1、中考數學專題：坐標系中的幾何問題以下是查字典數學網為您推薦的 中考數學專題：坐標系中的幾何問題，希望本篇文章對您學習有所幫助。中考數學專題：坐標系中的幾何問題【前言】前面六講我們研究了幾何綜合題及代數綜合題的各種方面，相信很多同學都已經掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數混雜在一起的，一方面涉及函數，坐標系，計算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質表達。所以往往這類問題都會在最后兩道題出現，而且根本都是以多個小問構成。此類問題也是失分最高的，往往起到拉開分數檔次的關鍵作用。作為想在中考數學當中拿高分甚至總分值的同學，這類問題一定要重視。此后的兩講我們分別從坐標系中的幾何以及動態幾

2、何中的函數兩個角度出發，去徹底攻克此類問題。第一部分 真題精講【例1】：如圖1，等邊 的邊長為 ，一邊在 軸上且 ， 交 軸于點 ，過點 作 交 于點 .1直接寫出點 的坐標;2假設直線 將四邊形 的面積兩等分，求 的值;3如圖2，過點 的拋物線與 軸交于點 ， 為線段 上的一個動點，過 軸上一點 作 的垂線，垂足為 ，直線 交 軸于點 ，當 點在線段 上運動時，現給出兩個結論： ，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪個結論正確，并證明.【思路分析】 很多同學一看到這種題干又長條件又多又復雜的代幾綜合壓軸題就覺得頭皮發麻，略微看看不太會做就失去了攻克它的信心。在這種時候要漸漸將題目拆解，條

3、分縷析提出每一個條件，然后一步一步來。第一問不難，C點縱坐標直接用tg60來算，七分中的兩分就到手了。第二問看似較難，但是實際上考生需要知道過四邊形對角線交點的任意直線都將四邊形面積平分這一定理就輕松解決了，這個定理的證明不難，有興趣同學可以自己證一下加深印象。由于EFAB還是一個等腰梯形，所以對角線交點非常好算，四分到手。最后三分收起來有點費事，不過略微認真點畫圖，不難猜出式成立。拋物線倒是好求，因為要證的是角度相等，所以大家應該想到全等或者相似三角形，過D做一條垂線就發現圖中有多個全等關系，下面就忘記拋物線吧，單獨將三角形拆出來當成一個純粹的幾何題去證明就很簡單了。至此，一道看起來很難的壓

4、軸大題的7分就成功落入囊中了。【解析】解：1 ; .2過點 作 于 ，交 于點 ，取 的中點 . 是等邊三角形， .在 中， . 交 于 ， . 就是四邊形對角線的中點，橫坐標自然和C一樣，縱坐標就是E的縱坐標的一半直線 將四邊形 的面積兩等分.直線 必過點 .3正確結論： .證明：可求得過 的拋物線解析式為由題意 .又過點 作 于由題意可知 即： . 這一問點多圖雜，不行就直接另起一個沒有拋物線干擾的圖【例2】如圖,在平面直角坐標系xoy中,拋物線 與x正半軸交于點A,與y軸交于點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連結AC.現有兩動點P、Q分別從O、C兩點同時出發,點P以每秒4個

5、單位的速度沿OA向終點A挪動,點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B挪動,點P停頓運動時,點Q也同時停頓運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DEOA,交CA于點E,射線QE交x軸于點F.設動點P,Q挪動的時間為t單位:秒1求A,B,C三點的坐標;2當t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;3當04當t _時,PQF為等腰三角形?【思路分析】近年來這種問動點運動到何處時圖像變成特殊圖形的題目非常流行，所以大家需要對各種特殊圖形的斷定性質非常熟悉。此題一樣一步步拆開來做，第一問送分，給出的拋物線表達式很好因式分解。注意平行于X軸的直線交拋物線的兩個點一定是關于對稱軸對稱的。第二問

