1、第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念冪級數(shù)及其收斂區(qū)間冪級數(shù)及其收斂區(qū)間冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用一一 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念設(shè)設(shè) 121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) .對對,I0 x若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)若常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn), 所有收斂點(diǎn)的全體稱為其所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)若常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 10)(nnxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列上的函數(shù)列, 稱稱

2、收斂收斂,發(fā)散發(fā)散 ,所有所有0 x稱稱為其為其收收 0 x稱稱為其為其發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn), ),2,1()( nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 ., )(xS為級數(shù)的為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成并寫成)()(1xuxSnn 若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn 令余項(xiàng)令余項(xiàng))()()(xSxSxrnn 則在收斂域上有則在收斂域上有, )()(limxSxSnn 0)(lim xrnn表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前 n 項(xiàng)的和項(xiàng)的和, 即即在收斂域上在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 x 的函數(shù)的函數(shù) 稱它稱它例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是

3、它的收斂域是, )1,1( ,11,(）， 及 nnnxxxx201xxnn 110它的發(fā)散域是它的發(fā)散域是或?qū)懽骰驅(qū)懽?1 x又如又如, 級數(shù)級數(shù), )0(02 xnxxnnn,)(lim xunn級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為所以級數(shù)的收斂域僅為.1 x,)1,1(時時當(dāng)當(dāng) x有和函數(shù)有和函數(shù) ,1時收斂時收斂當(dāng)當(dāng) x,10時時但但當(dāng)當(dāng) x)1 , 1( x二二 冪級數(shù)及其收斂區(qū)間冪級數(shù)及其收斂區(qū)間形如形如 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為其中其中),1 , 0( nan稱稱 為冪級數(shù)的為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) . nnxxa)(

4、0的冪級數(shù)的冪級數(shù),nnnxax 00,0時時當(dāng)當(dāng)稱稱 為為x的冪級數(shù)的冪級數(shù).0 xx ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 0nnnxa,0點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂在在xx 則對滿足不等式則對滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂冪級數(shù)都絕對收斂.反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式則對滿足不等式證證: 設(shè)設(shè) 00nnnxa, 0lim0 nnnxa收斂收斂, 則必有則必有),2,1(0 nMxann于是存在于

5、是存在常數(shù)常數(shù) M 0, 使使nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 當(dāng)當(dāng) 時時, 0 xx 00nnxxM收斂收斂, 0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂也收斂,反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx 0 x滿足不等式滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)所以若當(dāng)0 xx 滿足滿足且使級數(shù)收斂且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知面的證明可知, 級數(shù)在點(diǎn)級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真故假設(shè)不真. 的的 x , 原冪級數(shù)也原冪級數(shù)也發(fā)散發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則對一切則

6、由前則由前也應(yīng)收斂也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾與所設(shè)矛盾,證畢證畢x R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論推論 0nnnxa0 xR如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)不是僅在不是僅在一點(diǎn)一點(diǎn)存在存在, ,收斂收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂也不是在整個數(shù)軸上都收斂,定的正數(shù)定的正數(shù)則必有一個完全確則必有一個完全確它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕對收斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散; ; 當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .o正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.

7、 . 冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)的收斂域稱稱為冪級數(shù)的為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.),RR ,(RR .,RR ),(RR 收斂區(qū)間為下列四種形式之一收斂區(qū)間為下列四種形式之一, 0 R規(guī)定規(guī)定, R(1) (1) 冪級數(shù)只在冪級數(shù)只在0 x處收斂處收斂, ,收斂區(qū)間收斂區(qū)間; 0 x收斂半徑收斂半徑(2) (2) 冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切x都收斂都收斂, ,收斂半徑收斂半徑收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,(說明說明冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處條件收斂，處條件收斂， 則則一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級數(shù)的收斂即該冪級數(shù)的收斂半徑半徑. |0 x

8、R 問題問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑? ?定理定理2. 0nnnxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足,lim1 nnnaa;1 R; R.0 R1) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,2) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,3) 當(dāng)當(dāng) 時時,則則 若若lim |)nnna ( (或或如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處收斂，處收斂，而在而在0 xx 處發(fā)散處發(fā)散, 則則一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級數(shù)的收斂即該冪級數(shù)的收斂半徑半徑. |0 xR xaaxaxannnnnnnn 111limlim證證:1) 若若 0,則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知

