓的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程。*MCM20cos1eprAr2.2對橢圓方程對橢圓方程求導(dǎo)并注意到求導(dǎo)并注意到 可得：可得：sin2sincos1)cos1 (sin.2.2.pAepeepeper)(22c

20、os12cos2.rpprApApeApAer將將 2.2rA 代入上式可得：代入上式可得：32)()2(prrpAr *MCM21由于由于TabA ，故，故222222.2342224() ()4()4abpraba br rrpT rr TpT r 由開普勒假設(shè)（由開普勒假設(shè)（3 3），）， 32KaT，此外，由橢圓方程可知，此外，由橢圓方程可知 2bpa ，故，故 KpTba1222再由牛頓第二定律再由牛頓第二定律rurmKrmamF 2214*MCM22KMG24GM記記，為絕對常數(shù)（其中為絕對常數(shù)（其中為太陽質(zhì)量），于是為太陽質(zhì)量），于是2rMmFGur 此即我們要推導(dǎo)的萬有引力定理

21、：萬有引力的方向指此即我們要推導(dǎo)的萬有引力定理：萬有引力的方向指向太陽（即作用力為吸引力），大小與距離的平方成反比，向太陽（即作用力為吸引力），大小與距離的平方成反比，與太陽、行星質(zhì)量的乘積成正比，而且比例系數(shù)為絕對常與太陽、行星質(zhì)量的乘積成正比，而且比例系數(shù)為絕對常數(shù)。數(shù)。*MCM231.2 1.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 從前例可以看出，萬有引力的導(dǎo)出并不像有些人想象從前例可以看出，萬有引力的導(dǎo)出并不像有些人想象的那么簡單。即使不把哥白尼的工作計(jì)算在內(nèi)，也包含了的那么簡單。即使不把哥白尼的工作計(jì)算在內(nèi)，也包含了幾代人的辛勤努力。沒有第谷的觀察數(shù)據(jù)就不會有開普勒幾代人的辛勤努力

22、。沒有第谷的觀察數(shù)據(jù)就不會有開普勒的三大定律，而沒有開普勒的三大定律，牛頓也無從著手，的三大定律，而沒有開普勒的三大定律，牛頓也無從著手，不可能得出萬有引力定律。分析萬有引力定律的導(dǎo)出過程，不可能得出萬有引力定律。分析萬有引力定律的導(dǎo)出過程，可以看出建立數(shù)學(xué)模型的過程大致可以分為以下幾個步驟：可以看出建立數(shù)學(xué)模型的過程大致可以分為以下幾個步驟：*MCM24 了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料，這一步驟可以看成是為建掌握必要的數(shù)據(jù)資料，這一步驟可以看成是為建立數(shù)學(xué)模型而做的前期準(zhǔn)備工作。如果對實(shí)際問立數(shù)學(xué)模型而做的前期準(zhǔn)備工作。如果對實(shí)

23、際問題沒有較為深入的了解，就無從下手建模。而對題沒有較為深入的了解，就無從下手建模。而對實(shí)際問題的了解，有時還需要建模者對實(shí)際問題實(shí)際問題的了解，有時還需要建模者對實(shí)際問題作一番深入細(xì)致的調(diào)查研究，就像第谷觀察行星作一番深入細(xì)致的調(diào)查研究，就像第谷觀察行星的運(yùn)動那樣，去搜集掌握第一手資料。的運(yùn)動那樣，去搜集掌握第一手資料。（1 1）了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的*MCM25 在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要對資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化

