1、1高考明方向高考明方向掌握掌握正弦定理、余弦定理，正弦定理、余弦定理，并能并能解決一些簡單的三角形度量問題解決一些簡單的三角形度量問題備考知考情備考知考情1.1.利用正、余弦定理求三角形中的邊、角問題是高考利用正、余弦定理求三角形中的邊、角問題是高考考查的熱點考查的熱點2.2.常與三角恒等變換、平面向量相結合常與三角恒等變換、平面向量相結合出現在解答題出現在解答題中，綜合考查三角形中的邊角關系、三角形形狀的中，綜合考查三角形中的邊角關系、三角形形狀的判斷等問題判斷等問題3.3.三種題型都有可能出現，屬中低檔題三種題型都有可能出現，屬中低檔題. .一、知識梳理一、知識梳理名師一號名師一號P62P

2、62知識點一知識點一正弦定理正弦定理2sinsinsinabcRABC( (其中其中R R為為ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑) )變形變形 1:1:2sin,2sin,2sin,aRA bRB cRC變形變形 2 2：sin,sin,sin,222abcABCRRR2變形變形 3 3：sinA sinB sinC=a b c 注意：注意：( (補充補充) )關于關于邊的齊次式邊的齊次式或關于或關于角的正弦的齊次式角的正弦的齊次式均可利用正弦定理進行邊角互化。均可利用正弦定理進行邊角互化。知識點二知識點二余弦定理余弦定理222222222222222222cos,22cos,2cos,co

3、s,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab注意：注意：( (補充補充) )（1 1）關于）關于邊的二次式邊的二次式或關于或關于角的余弦角的余弦均可考慮利用余弦定理進行邊角互化。均可考慮利用余弦定理進行邊角互化。（2 2）勾股定理是余弦定理的特例）勾股定理是余弦定理的特例（3 3）在）在ABC中，中，222090abcA22290abcA22290abcA用于用于判斷三角形形狀判斷三角形形狀名師一號名師一號P63P63 問題探究問題探究 問題問題 3 3判斷三角形形狀有什么辦法？判斷三角形形狀有什么辦法？判斷三角形形狀的兩種途徑：判斷三角形

4、形狀的兩種途徑：3一是化邊為角；一是化邊為角；二是化角為邊，二是化角為邊，并常用正弦并常用正弦( (余弦余弦) )定理實施邊、角轉換定理實施邊、角轉換知識點三知識點三三角形中常見的結論三角形中常見的結論ABCABC 的面積公式有：的面積公式有：S12ah(h 表示表示 a 邊上的高邊上的高)；S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R；-知兩邊（或兩邊的積）及其夾角可求面積知兩邊（或兩邊的積）及其夾角可求面積S12r(abc)(r 為內切圓半徑為內切圓半徑)( (補充補充) )（1 1）ABC （2 2）在三角形中大邊對大角，大角對大邊在三角形中大邊對大角，大角對大邊（3 3

5、）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊任意兩邊之差小于第三邊（4 4）有關三角形內角的常用三角函數關系式有關三角形內角的常用三角函數關系式sin()sin,cos()cos,tan()tansincos,cossin2222 BCABCABCABCABCA利用利用ABC 及誘導公式可得之及誘導公式可得之（5 5）在在ABCABC 中中的幾個充要條件的幾個充要條件: :名師一號名師一號P P6363 問題探究問題探究 問題問題 4 44sinAsinB a2Rb2R ab AB.( (補充補充) )coscosABABsinsinABABcoscosABAB若若

6、R、sinsin2k或或2k(kZ)coscos2k或或2k (kZ)45 套之套之 7-19,sinsincos.BCABCABCA 中求角 、 、 的大小。（6 6）銳角銳角ABCABC中的常用結論中的常用結論ABC為銳角三角形為銳角三角形02、 、ABC 2AB2ABsinsin()cos2ABB5coscos()2ABsin B4 4解斜三角形的類型解斜三角形的類型名師一號名師一號P63P63 問題探究問題探究 問題問題 1 1利用正、余弦定理可解決哪幾類問題？利用正、余弦定理可解決哪幾類問題？在解三角形時，在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：正弦定理可解決兩類問題：(1)(1)已知