9、:當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.x 即即 1 x時時,即即時時, 1 x2) 若若, 0 則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知,; R3) 若若, 則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級發(fā)散原級發(fā)散 ,.0 R對任意對任意 x 原級數(shù)原級數(shù)因此因此因此級數(shù)的收斂半徑因此級數(shù)的收斂半徑.1 R 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理據(jù)此定理1lim nnnaaR對端點(diǎn)對端點(diǎn) x =1, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間.解解:11 nn11 對端點(diǎn)對

10、端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)級數(shù)為交錯級數(shù),1)1(11nnn 收斂收斂; 級數(shù)為級數(shù)為,11 nn發(fā)散發(fā)散 . . 1,1( 故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為例例1.1.求冪級數(shù)求冪級數(shù) lim n 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1) limlim1 nnnnaaR!1n)1(lim nn所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)? ),( (2) limlim1 nnnnaaR!n!)1( n11lim nn0 所以級數(shù)僅在所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! )1(1 n例例3.nnxnn202)

11、 !(! )2( 求求冪冪級級數(shù)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1 nnnnxuxu2!)1( ! )1(2 nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn 24x 142 x當(dāng)當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為故收斂半徑為 .21 R21 x即即142 x當(dāng)當(dāng)21 x即即)1(2 nxnx2故直接由故直接由例例4. 12)1(nnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.解解: 令令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閚nntn

12、121 nnnnaaRlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,11 nn此級數(shù)發(fā)散此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,)1(1 nnn此級數(shù)條件收斂此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂區(qū)間為因此級數(shù)的收斂區(qū)間為,22 t故原級數(shù)的收斂區(qū)間故原級數(shù)的收斂區(qū)間,212 x即即.31 x例例5. 1)1(3(nnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的收斂半徑、收斂區(qū)間.解解當(dāng)當(dāng)41| x時，時，|)1(3( |nnnx nnx |4 因?yàn)橐驗(yàn)? 1|4 x所以所以 1|4nnnx收斂，收斂，原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)

13、絕對收斂41| x當(dāng)當(dāng)時，時，由于由于nnnx222|)1(3( nlim01 所以原級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,41 R收斂收斂區(qū)間區(qū)間).41,41( 三三 冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 及及的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為,21RR令令nnnxa 0 )(0為常數(shù)為常數(shù) nnnxa 1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa 00,)(0nnnnxba Rx ,0nnnxc Rx 則有則有 : nnnnnnxbxa 00其中其中knnkknbac 0以上結(jié)論可用部分和以上結(jié)論可用部分和的極限證明的極限證明 .nnnxa 0nnnxb 0設(shè)

14、冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 0nnnxa)(xS),(RR 冪級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), , 0nnnxa)(xS),(RR ),(RRx (2)(2)冪級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可積內(nèi)可積, ,可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. . xdxxs0)( 00nxnndxxa.110 nnnxna( (收斂半徑不變收斂半徑不變) )即即 xnnndxxa00)(在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).且對且對 0nnnxa)(xS),(RR (3)(3)冪級

15、數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. 即即 0)()(nnnxaxs 0)(nnnxa.11 nnnxna( (收斂半徑不變收斂半徑不變) )例例6. 1nnxn求求冪冪級級數(shù)數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,x1 時級數(shù)發(fā)時級數(shù)發(fā),)1,1(時時故當(dāng)故當(dāng) x 1)(nnxnxS 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xS 11nnxnx 1nnxx散散,解解,)1()(11 nnnnxxS, 0)0( S顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得001( )1xxS t dtdtt 2

16、1)(xxxS,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxS 0( )(0)( )ln(1)xS xSS t dtx 即即例例7 求級數(shù)求級數(shù) 1)1(nnnnx的和函數(shù)的和函數(shù).ln(1)x解解11(1),nnn nx 考考慮慮級級數(shù)數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1),(-1,1),11( )(1)nnS xn nx 則則11()nnx 2()1xx 32,(1)x 12)1(nnnn故故11( )22S . 8 12)1(nnnn例例8 求求的和的和.11()nnx 四四 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級