24、，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。開普的精煉、簡化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。開普勒通過長達(dá)九年的分析計(jì)算，才將第谷的觀測數(shù)據(jù)濃勒通過長達(dá)九年的分析計(jì)算，才將第谷的觀測數(shù)據(jù)濃縮總結(jié)為三大假設(shè)（即開普勒的三大定律），這三大縮總結(jié)為三大假設(shè)（即開普勒的三大定律），這三大假設(shè)是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要基礎(chǔ)。本步驟實(shí)假設(shè)是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要基礎(chǔ)。本步驟實(shí)為建模的關(guān)鍵所在，因?yàn)槠浜蟮乃泄ぷ骱徒Y(jié)果都是為建模的關(guān)鍵所在，因?yàn)槠浜蟮乃泄ぷ骱徒Y(jié)果都是建立在這些假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，也就是說，科學(xué)研究建立在這些假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，也就是說，科學(xué)研究揭示的并非絕對真理，它揭示的只是：假如這些提出揭示的并非絕對

25、真理，它揭示的只是：假如這些提出的假設(shè)是正確的，那么，我們可以推導(dǎo)出一些什么樣的假設(shè)是正確的，那么，我們可以推導(dǎo)出一些什么樣的結(jié)果。的結(jié)果。（2 2）提出假設(shè)提出假設(shè)*MCM26 在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻畫在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻畫各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即建立數(shù)學(xué)各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即建立數(shù)學(xué)模型。采用什么數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)工具要看實(shí)際問題的特模型。采用什么數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)工具要看實(shí)際問題的特征，并無固定的模式。可以這樣講，幾乎數(shù)學(xué)的所有分征，并無固定的模式。可以這樣講，幾乎數(shù)學(xué)的所有分支在建模中都有可能被用到，而對同一個實(shí)際問題

26、也可支在建模中都有可能被用到，而對同一個實(shí)際問題也可用不同的數(shù)學(xué)方法建立起不同的數(shù)學(xué)模型。一般地講，用不同的數(shù)學(xué)方法建立起不同的數(shù)學(xué)模型。一般地講，在能夠達(dá)到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡單在能夠達(dá)到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡單越好。越好。（3 3）建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型*MCM27 為了得到結(jié)果，不言而喻，建模者還應(yīng)當(dāng)對模型為了得到結(jié)果，不言而喻，建模者還應(yīng)當(dāng)對模型進(jìn)行求解，根據(jù)模型類型的不同特點(diǎn)，求解可能包括進(jìn)行求解，根據(jù)模型類型的不同特點(diǎn)，求解可能包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等不同的方面，解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等不同的方面，在難以得出解析解時，還應(yīng)當(dāng)借

27、助計(jì)算機(jī)來求出數(shù)值在難以得出解析解時，還應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)來求出數(shù)值解。解。（4 4） 模型求解模型求解（5 5）模型的分析與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆治雠c檢驗(yàn) 正如前面所講，用建立數(shù)學(xué)模型的方法來研究實(shí)際正如前面所講，用建立數(shù)學(xué)模型的方法來研究實(shí)際課題，得到的只是：假如給出的假設(shè)正確，就會有什么課題，得到的只是：假如給出的假設(shè)正確，就會有什么樣的結(jié)果。那么，假設(shè)正確與否或者是否基本可靠呢，樣的結(jié)果。那么，假設(shè)正確與否或者是否基本可靠呢，建模者還應(yīng)當(dāng)反過來用求解得到的結(jié)果來檢驗(yàn)它。建模者還應(yīng)當(dāng)反過來用求解得到的結(jié)果來檢驗(yàn)它。 *MCM28 建立數(shù)學(xué)模型的目的是為了認(rèn)識世界、改造世建立數(shù)學(xué)模型的目的是為了認(rèn)識世界