7、兩角及任一邊，求其它邊或角；已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況情況(2)(2)中結果可能有一解、二解、無解，中結果可能有一解、二解、無解，應注意區分應注意區分余弦定理可解決兩類問題：余弦定理可解決兩類問題：(1)(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)(2)已知三邊問題已知三邊問題( (補充補充) )已知已知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角（如（如, ,a b A）用正弦定理或余弦定理均可用正弦定理或余弦定理均可名師一號名師一號P63P63 問題探究問題探究

8、 問題問題 2 2選用正、余弦定理的原則是什么？選用正、余弦定理的原則是什么？若式子中含有角的余弦或邊的二次式，若式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；要考慮用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，若遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到6補充補充: :一、正弦定理推導一、正弦定理推導必修必修 5 5證明思路：證明思路：轉化到特殊情形轉化到特殊情形-直角三角形中直角三角形中二、余弦定理推導二、余弦定理推導必修必修 5 52011 年陜西

9、高考考查余弦定理的證明年陜西高考考查余弦定理的證明18.18.（本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分）敘述并證明余弦定理。敘述并證明余弦定理。2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.證明：（證法一） 如圖，2cBC ACABACAB 222ACACABAB 222cosACACABAAB 222cosbbcAc7即2222cosabcbcA同理可證2222cosbcacaB，2222coscababC（證法二） 已知ABC中，, ,A B C所對邊分別為, , ,a b c， 以A為 原 點 ，AB所 在 直 線 為x軸 建 立 直 角 坐 標

10、系 ， 則( cos , sin), ( ,0)C bA bA B c，222222222|( cos)( sin)cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA222cosbcbcA，即2222cosabcbcA同理可證2222cosbcacaB，2222coscababC二、例題分析：二、例題分析：（一）（一）利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形例例 1 1 （1 1） 名師一號名師一號P62P62 對點自測對點自測 1 1在在ABC 中，中，A60，B75，a10，則，則 c 等于等于()A5 2B10 2C.10 63D5 6解析解析由由 ABC180，知，知 C45

11、，由正弦定理得：由正弦定理得：asinAcsinC.8即即1032c22.c10 63.注意注意：已知兩角及任一邊，求其它邊或角已知兩角及任一邊，求其它邊或角-正弦定理正弦定理, ,解唯一解唯一例例 1 1 （2 2） 名師一號名師一號P62P62 對點自測對點自測 2 2在在ABC 中，若中，若 a3，b 3，A3，則則 C 的大小為的大小為_解析解析由正弦定理可知由正弦定理可知sinBbsinAa3sin3312，所以所以 B6或或56(舍去舍去)，(因為因為 ab 即即 A3 B 所以所以 B6)所以所以 CAB362.一解一解! !9變式變式 1 1: : 在在ABC 中，若中，若 b

12、3，a 3，A3，則則 C 的大小為的大小為_答案答案: : sinB1無解無解! !變式變式 2:2:在在ABC中，已知中，已知3,2,45abB，解解ABC. .答案：答案：6260 ,75 ,2ACc或或62120 ,15 ,2ACc兩解兩解! !變式變式 3:3:求邊求邊c？注意：注意：知道兩邊和其中一邊的對角（如知道兩邊和其中一邊的對角（如， ，abA）解三角形）解三角形10可用可用正弦定理先求出角正弦定理先求出角B也可用也可用余弦定理先求出邊余弦定理先求出邊c再求解。兩種方法均再求解。兩種方法均須注意解的個數！須注意解的個數！可能有一解、二解、無解，應注意區分可能有一解、二解、無解

13、，應注意區分練習練習: :( (補充補充) )（20092009 山東文山東文 17 17）已知函數已知函數xxxxfsinsincos2cossin2)(2x在)0(處取最小值。處取最小值。（I）求）求的值；的值；（）在在ABC中中，cba,分別是角分別是角 A，B，C 的對邊的對邊，已知已知,23)(,2, 1Afba求角求角 C。【解析】【解析】（）f(x)2sinx1 coscos sinsin2xxxxxxsinsincoscossinsinsin(x+).因為因為f(x)在在 x時取最小值，時取最小值，所以所以sin(+)=-1,故故sin=1.11又又0，所以，所以2，（）由由（