17、數(shù)1 函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)問題問題: :2) 2) 如果能展開，如果能展開，na3) 3) 展開式是否唯一展開式是否唯一? ?1) 1) 在什么條件下才能展開成在什么條件下才能展開成如何計算？如何計算？0 xx 的的冪冪級數(shù)：級數(shù)： 00)(nnnxxa4) 在什么條件下在什么條件下 00)(nnnxxa收斂到收斂到)(xf)(xf)(0 xU )(0 xU nnnxxaxf)()(00 如果函數(shù)如果函數(shù)在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , 且在且在 nnxxaxxaaxf)()()(0010有有)(0 xf,0a )(00 xfa 10021)()(2)

18、(nnxxnaxxaaxf10)(axf )(01xfa )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnnnnanxf!)(0)( !)(0)(nxfann 定義定義 設(shè)設(shè))(xf在在0 x的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 則冪級數(shù)則冪級數(shù) 000)()(!)(nnnxxnxf nnxxnxfxxxfxf)(!)()()(00)(000稱為稱為)(xf在在0 x處的處的泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)， 而系數(shù)而系數(shù) na!)(0)(nxfn稱為稱為泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)。特別當(dāng)特別當(dāng)00 x時，時，冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(!)0(nnnxnf nnxnfxff!)0()0()0(

19、)(稱為稱為)(xf的的麥克勞林麥克勞林(Maclaucin)級數(shù)級數(shù)。綜上所述綜上所述)(xf可以展開成冪級數(shù)可以展開成冪級數(shù)的必要條件是的必要條件是 10)(nnnxxa)(xf在在0 xx 的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，且此冪級數(shù)必是且此冪級數(shù)必是)(xf在在0 x處的泰勒級數(shù)，處的泰勒級數(shù)，即即的冪級數(shù)展開式是唯一的。的冪級數(shù)展開式是唯一的。)(xf2 )(xf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于的充要條件的充要條件)(xf定理定理4 各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù), )(0 xU則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要充要條件條件是是 f (

20、x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(lim xRnn設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf 令令)()()(1xRxSxfnn )(limxRnn )()(lim1xSxfnn ,0 )(0 xUx knkknxxkxfxS)(!)()(000)(1 )(0 xUx 4)在收斂區(qū)間上考察當(dāng)在收斂區(qū)間上考察當(dāng) n時，時，)(xf的泰勒公式的泰勒公式余項(xiàng)余項(xiàng))(xRn1)1()!1()( nnxnf )0(之間之間與與介于介于x 是否趨向于是否趨向于零，零， 若是則所求的冪級數(shù)在收

21、斂區(qū)間上收斂于若是則所求的冪級數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于)(xf3 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(直接展開法直接展開法)步驟步驟1) 求求),(xf ),(,)(xfn2) 求求),(,),(),(0)(00 xfxfxfn 3) 寫出寫出x的冪級數(shù)的冪級數(shù),!)0(0)( nnnxnf并求其收斂半徑并求其收斂半徑R例例9將函數(shù)將函數(shù)xexf )(展開成展開成x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。解解xnexf )()(), 2 , 1( n1)0()( nf), 1 , 0( n)(xf的麥克勞林級數(shù)的麥克勞林級數(shù) 0)(!)0(nnnxnf ! 212nxxxn收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為),(1|( )| |(1

22、)!nneRxxn | |1|(1)!xnexn 0()n 所以所以201!2!nnxnxxxexnn (,)x 例例10 將將xxfsin)( 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: )()(xfn )0()(nf得級數(shù)得級數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為其收斂半徑為 , R對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿其余項(xiàng)滿足足 )( xRn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3! 31x 5! 51x 12)!12(1)1(nnxn n0kn2 ,)1(k ,0),( xxsin 123)!12()1(! 31nnxnxx 0

23、12)!12()1(nnnxn20( 1)cos(2 )!nnnxxn 類似可推出類似可推出:),( x212111( 1)2 !(2 ) !nnxxn 例例11 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1()( 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 解解: 易求出易求出 , 1)0( f,)0(mf , )1()0( mmf, )1()2)(1()0()( nmmmmfn于是得于是得 級數(shù)級數(shù) mx1 2!2)1(xmm由于由于1lim nnnaaRnmnn 1lim1 nxnnmmm!)1()1(級數(shù)在開區(qū)間級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù)因此對