28、、改造世界，建模的結(jié)果應(yīng)當(dāng)能解釋已知現(xiàn)象，預(yù)測未來的界，建模的結(jié)果應(yīng)當(dāng)能解釋已知現(xiàn)象，預(yù)測未來的結(jié)果，提供處理研究對象的最優(yōu)決策或控制方案。結(jié)果，提供處理研究對象的最優(yōu)決策或控制方案。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，只有經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，只有經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)的結(jié)果才能被人們廣泛地接受。的結(jié)果才能被人們廣泛地接受。 牛頓的萬有引力定律不僅成功地解釋了大量自牛頓的萬有引力定律不僅成功地解釋了大量自然現(xiàn)象，并然現(xiàn)象，并精確地預(yù)報(bào)了哈雷彗星的回歸精確地預(yù)報(bào)了哈雷彗星的回歸并預(yù)言了并預(yù)言了海王星、冥王星等當(dāng)時尚未被發(fā)現(xiàn)的其他行星的存海王星、冥王星等當(dāng)時尚未被發(fā)現(xiàn)的其他行星的存在，才奠定了其

29、作為經(jīng)典力學(xué)基本定理之一的穩(wěn)固在，才奠定了其作為經(jīng)典力學(xué)基本定理之一的穩(wěn)固地位。由此可見，模型求解并非建模的終結(jié)，模型地位。由此可見，模型求解并非建模的終結(jié)，模型的檢驗(yàn)也應(yīng)當(dāng)是建模的重要步驟之一。的檢驗(yàn)也應(yīng)當(dāng)是建模的重要步驟之一。 只有在證明了只有在證明了建模結(jié)果是經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)建模結(jié)果是經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)的以的以后，建模者才能認(rèn)為大功基本告成，完成了自己預(yù)后，建模者才能認(rèn)為大功基本告成，完成了自己預(yù)定的研究任務(wù)。定的研究任務(wù)。*MCM29 如果檢驗(yàn)結(jié)果與事實(shí)如果檢驗(yàn)結(jié)果與事實(shí)不符，只要不是在求解中不符，只要不是在求解中存在推導(dǎo)或計(jì)算上的錯誤，存在推導(dǎo)或計(jì)算上的錯誤，那就應(yīng)當(dāng)檢查分析在假設(shè)那就應(yīng)當(dāng)

30、檢查分析在假設(shè)中是否有不合理或不夠精中是否有不合理或不夠精確之處，發(fā)現(xiàn)后應(yīng)確之處，發(fā)現(xiàn)后應(yīng)修改假修改假設(shè)重新進(jìn)行建模設(shè)重新進(jìn)行建模，直到結(jié)，直到結(jié)果滿意為止。綜合起來講，果滿意為止。綜合起來講，數(shù)學(xué)建模的過程大致可以數(shù)學(xué)建模的過程大致可以概括為圖概括為圖1-31-3所示的流程。所示的流程。*MCM30 1.3 1.3 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類 基于不同角度或不同目的，數(shù)學(xué)模型可以有多基于不同角度或不同目的，數(shù)學(xué)模型可以有多種不同的分類法。根據(jù)人們對種不同的分類法。根據(jù)人們對實(shí)際問題了解的實(shí)際問題了解的深入程度不同深入程度不同，其數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為白箱模，其數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為白箱模型、灰箱模

31、型或黑箱模型。假如我們把建立數(shù)學(xué)模型、灰箱模型或黑箱模型。假如我們把建立數(shù)學(xué)模型研究實(shí)際問題比喻成一只箱子，通過輸入數(shù)據(jù)型研究實(shí)際問題比喻成一只箱子，通過輸入數(shù)據(jù)（信息），建立數(shù)學(xué)模型來獲取我們原先并不清楚（信息），建立數(shù)學(xué)模型來獲取我們原先并不清楚的結(jié)果，（見圖的結(jié)果，（見圖1-41-4所示）所示）*MCM31 如果問題的機(jī)理比較清楚，內(nèi)在的關(guān)系較為簡單，如果問題的機(jī)理比較清楚，內(nèi)在的關(guān)系較為簡單，這樣的模型就被稱為這樣的模型就被稱為白箱白箱模型。如果問題的機(jī)理極為繁模型。如果問題的機(jī)理極為繁雜，人們對它的了解極其膚淺，幾乎無法加以精確的定雜，人們對它的了解極其膚淺，幾乎無法加以精確的定量分