14、）知知 f(x)=sin(x+2)=cosx.因為因為 f(A)=cosA=32,且且 A 為為ABC 的角的角，所以所以 A6.由正弦定理得由正弦定理得sinBsinbAa=22,又又 ba，當當4B時，時，,12746BAC當當43B時，時，.12436BAC綜上所述，綜上所述，12127CC或來來例例 2 2 ( (補充補充) )若滿足條件若滿足條件060C，aBCAB, 3的的ABC有兩個，求有兩個，求a的取值范圍的取值范圍. .12答案：答案：32a注意：注意：判斷三角形解的個數常用方法：判斷三角形解的個數常用方法：(1)(1)在在ABC中，已知中，已知, ,A a b。構造直角三角

15、形判斷。構造直角三角形判斷(2)(2)利用余弦定理判斷（一元二次方程正根個數）利用余弦定理判斷（一元二次方程正根個數）勿忘大邊對大角判斷勿忘大邊對大角判斷已知兩邊及其中一邊對角，已知兩邊及其中一邊對角，判斷三角形解的個數的方法：判斷三角形解的個數的方法：應用應用三角形中三角形中大邊對大角大邊對大角的性質的性質以以及正弦函數的值域及正弦函數的值域判斷解的個數判斷解的個數在在ABC 中，已知中，已知 a、b 和和 A，以點以點 C 為圓心，以邊長為圓心，以邊長 a 為半徑畫弧，為半徑畫弧，此弧與除去頂點此弧與除去頂點 A 的射線的射線 AB 的公共點的個數的公共點的個數即為三角形的個數，解的個數見

16、下表：即為三角形的個數，解的個數見下表：13圖示已知圖示已知 a、b、A，ABC 解的情況解的情況()A 為鈍角或直角時解的情況如下：為鈍角或直角時解的情況如下：()A 為銳角時，解的情況如下：為銳角時，解的情況如下：運用余弦定理轉化為關于一元二次方程運用余弦定理轉化為關于一元二次方程正根個數問題正根個數問題練習練習: :已知已知ABC中，若中，若22, 2ba，且三角形有兩解，求角且三角形有兩解，求角A的取值范圍。的取值范圍。14答案：答案：由條件知由條件知 bsinAa，即，即 2 2sinA2，sinA22，ab，AB，A 為銳角，為銳角，0A4.例例 3 3 （1 1） 名師一號名師一

17、號P62P62 對點自測對點自測 3 3在在ABC 中，中，a 3，b1，c2，則，則 A 等于等于()A30B45C60D75解析解析由余弦定理得：由余弦定理得：cosAb2c2a22bc14321212，0A，A60.注意注意：已知已知三三邊，求其它邊或角邊，求其它邊或角-余余弦定理弦定理例例 3 3 （2 2） 名師一號名師一號P63P63 高頻考點高頻考點例例 1(2)1(2)(2014新課標全國卷新課標全國卷)鈍角三角形鈍角三角形 ABC 的面積是的面積是12，AB1，BC 2，則，則 AC()A5B. 5C2D115解解:由題意知由題意知 SABC12ABBCsinB，即即1212

18、1 2sinB，解得，解得 sinB22，B45或或 B135.當當 B45時，時，AC2AB2BC22ABBCcosB12( 2)221 2221.此時此時 AC2AB2BC2，ABC 為直角三角形，為直角三角形，不符合題意；不符合題意；當當 B135時，時，AC2AB2BC22ABBCcosB12( 2)221 222 5，解得，解得 AC 5.符合題意故選符合題意故選 B.注意注意：已知已知兩兩邊邊夾角夾角，求其它邊或角，求其它邊或角-余余弦定理弦定理小結小結: :已知與待求已知與待求涉及三邊和一角涉及三邊和一角的關系的關系-余弦定理余弦定理例例 4 4 （1 1） 名師一號名師一號P6