6、就在于當四邊形PQCA為平行四邊形的時候題中條件有何關系。在運動中，QC和PA始終是平行的，根據平行四邊形的斷定性質，只要QC=PA時候即可。第三問求PQF是否為定值，因為三角形的一條高就是Q到X軸的間隔 ，而運動中這個間隔 是固定的，所以只需看PF是否為定值即可。根據相似三角形建立比例關系發現OP=AF，得解。第四問因為已經知道PF為一個定值，所以只需PQ=PF=18即可，P點4t,0Q 8-t,-10,F18+4t,0兩點間間隔 公式分類討論即可.本道題是09年黃岡原題,第四問本來是作為解答題來出的本來是3分,但是此題作為1分的填空,考生只要大概猜出應該是FP=FQ就可以。實際考試中假如碰

7、到這么費事的,假如沒時間的話筆者個人建議放棄這一分去檢查其他的.畢竟得到這一分的時間都可以把選擇填空仔細過一遍了.【解析】解：1 ，令 得 ，或在 中，令 得 即 ;由于BCOA，故點C的縱坐標為-10，由 得 或即于是，2假設四邊形PQCA為平行四邊形，由于QCPA.故只要QC=PA即可得3設點P運動 秒，那么 ， ，說明P在線段OA上，且不與點O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故又點Q到直線PF的間隔 PQF的面積總為904由上知， ， 。構造直角三角形后易得假設FP=PQ，即 ，故 ，假設QP=QF，即 ，無 的 滿足條件;12假設PQ=PF，即 ，得 ， 或 都不滿足 ，故無 的

8、 滿足方程;綜上所述：當 時，PQR是等腰三角形?！纠?】如圖，拋物線 ： 的頂點為 ，與 軸相交于 、 兩點點 在點 的左邊，點 的橫坐標是 .1求 點坐標及 的值;2如圖1，拋物線 與拋物線 關于 軸對稱，將拋物線 向右平移，平移后的拋物線記為 ， 的頂點為 ，當點 、 關于點 成中心對稱時，求 的解析式;3如圖2，點 是 軸正半軸上一點，將拋物線 繞點 旋轉 后得到拋物線 .拋物線 的頂點為 ，與 軸相交于 、 兩點點 在點 的左邊，當以點 、 、 為頂點的三角形是直角三角形時，求點 的坐標.【思路分析】出題人比較仁慈，上來就直接給出拋物線頂點式，再將B1,0代入，第一問輕松拿分。第二問

9、直接求出M坐標，然后設頂點式，繼續代入點B即可。第三問那么需要設出N，然后分別將NP，PF,NF三個線段的間隔 表示出來，然后切記分情況討論直角的可能性。計算量比較大，務必細心?！窘馕觥拷猓河蓲佄锞€ ： 得頂點 的為點 在拋物線 上解得，連接 ，作 軸于 ，作 軸于點 、 關于點 成中心對稱過點 ，且頂點 的坐標為 標準答案如此，其實沒這么費事，點M到B的橫縱坐標之差都等于B到P的，直接可以得出4,5拋物線 由 關于 軸對稱得到，拋物線 由 平移得到拋物線 的表達式為拋物線 由 繞點 軸上的點 旋轉 得到頂點 、 關于點 成中心對稱由得點 的縱坐標為設點 坐標為作 軸于 ，作 軸于作 于旋轉中

10、心 在 軸上，點 坐標為坐標為 ， 坐標為 ，根據勾股定理得當 時， ，解得 ， 點坐標為當 時， ，解得 ， 點坐標為綜上所得，當 點坐標為 或 時，以點 、 、 為頂點的三角形是直角三角形.【例4】如圖，在平面直角坐標系 中，直線l1： 交 軸、 軸于 、 兩點，點 是線段 上一動點，點 是線段 的三等分點.1求點 的坐標;2連接 ，將 繞點 旋轉 ，得到 .當 時，連結 、 ，假設過原點 的直線 將四邊形 分成面積相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式;過點 作 軸于 ，當點 的坐標為何值時，由點 、 、 、 構成的四邊形為梯形?【思路分析】此題計算方面不是很繁瑣，但是對圖形的構造才能提出

11、了要求，也是一道比較典型的動點挪動導致特殊圖形出現的題目。第一問自不必說，第二問第一小問和前面例題是一樣的，也是要把握過四邊形對角線交點的直線一定平分該四邊形面積這一定理。求出交點就意味著知道了直線.第二小問較為費事,因為C點有兩種可能,H在C點的左右又是兩種可能,所以需要分類討論去求解.只要利用好梯形兩底平行這一性質就可以了.【解析】1根據題意： ， 是線段 的三等分點或 -2分2如圖，過點 作 軸于點 ，那么 .點 在直線 上 是由 繞點 旋轉 得到的無論是 、 點，四邊形 是平行四邊形且 為對稱中心所求的直線 必過點 .直線 的解析式為: 當 時，第一種情況： 在 點左側假設四邊形 是梯