32、析，這樣的模型就被稱為量分析，這樣的模型就被稱為黑箱黑箱模型。而介于兩者之模型。而介于兩者之間的模型，則被稱為間的模型，則被稱為灰箱灰箱模型。當(dāng)然，這種分類方法是模型。當(dāng)然，這種分類方法是較為模糊的，是相對而言的，況且，隨著科學(xué)技術(shù)的不較為模糊的，是相對而言的，況且，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，今天的黑箱模型明天也許會成為灰箱模型，而斷進(jìn)步，今天的黑箱模型明天也許會成為灰箱模型，而今天的灰箱模型不久也可能成為白箱模型，因此，對這今天的灰箱模型不久也可能成為白箱模型，因此，對這樣的分類我們不必過于認(rèn)真。樣的分類我們不必過于認(rèn)真。*MCM32 根據(jù)模型中變量的特征分類根據(jù)模型中變量的特征分類，模型又可

33、，模型又可分為連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型分為連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等。模型等。數(shù)學(xué)方法分類數(shù)學(xué)方法分類，又可分為初等模型、微分方程模，又可分為初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等等。型、差分方程模型、優(yōu)化模型等等。 此外，對一些人們較為重視或?qū)θ祟惢顒佑绊戄^此外，對一些人們較為重視或?qū)θ祟惢顒佑绊戄^大的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，常常也可以大的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，常常也可以按研究課按研究課題的實(shí)際范疇來分類題的實(shí)際范疇來分類，例如人口模型、生態(tài)模，例如人口模型、生態(tài)模型、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會模型、軍事模型等型、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會模型、軍

34、事模型等等。等。*MCM33 1.4 1.4 數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng) 在高等院校開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的并非簡單在高等院校開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的并非簡單地傳授數(shù)學(xué)知識而是為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)地傳授數(shù)學(xué)知識而是為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的本領(lǐng)。因此，在學(xué)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的本領(lǐng)。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模時，學(xué)生應(yīng)當(dāng)特別注意自身能力的培養(yǎng)與習(xí)數(shù)學(xué)建模時，學(xué)生應(yīng)當(dāng)特別注意自身能力的培養(yǎng)與鍛煉。鍛煉。要想知道梨子的滋味是酸的還是甜要想知道梨子的滋味是酸的還是甜的，你必須親口去嘗一下；的，你必須親口去嘗一下；要想知道如何建要想知道如何建模，

35、除了學(xué)習(xí)基本技能與基本技巧之外，更重要的是模，除了學(xué)習(xí)基本技能與基本技巧之外，更重要的是應(yīng)當(dāng)參與進(jìn)來，在建模實(shí)踐中獲得真知。應(yīng)當(dāng)參與進(jìn)來，在建模實(shí)踐中獲得真知。*MCM34 數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步中都蘊(yùn)含著對能力的鍛煉。數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步中都蘊(yùn)含著對能力的鍛煉。 假設(shè)條件通常是圍繞著兩個目的提出的，一類假設(shè)假設(shè)條件通常是圍繞著兩個目的提出的，一類假設(shè)的提出是為了簡化問題、突出主要因素，而另一類則是的提出是為了簡化問題、突出主要因素，而另一類則是為了應(yīng)用某些數(shù)學(xué)知識或其他學(xué)科的知識。但不管哪一為了應(yīng)用某些數(shù)學(xué)知識或其他學(xué)科的知識。但不管哪一類假設(shè)，都必需盡可能符合實(shí)際，即類假設(shè)，都必需盡可能符合