19、3P63 高頻考點高頻考點例例 1(1)1(1)16(2014江西卷江西卷)在在ABC 中中，內角內角 A，B，C 所對的邊所對的邊分別是分別是 a， b， c， 若若 3a2b， 則則2sin2Bsin2Asin2A的值為的值為()A19B.13C1D.72解解: :3a2b，由正弦定理得由正弦定理得absinAsinB23.sin2Asin2B49，2sin2Bsin2Asin2A2sin2Bsin2A1294192172.例例 4 4 （2 2） 名師一號名師一號P62P62對點自測對點自測已知已知ABC 三邊滿足三邊滿足 a2b2c2 3ab，則此三角形的最大內角為則此三角形的最大內角

20、為_解析解析a2b2c2 3ab，17cosCa2b2c22ab32，故故 C150為三角形的最大內角為三角形的最大內角注意：注意：（1 1）關于關于邊的齊次式邊的齊次式或關于或關于角的正弦的齊次式角的正弦的齊次式均可利用正弦定理進行邊角互化。均可利用正弦定理進行邊角互化。（2）關于關于邊的二次式邊的二次式或關于或關于角的余弦角的余弦均可考慮利用余弦定理進行邊角互化均可考慮利用余弦定理進行邊角互化. .注意等價轉換注意等價轉換!練習練習: :(2010天津理天津理)在在ABC 中中，內角內角 A，B，C 的對邊分的對邊分別是別是 a，b，c，若若 a2b2 3bc，sinC2 3sinB，則則

21、 A()A30B60C120D150解解:由余弦定理得：由余弦定理得：cosAb2c2a22bc，由題知由題知 b2a2 3bc，c22 3bc，則，則 cosA32，又又 A(0，180)，A30，故選，故選 A.注意：注意：18已知三邊比例關系已知三邊比例關系-余弦定理余弦定理（二）三角形的面積（二）三角形的面積例例 1 1 （1 1） 名師一號名師一號P62P62 對點自測對點自測 6 6(2014福建卷福建卷)在在ABC 中，中，A60，AC4，BC2 3，則，則ABC 的面積等于的面積等于_解析解析由題意及余弦定理得由題意及余弦定理得cosAb2c2a22bcc2161224c12，

22、解得，解得 c2.所以所以 S12bcsinA1242sin602 3.故答案為故答案為 2 3.注意：注意：知道兩邊和其中一邊的對角（如知道兩邊和其中一邊的對角（如， ，abA）解三角形可）解三角形可用用正弦定理先求出角正弦定理先求出角B也可用也可用余弦定理先求出邊余弦定理先求出邊c再求再求解。兩種方法均解。兩種方法均須注意解的個數！須注意解的個數！本例用余弦求邊更快捷本例用余弦求邊更快捷. .例例 1 1 （2 2） 名師一號名師一號P63P63 高頻考點高頻考點例例 3 3(2014浙江卷浙江卷)在在ABC 中中，內角內角 A，B，C 所對的邊分別所對的邊分別為為 a，b，c.已知已知

23、ab，c 3，cos2Acos2B 3sinAcosA19 3sinBcosB.(1)求角求角 C 的大小；的大小；(2)若若 sinA45，求，求ABC 的面積的面積解解:(1)由題意得由題意得1cos2A21cos2B232sin2A32sin2B，即即32sin2A12cos2A32sin2B12cos2B，sin2A6 sin2B6 .由由 ab，得得 AB，又又 AB(0，)得得 2A62B6，即即 AB23，所以所以 C3.(2)由由 c 3，sinA45，asinAcsinC，得得 a85.由由 ac，得得 AC，從而從而 cosA35，故故 sinBsin(AC)sinAcos

24、CcosAsinC43 310.20所以所以ABC 的面積為的面積為 S12acsinB8 31825.【規律方法】【規律方法】三角形面積公式的應用原則三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式對于面積公式 S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化（三）三角形形狀的判定（三）三角形形狀的判定例例 1 1 （1 1） 名師一號名師一號P63P63 高頻考點高頻考點例例 2 2在在ABC 中