12、形 與 不平行此時第二種情況： 在 點右側假設四邊形 是梯形 與 不平行 是線段 的中點是線段 的中點由 ， .點 的橫坐標為當 時，同理可得第一種情況： 在 點左側時， -第二種情況： 在 點右側時， -綜上所述，所求M點的坐標為： ， ， 或 .【例5】在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側.與y軸交于點C，頂點為D，直線CD與x軸交于點E.1請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標.2將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點F不與A、B兩點重合，請你求出F點坐標.3在點B、點F之間的拋物線上有一點P，使PBF的面積最大，求此時P點坐標及PBF的最大面積.

13、4假設平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.【思路分析】此題看似錯綜復雜，尤其最后第四問的圖像畫出來又亂又擠，略微沒畫好就會讓人頭大無比。但是不用慌，一步步來漸漸做。拋物線表達式很好分解，第一問輕松寫出四個點。第二問向左平移，C到對稱軸的間隔 剛好是1，所以挪動兩個間隔 以后就到了關于對稱軸對稱的點上，所以F直接寫出為-2,-3第三問看似棘手，但是只要將PBF拆解成以Y軸上的線段為公共邊的兩個小三角形就會很輕松了。將P點設出來然后列方程求解即可。最后一問要分GH在X軸上方和下方兩種情況，分類討論。不過做到最后一步相信同學們的圖已經畫的亂七八糟了，因為和

14、前面的問題沒有太大關系，所以建議大家畫兩個圖分開來看?！窘馕觥?解：1 .23過點 作 軸的平行線與 交于點 ，與 軸交于點易得 ，直線 解析式為 .設 ，那么 ，的最大值是 .當 取最大值時 的面積最大的面積的最大值為 .4如圖，當直線 在 軸上方時，設圓的半徑為 ，那么 ，代入拋物線的表達式，解得 .當直線 在 軸下方時，設圓的半徑為 ，那么 ，代入拋物線的表達式，解得圓的半徑為 或 . .【總結】 通過以上五道一模真題，我們發現這類問題雖然看起來非常復雜，但是只要一問一問研究漸漸分析，總能拿到不錯的分數。將幾何圖形添進坐標系大多情況下是和拋物線有關，所以首先需要同學們對拋物線的各種性質純

15、熟掌握，尤其是借助拋物線的對稱性，有的時候解題會非常方便。無論題目中的圖形是三角形，梯形以及平行四邊形或者圓，只要認清各種圖形的一般性質如何在題中表達就可以了。例如等腰/邊三角形大多和相似以及線段長度有關，梯形要抓住平行，平行四邊形要看平行且相等，圓形就要看半徑和題目中的條件有何關系。還需要掌握平分三角形/四邊形/圓形面積的直線分別都一定過哪些點?？傊?，再難的問題都是由一個個小問題組成的，就算最后一兩問沒有時間考慮拿不了全分，至少要將前面容易的分數拿到手，這部分分數其實還不少。像例2最后一問那種情況，該放棄時候果斷放棄，不要為1分的題失去了大量檢查的時間。第二部分 發散考慮【考慮1】. 如圖，

16、在平面直角坐標系 中， 三個頂點的坐標分別為 ， ， ，延長AC到點D,使CD= ,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.1求D點的坐標;2作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF，假設過B點的直線 將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式;3設G為y軸上一點，點P從直線 與y軸的交點出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，假設P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明【思路分析】在一模真題部分我們談到的是直線分四邊形面積相等，但是這道去年中考原題那么

17、是分周長相等。周長是由很多個線段組成的，所以分周長相等只需要研究哪些線段之和相等就可以了。所以自然想到去證明全等三角形。第三問雖然不要求證明，但是只需設出速度,利用相似三角形去建立關系,還是不難證明的,有余力的同學可以試試.【考慮2】：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線 與x軸、y軸的交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.1直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式;2假設拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形?假設存在，求出點P的坐標;假設不存在，說明理由;3設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，

