1、泰勒展開式在高考題中的應用泰勒展開式在高考題中的應用高中數學中函數導數部分占據了重要的位置，高考試題中函數導數題往往也是以難題、壓軸題形式出現.如何應對函數導數難題？高等數學中有一些知識、方法與中學數學相通本文針對一類函數導數問題借助高等數學中的泰勒展開式解決該類初等數學問題.如果函數f(x)在定義域I上有定義，且有n1階導數存在，x,x0I,則f(X)f(Xo)f(Xo)1!(xXo)f(x0)2!(xxo)2f(xo)nxxo)3f(n1)()介于x和xo間.上式即為函數 f (x)在xo點處的泰其中Rn1fL2(xxo)。1,其中(n1)!勒展開式.1nn 1 x(1) Rn 1.n23

2、xx令f(x)ln(x1),xoo,有ln(x1)x23x2上式可以進行放縮，比較ln(x1)和x、x一的大小，2可以得到不等式：xyln(x1)x,(x下面證明該不等式.x2證明：設h(x)xln(x1),h(x)o,)單調遞減，h(x)h(。)o,即有x1設f(x)ln(x1)x,f(x)1x1xo).(*)1x1xo,(xo),貝Uh(x)在x1x1x2一ln(x1),當xo時取等號.2x-o,(xo),則f(x)在o,)單調遞減，f(x)f(o)o,即有ln(x1)x,當xo時取等號綜上所述，有不等式:ln(x1)x,(xo),當xo時取等號如圖所示:例題展示考題1(2015年福建卷理

3、科20題)(2)證明：當k 1時，存在x0而不等式xln(x 1) x在x 0時恒成立.已知函數f(x)ln(1x),g(x)kx,(kR)(1)證明：當x0時，f(x)x;0,使得對任意的x(O,xo)，恒有f(x)g(x);(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0,對任意的x(0,t),恒有f(x)g(x)x2.解析：(1)在對(*)式的證明過程中已經體現.匕1人1k(x.)(2)設h(x)ln(1x)kx,h(x)kk-.x1x1當k0時，h(x)0,則h(x)在(0,)單調遞增，則有h(x)h(0)0,即f(x)g(x)，此時x0可以取任意正實數.當0k1時，令h(x)0,解得有1 -

4、1x1,Q0k1,-10kk-1.取x01,則有對任意的x(0,x0),有kf(x)g(x).分析：第(2)問的結論可以從圖2中解釋.(3)|ln(1x)kxx2可化為.22kxxln(1x)kxx，此不等式要求在某個區間(0,t)成立即可，2kxx2x二因此可以得到2,其中x0,kxx2xk 化簡，得k,即有1,因此有k1.1考題2(2015年山東卷理科21題)設函數f(x)ln(x1)a(x2x),其中aR.(1)討論函數f(x)的極值點的個數，并說明理由;(2)若x0,f(x)0成立，求a的取值范圍第(1)問利用導數求函數的極值，需要對a進行討論，這里不再贅述2(2)由f(x)0,得a(

5、xx)ln(x1),利用不等式ln(x 1) x,有a(x2x)ln( x 1) x,對上式進行適當放縮，即利用a(x2 x)x求a的取值范圍1在(0,1)上單調遞增，有x 11、，在(1,)上單調遞增，有x 1,一x1，一當x(0,1)時，a-，由于h(x)xxx1ah(0)1;當x1時，有a01,此時aR;一，x1當x(1,)時，a,h(x)xxx1.1calim0.xx1綜上所述，x0,要使f(x)0恒成立，a的取值范圍.是0,1考題1的第(3)問，考題2的第(2)問都是恒成立問題，求參數的取值范圍.本文這兩問的做法，都是先對不等式適當放縮后進行求解，這在平時求解參數范圍時是不常見的.之

6、所以這兩個題能夠利用上述想法進行求解，是因為泰勒展開式的本質上是將一個復雜的函數f(x)近似表示為一個多項式函數，是一種函數逼近的思想.該多項式函數與函數f(x)之間2x的誤差是非常小的.本文出現的不等式(*)式中的x與x分別是泰勒展開式的第一項2和前兩項.這兩個函數與函數ylnx1之間的相差是比較多的，但是在原點附近的較小區間內這兩個函數與函數ylnx1誤差是很小的.因此本文是利用了這一點，對該類問2X題進行求解.通過放縮將lnx1轉化成x或者x這種多項式函數形式，利用多項式函2數求參數范圍是相對簡單的.應用舉例1(2014年陜西卷理科21題)設函數f(x)ln(1x),g(x)xf(x),

7、x0.其中f(x)是f(x)的導函數.(1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN,求gn(x)的表達式;(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；設nN，比較g(1)g(2).g(n)與nf(n)的大小關系，并加以證明ax分析：第(2)問需ln(x1),x0恒成立，x1ax應用不等式ln(x1)x,有xln(x1)-a,x0,x1對上式進行放縮，利用x-a,x0求a的取值范圍.x1當x0時，上式化簡為0a0,此日aR；當x0時，上式化簡為14一，即ax1,則有a1;x1綜上所述，有a的取值范圍是(,1.2(2013年全國大綱卷理科22題)已知函數f(x)ln(1x)*1M1x(1)若x0時f(x)0,求的最小值；(2)設數列an的通項an分析：第(1)問需要f(x)1 1 1I 2 3 ln(1 x)1.一，證明：a2n nx(1 x)0 在 x1 xan ln2.4n0時恒成立，x2利用不等式 x 一 ln(x22x1),有 x ln(x 1)x(1 x)、六寸生下,該不等式在 x1 x0時取等x(1 X)-,x 0 求1 x的最小值.X