36、實(shí)際，即既要求做到不既要求做到不失真或少失真又要能便于使用數(shù)學(xué)方法處失真或少失真又要能便于使用數(shù)學(xué)方法處理理，兩者還應(yīng)盡可能兼顧。，兩者還應(yīng)盡可能兼顧。*MCM35 此外，我們的研究應(yīng)當(dāng)是前人工作的繼續(xù)，在真正開始此外，我們的研究應(yīng)當(dāng)是前人工作的繼續(xù)，在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作真正成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人作，使自己的工作真正成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，這就需要你具有很強(qiáng)的查閱文獻(xiàn)資料的能力。工作的重復(fù)，這就需要你具有很強(qiáng)的查閱文獻(xiàn)資料的能力。你可以把某些已知的研究結(jié)果

37、用作你的假設(shè)，即你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，即“站在前站在前人的肩膀上人的肩膀上”，去探索新的奧秘。，去探索新的奧秘。*MCM36 建模求解階段是考驗(yàn)?zāi)銛?shù)學(xué)功底和應(yīng)變能力的階段，你的建模求解階段是考驗(yàn)?zāi)銛?shù)學(xué)功底和應(yīng)變能力的階段，你的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)越好，應(yīng)用就越自如。但學(xué)無止境，任何人都不是全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)越好，應(yīng)用就越自如。但學(xué)無止境，任何人都不是全才，想學(xué)好了再做，其結(jié)果必然是什么也不做。因此，我們還才，想學(xué)好了再做，其結(jié)果必然是什么也不做。因此，我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會在盡可能短的時間內(nèi)查到并學(xué)會我想要應(yīng)用的知識的應(yīng)當(dāng)學(xué)會在盡可能短的時間內(nèi)查到并學(xué)會我想要應(yīng)用的知識的本領(lǐng)。在我們指導(dǎo)學(xué)生參加國內(nèi)外數(shù)

38、學(xué)建模競賽時，常常遇到本領(lǐng)。在我們指導(dǎo)學(xué)生參加國內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競賽時，常常遇到這樣的情況，參賽的理工科學(xué)生感到模擬實(shí)際問題的特征似乎這樣的情況，參賽的理工科學(xué)生感到模擬實(shí)際問題的特征似乎需要建立一個偏微分議程或控制論模型等，他們并沒有學(xué)過這需要建立一個偏微分議程或控制論模型等，他們并沒有學(xué)過這些課程，競賽時間又僅有三、四天（允許查資料和使用一切工些課程，競賽時間又僅有三、四天（允許查資料和使用一切工具），為了獲得較好的結(jié)果，他們只用了二、三個小時就基本具），為了獲得較好的結(jié)果，他們只用了二、三個小時就基本搞懂了他們所要使用的相關(guān)知識并用進(jìn)了他們的研究工作中，搞懂了他們所要使用的相關(guān)知識并用進(jìn)了他

39、們的研究工作中，并最終奪得了優(yōu)異成績。這些同學(xué)在建模實(shí)踐中學(xué)會了快速汲并最終奪得了優(yōu)異成績。這些同學(xué)在建模實(shí)踐中學(xué)會了快速汲取想用的數(shù)學(xué)知識的本領(lǐng)（即取想用的數(shù)學(xué)知識的本領(lǐng)（即“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”的本領(lǐng)），這的本領(lǐng)），這種能力在實(shí)際工作中也是不可缺少的。應(yīng)變能力包括靈活性和種能力在實(shí)際工作中也是不可缺少的。應(yīng)變能力包括靈活性和創(chuàng)造性。創(chuàng)造性。*MCM37 2002 2002年，作為浙江大學(xué)獨(dú)立二級學(xué)院的年，作為浙江大學(xué)獨(dú)立二級學(xué)院的浙江大浙江大學(xué)城市學(xué)院學(xué)城市學(xué)院首次組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競首次組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，參賽學(xué)生同樣只參加了半年左右的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和實(shí)賽，參賽學(xué)