18、Q為線段BT上一點，直接寫出的取值范圍.【思路分析】第二問有兩個思路，第一個是看四邊形的線段是否平行且相等，角是否符合平行四邊形的條件。另一個是看假設有平行四邊形，那么構成平行四邊形的點P是否在BC上。從這兩個思路出發，列出方程等式即可求解。第三問根據拋物線的對稱性來看三點共線，繼而看出最大值和最小值分別是多少?！究紤]3】拋物線與x軸交于A-1，0、B兩點，與y軸交于點C0，-3，拋物線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q，且點Q到x軸的間隔 為6.1求此拋物線的解析式;2在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標;3拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得SPAM=3SAC

19、M，假設存在，求出P點坐標;假設不存在，請說明理由.【思路分析】第一問要算的比較多，設直線以后求解析式，看出拋物線對稱軸為x=1,然后設頂點式解個二元方程組即可.第二問利用三角形相似求出點N坐標,然后聯立拋物線與直線CN即可求出點D.第三問考驗對圖形的理解,假如能巧妙的將ACM的面積看成是四邊形ACEM減去AME,那么就會發現四邊形ACEM剛好也是AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的間隔 ,然后分類討論PM的位置即可求解.【考慮4】如圖，拋物線 ，與 軸交于點 ，且 .I求拋物線的解析式;II探究坐標軸上是否存在點 ，使得以點 為頂點的三角形為直角三角形?假設存在，求出 點坐標，假設不

20、存在，請說明理由;III直線 交 軸于 點， 為拋物線頂點.假設 ，【思路分析】此題雖然沒有明確給出坐標，但是表達式中暗含了X=0時Y=-3，于是C點得出，然后利用給定的等式關系寫出A,B去求解析式。第二問中，因為AC是固定的，所以構成的直角三角形根據P的不同有三種類型。注意分類討論。第三問那么是少見的計算角度問題，但是實際上也是用線段去看角度的相等。最方便就是利用正切值構建比例關系，發現CBE=DBO，于是所求角度差就變成了求OBC。第三部分 考慮題解析【考慮1解析】解：1 ， ，設 與 軸交于點 .由 可得 .又 ，同理可得 .點的坐標為 .2由1可得點 的坐標為 .由 ，可得 軸所在直線

21、是線段 的垂直平分線.點 關于直線 的對稱點 在 軸上.與 互相垂直平分.四邊形 為菱形，且點 為其對稱中心.作直線 .設 與 分別交于點 、點 .可證 .直線 將四邊形 分成周長相等的兩個四邊形.由點 ，點 在直線 上，可得直線 的解析式為 .3確定 點位置的方法：過 點作 于點 .那么 與 軸的交點為所求的 點.由 ，可得 ，在 中， .點的坐標為 .或 點的位置為線段 的中點【考慮2解析】解：1點C的坐標為 . 點A、B的坐標分別為 ，可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為 .將 代入拋物線的解析式，得 .過A、B、C三點的拋物線的解析式為 .2可得拋物線的對稱軸為 ，頂點D的坐標為，設

22、拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.直線BC的解析式為 .-設點P的坐標為 .解法一：如圖8，作OPAD交直線BC于點P，連結AP，作PMx軸于點M. OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD.，即 .解得 . 經檢驗 是原方程的解.此時點P的坐標為 .但此時 ，OMOP直線BC上不存在符合條件的點P.解法二：如圖9，取OA的中點E，作點D關于點E的對稱點P，作PNx軸于點N. 那么PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG .由 ，可得E點的坐標為 .NE=EG= ， ON=OE-NE= ，NP=DG= .點P的坐標為 . x= 時， ，點P不在直線BC上.直線BC上不存在符合條件的點P .3 的取值范圍是 .說明：如圖10，由對稱性可知QO=QH， .當點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線， 獲得最大值4即為AH的長;設線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，當點Q與點K重合時， 獲得最小值0.【考慮3解析】解：1設直線AC的解析式為 ，把A-1，0代入得 .直線AC的解析式為 .依題意知，點Q的縱坐標是-6.把 代入 中，解得 ，點 Q1， 點Q在拋物線的對稱軸上，拋物線的對稱軸