24、任意常數(shù) m, 11, )( xxF 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( 1! )1()1()1(111)(nxnnmmxmmxF xmxF1)()()1(xFx ),(xmF mxxF)1()( xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF 1)0( F則則為避免研究余項(xiàng)為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( xmxm1)1()11( x稱為稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 m 有關(guān)有關(guān) .(2) 當(dāng)當(dāng) m 為正整數(shù)時為正整數(shù)時

25、, 級數(shù)為級數(shù)為 x 的的 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 上式上式 就是代數(shù)學(xué)中的就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得由此得 對應(yīng)對應(yīng)1,2121 m的二項(xiàng)展開式分別為的二項(xiàng)展開式分別為xx2111 2421x 364231x )11( x 48642531x111 x24231x 3642531x )11( x 486427531xx21 111 x2x3x)11(x nnx)1(x )11(11120 xxxxxxnnn4 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(間接展開法間接展開法)211x11x 利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例12

26、 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?1nxxx )11(x把把 x 換成換成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得將所給函數(shù)展開成將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). 例例13 將函數(shù)將函數(shù)21( )2f xxx 展開成展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解21( )2f xxx 111321xx 211122 1xx 0122nnnx | 1,2x | 2x 11x 0( 1)nnnx | 1,x| 1x 21( )2f xxx 102nnnx 10132nnnx 01( 1)3nnnx 1011( 1) 32nnnnx | 1x min1,2 例例

27、14 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn從從 0 到到 x 積分積分, 得得ln(1)x,1)1(01 nnnxn定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為.11 x11x11x 上式右端的冪級數(shù)在上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,有有在在而而1)1ln( xx所以展開式對所以展開式對 x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂00( 1)dxnnnxx 011xdxx 00( 1)xnnnx dx 特別取特別取x =1可得可得 11)1(41312112lnnn因此因此 11)1()1ln(nnnxn

28、x nnxnxx12)1(2111 x例例15 將函數(shù)將函數(shù)21( )(1)f xx 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 2001( )(1)xxf x dxdxx 111x 01( 1)nnnx 11x 21( )(1)f xx 0( )xf x dx 0(1( 1)nnnx 1( 1) ()nnnx 11( 1)nnnnx 0( 1) (1)nnnnx 11x 例例16 將將3412 xx展成展成 x1 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: )3)(1(13412 xxxx)3(21)1(21xx 141 21 x 4121 x 222)1(x nnnx2)1()1( 81141 x 224

29、)1(x nnnx4)1()1( nnnnnx)1(2121)1(3220 )31( x)21( x 181 41 x1五五 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用1 近似計算近似計算,21 naaaA,21naaaA 12.nnnraa誤差誤差兩類問題兩類問題: : 1.1.給定項(xiàng)數(shù)給定項(xiàng)數(shù), ,求近似值并估計精度求近似值并估計精度; ;2.2.給出精度給出精度, ,確定項(xiàng)數(shù)確定項(xiàng)數(shù). .關(guān)健關(guān)健: :通過估計余項(xiàng)通過估計余項(xiàng), ,確定精度或項(xiàng)數(shù)確定精度或項(xiàng)數(shù). .常用方法常用方法: :1.1.若余項(xiàng)是交錯級數(shù)若余項(xiàng)是交錯級數(shù), ,則可用余和的首項(xiàng)來解決則可用余和的首項(xiàng)來解

30、決; ; 2. 2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù), ,則放大余和中的各項(xiàng)則放大余和中的各項(xiàng), ,使之成為等使之成為等 比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)比級數(shù)或其它易求和的級數(shù), ,從而求出其和從而求出其和. .例例17175,10 .e 計計算算 的的近近似似值值 使使其其誤誤差差不不超超過過解解,!1! 2112 nxxnxxe1,x 令令1111,2!en 得得余和余和: : )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn 510,nr 欲欲使使5110 ,!n n 只只要要5!10 ,n n 即即58 8!32256010 , 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例18 計算計算5240.104 32r8231!2541 12331!35941 16431!4514941 )31511(324045 9926. 200741. 03 的近似值的近似值, 精確到精確到 282811811131!254134105 . 0 13 43151 8231!2541 12331!35941解解: 553243240 514)1(331 例例191930sinsin9,3!.xxx 利利用用計計算算的的近近似似值值 并并估估計計誤誤差差解解20sin9sin