1、附件7論文（設計）管理表一昌吉學院本科畢業論文（設計）開題報告論文（設計）題目 淺談泰勒公式及其應用系（院）數學系專業班級數學與應用數學B1002學科理學學生姓名馬尚紅指導教師姓名馬園媛學號職稱講師一、 選題的根據（1、內容包括：選題的來源及意義，國內外研究狀況，本選題的研究目標、內容創新點及主要參考文獻等。2、撰寫要求：宋體、小四號。）1. 選題的來源及意義 泰勒公式是數學分析中非常重要的內容，是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中值。泰勒公式還給出了

2、這個多項式和實際的函數值之間的偏差。泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數在某點周圍的情況。比如說，指數函數在的附近可以用以下多項式來近似地表示：稱為指數函數在0處的階泰勒展開公式。這個公式只對0附近的有用，離0越遠，這個公式就越不準確。實際函數值和多項式的偏差稱為泰勒公式的余項。對于一般的函數，泰勒公式的系數的選擇依賴于函數在一點的各階導數值，這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數在一點附近的最佳線性近似：，其中高階的無窮小。也就是說注意到和 在 處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函數，如果一個多項式在 處的前次導數值都與函數在處的前 次導數值重合，那么這個多項式應該能很好地

3、近似描述函數在附近的情況。對于多元函數，也有類似的泰勒公式。設是歐幾里得空間中的開球，是定義在的閉包上的實值函數，并在每一點都存在所有的次偏導數。這時的泰勒公式為：對所有，其中的是多重指標。其中的余項也滿足不等式：對所有滿足 泰勒公式也是大學數學中的一個重要知識，由此本文將總結幾種泰勒公式的證明及其應用。其泰勒公式在近似計算，求極限，判斷函數凸凹性等方面的應用，除此之外，它還可應用于行列式，證明不等式，判斷無窮級數、無窮積分的收斂性，求函數導數的中值估計、求曲面的漸進線方程，高階求導等等。2.國內外研究狀況 重要數學公式對數學發展的作用是不可估量的，泰勒定理對數學發展的影響，可以說是貫穿古今，

4、泰勒公式起源于牛頓插值的有限差分，1715年泰勒出版了增量法及其逆一書，在這本書中載有現在微積分教程中以他的名字命名的一元函數的冪級數展開公式，當時他是通過對格雷戈里牛頓插值公式求極限而得到的，一百多年后，柯西對無窮級數的收斂性給出了一個嚴格的證明。1755年，歐拉把泰勒級數用于他的“微分學”時才認識到其價值，后來拉格朗日用帶余項的級數作為其函數理論的基礎，從而進一步確認了泰勒級數的重要地位勒也以函數的泰勒展開而聞名于后世泰勒定理在數學發展史上有著重要的作用。 泰勒公式的證明與應用方面的研究對于科研者來說一直具有強大的吸引力，許多研究者已在此領域獲得許多研究成果，例如：湖南科技學院數學系的唐仁

5、獻在文章泰勒公式的新證明及其推廣中在推廣了羅爾定理的基礎上重新證明了泰勒公式；洛陽工業高等?？菩Ｓ嬎銠C系王素芳、陶容、張永勝在所著的文章泰勒公式在計算及證明中的應用中研究了泰勒公式在極限運算、等式及不等式證明中的應用，解決了用其它方法較難解決的問題，于此類似的研究成果還有湖北師范學院數學系的蔡澤林、陳琴的定積分不等式的幾種典型證法和濰坊高等?？茖W校的陳曉萌所著的泰勒公式在不等式中的應用等等。3.研究目標 泰勒公式在數學研究中有著廣泛應用，泰勒公式的研究有很重要的現實意義。泰勒公式在微積分的領域都有重要的應用，集中體現了微積分的核心。本文將對泰勒公式在證明不等式、理解無窮小替換的實質、在計算中的

6、體現、在函數中的應用、在級數中的應用 進行舉例說明。4. 本文創新點 本文將詳細介紹泰勒公式不同余項的原理及其應用，同時對其進行了相應的舉例和說明，總結概括了泰勒公式及其應用的相關知識；此外，還將不同余項的泰勒公式的應用進行了相應的歸類。5.主要參考文獻1 華東師范大學數學系.數學分析M.北京：高等教育出版社，2001.2 陳傳璋.金福臨，朱學炎，等.數學分析M.北京：高等教育出版社，1983.3 齊成輝.泰勒公式的應用J.陜西師范大學學報：自然科學版，2003（SI）：2325.4 趙文強.關于含參量廣義積分一致收斂性的教學研究J.重慶工商大學學報：自然科學版，2011,28（5）：458-

7、462.5 陳守信.數學分析選講M.北京;機械工業出版社，1984.6 吉米多維奇.數學分析習題集M.北京；高等教育出版社，1984.7 復旦大學數學系.數學分析M.北京；高等教育出版社.8 陳麗.泰勒公式的應用J.廊坊師范學院學報；自然科學版，2009,9（2）： 20-23.9 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法M.北京；高等教育出版社，2006.10 李永樂，范培華.數學復習全書M,北京；國家行政學院出版社，2008.11 劉景忠，王國政.公式在證明不等式方面的幾個應用，高等數學研究函數，2006.9（2）.12 劉玉蓮，楊奎元，劉偉，呂鳳.數學分析講義學習輔導書下冊M，北京；高等教育出

8、版社，2003.二、 采用的研究方法及手段（1、內容包括：選題的研究方法、手段及實驗方案的可行性分析和已具備的實驗條件等。2、撰寫要求：宋體、小四號。） 查詢法：通過文獻調研有目的有計劃有系統地收集并整理資料，了解圖論在數學 模型中的應用。分析法：通過對圖論的研究，發現其性質。文獻研究法：調研文獻，整理文章，獲取所需材料。 歸納法：總結并整理論文。3、 論文的框架結構（宋體、小四號） 淺談泰勒公式及其應用引言1.不同形式的泰勒定理及其證明 1.1 帶 1.2 1.3 帶積分型余項的泰勒定理 1.4 帶柯西型余項的泰勒定理2. 泰勒公式的應用 2.1 利用泰勒公式證明不等式 2.2 利用泰勒公式

9、理解無窮小替換的實質 2.3 泰勒公式在計算中的體現 2.3.1利用泰勒公式求極限 2.3.2 利用泰勒公式進行近似計算 2.3.3 利用泰勒公式計算定積分 2.3.4 利用泰勒公式計算行列式 2.3.5利用泰勒公式求曲面的漸進方程 2.4泰勒公式在函數中的應用 2.4.1 利用泰勒公式證明根的唯一性 2.4.2 利用泰勒公式求初等函數的冪級數展開式 2.4.3 利用泰勒公式判斷函數極值 2.4.4利用泰勒公式判斷函數的凸凹性和拐點 2.4.5泰勒公式在高階導數和高階偏導數方面的應用 2.5 泰勒公式在級數中的應用 3. 結論4. 參考文獻5. 致謝四論文寫作的階段計劃（宋體、小四號）第一階段：2013年7月1日2014年11月10日，完成初稿第二階段：2014年11月11日2014年12月10日，完成二