40、生同樣只參加了半年左右的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和實(shí)踐，就在競賽中交出了出色的研究論文，獲得了踐，就在競賽中交出了出色的研究論文，獲得了全國一全國一等獎等獎，并在，并在20042004年國際競賽中獲得年國際競賽中獲得3 3項(xiàng)項(xiàng)國際競賽二國際競賽二等獎等獎。 當(dāng)然，要出色地完成建模任務(wù)還需要用到許多其他當(dāng)然，要出色地完成建模任務(wù)還需要用到許多其他的能力，譬如設(shè)計(jì)算法、編寫程序、熟練使用計(jì)算機(jī)等能的能力，譬如設(shè)計(jì)算法、編寫程序、熟練使用計(jì)算機(jī)等能力，撰寫研究報(bào)告或研究論文的能力，熟練應(yīng)用外語的能力，撰寫研究報(bào)告或研究論文的能力，熟練應(yīng)用外語的能力等等，所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模和參加建模實(shí)踐，實(shí)際上是力等等，所以，學(xué)

41、習(xí)數(shù)學(xué)建模和參加建模實(shí)踐，實(shí)際上是一個綜合能力、綜合素質(zhì)的培養(yǎng)和提高的過程。一個綜合能力、綜合素質(zhì)的培養(yǎng)和提高的過程。*MCM38 參賽獲獎并不是我們的目的，提高自己的素質(zhì)和能參賽獲獎并不是我們的目的，提高自己的素質(zhì)和能力才是我們宗旨，從這一意義上講，只要你真正努力了，力才是我們宗旨，從這一意義上講，只要你真正努力了，你就必定是一個成功的參與者。你就必定是一個成功的參與者。“昨夜西風(fēng)凋碧昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴；眾里尋她千百度，不悔，為伊消得人憔悴；眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。驀然回首，那人卻在燈

42、火闌珊處。”這也正這也正是數(shù)學(xué)建模的真實(shí)寫照。是數(shù)學(xué)建模的真實(shí)寫照。*MCM39、想象力的應(yīng)用、想象力的應(yīng)用*MCM40*MCM41*MCM42這是常規(guī)的計(jì)算方法，事實(shí)上，我們也可以換一這是常規(guī)的計(jì)算方法，事實(shí)上，我們也可以換一種方法來思考這一問題。由于淘汰賽的特殊性，進(jìn)行種方法來思考這一問題。由于淘汰賽的特殊性，進(jìn)行一場淘汰賽必然淘汰一人，反過來，淘汰一人也必須一場淘汰賽必然淘汰一人，反過來，淘汰一人也必須舉行一場淘汰賽，這就是我們數(shù)學(xué)中的舉行一場淘汰賽，這就是我們數(shù)學(xué)中的一一對應(yīng)關(guān)系一一對應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)在我們要從現(xiàn)在我們要從100100位同學(xué)中產(chǎn)生一位冠軍，眾所周知，位同學(xué)中產(chǎn)生一位冠軍，眾所

43、周知，要淘汰要淘汰9999位同學(xué)才能產(chǎn)生最后的冠軍，因此比賽總場位同學(xué)才能產(chǎn)生最后的冠軍，因此比賽總場次應(yīng)為次應(yīng)為9999。l mg 12 *MCM43 (1)()2nnlnmgZmgZ*MCM44nlZn2nkk121 1111122nnnn11nn*MCM45二、發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)二、發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常需要用到創(chuàng)新思維或發(fā)散性思數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常需要用到創(chuàng)新思維或發(fā)散性思維。這里的發(fā)散性思維是相對于維。這里的發(fā)散性思維是相對于“一條道跑到黑一條道跑到黑”的收斂性思維方式而言的，并非是貶義詞。所謂的收斂性思維方式而言的，并非是貶義詞。所謂發(fā)發(fā)散性思維散性思維，是指針對同一個問題，沿著不同的方向，是指針對同一個問題，沿著不同的方向去思考，不同角度、不同側(cè)面地對所給信息或條件去思考，不同角度、不同側(cè)面地對所給信息或條件加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、逆向反復(fù)比較，從而找出多種合乎