1、勒讓德（legendre）多項(xiàng)式及其性質(zhì)一 勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式是由勒讓德方程的通解推導(dǎo)出來(lái)的，所以我們首先引入勒讓德方程，以及勒讓德方程的冪級(jí)數(shù)解，勒讓德方程的表達(dá)式如下： 其中為非負(fù)實(shí)數(shù) （1.1）它的冪級(jí)數(shù)解如下： （1.2）其中： （1.3） （1.4）由達(dá)朗貝爾判別法可知，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，這兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，在（1.3）式和（1.4）式中，與可以任意取值，它們起著任意常數(shù)的作用，顯然，在區(qū)間（1，1）內(nèi)和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，此外級(jí)數(shù)是發(fā)散的。并且，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取非負(fù)整數(shù)時(shí)，和中有一個(gè)便退化為次

2、多項(xiàng)式，它就是方程（1.1）在閉區(qū)間-1,1上的有界解。此時(shí)，適當(dāng)?shù)倪x定這個(gè)多項(xiàng)式的最高次冪系數(shù)，所得的多項(xiàng)式稱(chēng)為階勒讓德多項(xiàng)式或第一類(lèi)勒讓德函數(shù)，記作，下面我們來(lái)推導(dǎo)勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式。 當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)退化為次多項(xiàng)式。為求得的表達(dá)式，在中我們通過(guò)來(lái)表示其它各項(xiàng)的系數(shù)。為此，將系數(shù)遞推關(guān)系式改寫(xiě)成下列形式： （1.5）在（1.5）式中取，得： （1.6）習(xí)慣上取為 （1.7）于是有： （1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得： （1.9）一般地，我們有 （） （1.10）我們將這些系數(shù)帶入（1.3）中，并把此時(shí)的記作，可得： （1.11）這就是當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)勒讓德多項(xiàng)式。 當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)退化為次

3、多項(xiàng)式，我們把記作，同理可得： （1.12）把（1.11）和（1.12）寫(xiě)成統(tǒng)一的形式，得 （1.13）其中表示的整數(shù)部分由上述討論可知，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，和中有一個(gè)是階勒讓德多項(xiàng)式，而另一個(gè)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作，稱(chēng)為第二類(lèi)勒讓德函數(shù)，此時(shí)方程（1.1）通解為： （1.14）特別當(dāng)時(shí)，由（1.11）和（1.12）式得： 它們的圖形如下：二 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)首先介紹一下勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)：試將函數(shù) （1.15）展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù) （1.16）可以證明級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)恰好是勒讓德多項(xiàng)式，最終得到 （1.17）因此稱(chēng)為勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)。1 （1.18）將式（1.17）中的以代入，以代入，立即得到此結(jié)

4、果。此式說(shuō)明的奇偶性由而定，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)。2 （1.19）將代入式（1.17），得到而所以由上式和（1.18）立即得到 3勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式： （1.20） （1.21） （1.22） （1.23） （1.24）現(xiàn)在我們來(lái)證明（1.20）及其它的導(dǎo)數(shù)公式，將母函數(shù)分別對(duì)微分，得到得到下列兩個(gè)恒等式 （1.25） （1.26）又從式（1.25）和（1.26）得到 （1.27）將（1.17）兩端分別對(duì)微分，得到 （1.28） （1.29）然后將它們帶入（1.27），得到于是得到與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式其它的導(dǎo)數(shù)公式這里不在一一證明。將式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)都等于零，因此，最終得到 這就是遞推公式，由，可以推出，由，可以推出，.4勒讓德多項(xiàng)