25、中 a，b，c 分別為內角分別為內角 A，B，C 的對邊的對邊，且且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求求 A 的大小；的大小；(2)若若 sinBsinC1，試判斷，試判斷ABC 的形狀的形狀解解:(1)由已知，根據正弦定理得由已知，根據正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即，即 a2b2c2bc.由余弦定理得由余弦定理得 a2b2c22bccosA，故故 cosA12，0A180，A120.(2)由由(1)得得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC34.21又又 sinBsinC1，解得，解得 sinBsinC12.0B60，0C0 且 sinCAD0

26、，則由正余弦的關系可得sinBAD 1cos2BAD3 2114，且 sinCAD 1cos2CAD217，由正弦的和差角公式可得sinBACsin(BADCAD)sinBADcosCADsinCADcosBAD3 21142 77217714 3 3731432，再由ABC 的正弦定理可得ACsinCBABCsinBACBC7216323.312、 45 套之套之 7-19（2）-方程的思想方程的思想課后作業課后作業一、一、計時雙基練計時雙基練 P251P251 基礎基礎 1-61-6；課本課本 P63P63 變式思考變式思考 1 1、3 3補充練習補充練習 1 1、2 2、3 3二、二、計

27、時雙基練計時雙基練 P251P251 基礎基礎 7-117-11；培優；培優 1-41-4課本課本 P63P63 變式思考變式思考 2 2三、課本三、課本 P64P64 典例、典例、對應訓練對應訓練補充練習補充練習 4 4、5 5預習預習第七節第七節補充練習補充練習: :1 1、 （20092009 山東文山東文 17 17）已知函數已知函數xxxxfsinsincos2cossin2)(2x在)0(處取最小值。處取最小值。（I）求）求的值；的值；（）在在ABC中中，cba,分別是角分別是角 A，B，C 的對邊的對邊，32已知已知,23)(,2, 1Afba求角求角 C。【解析】【解析】（）f

28、(x)2sinx1 coscos sinsin2xxxxxxsinsincoscossinsinsin(x+).因為因為f(x)在在 x時取最小值，時取最小值，所以所以sin(+)=-1,故故sin=1.又又0，所以，所以2，（）由由（）知知 f(x)=sin(x+2)=cosx.因為因為 f(A)=cosA=32,且且 A 為為ABC 的角的角，所以所以 A6.由正弦定理得由正弦定理得sinBsinbAa=22,又又 ba，當當4B時，時，,12746BAC33當當43B時，時，.12436BAC綜上所述，綜上所述，12127CC或2 2、 已知已知ABC中，若中，若22, 2ba，且三角形

29、有兩解，求角且三角形有兩解，求角A的取值范圍。的取值范圍。答案：答案：由條件知由條件知 bsinAa，即，即 2 2sinA2，sinA22，ab，AB，A 為銳角，為銳角，0A4.3、已知已知ABC 中，中，A60，BC=2 3，則則其其外接圓外接圓面積面積為為_答案：答案：4注意注意：勿忘勿忘正弦定理中正弦定理中三角形三角形各邊與對角正弦的比為各邊與對角正弦的比為外接圓外接圓直直徑徑sinsinin2sabcABRC（R為三角形外接圓半徑為三角形外接圓半徑）4 4、在四邊形在四邊形 ABCD 中，中，BD90，A60，34AB4，AD5，則，則 AC 的長為的長為()A. 61B2 7C.

30、 53D.5 22解析解析如圖，連結如圖，連結 AC，設，設BAC，則，則 ACcos4，ACcos(60)5，兩式相除得，兩式相除得，cos60cos54，展開解得，展開解得，tan32為銳角，為銳角，cos27AC4cos2 7解法二解法二： （補充）（補充）ABD 中中，由余弦定理得，由余弦定理得21BD 由由BD90知知 AC 為為ABD 的外接圓直徑的外接圓直徑由正弦定理得由正弦定理得212 7sinsin620BDACRA5 5、已知向量已知向量(sin, 1)2Am ，2,cos()nBC，, ,A B C為為銳角銳角ABC的內角，其對應邊為的內角，其對應邊為a，b，c. .（）當）當m n 取得最大值時，求角取得最大值時，求角A的大小；的大小；35（）在）在（）成立的條