1、工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系力對物體作用時可以產生移動和轉動兩種外效應。力的移動力對物體作用時可以產生移動和轉動兩種外效應。力的移動效應取決于力的大小和方向，為了度量力的轉動效應，需引效應取決于力的大小和方向，為了度量力的轉動效應，需引入力矩的概念。入力矩的概念。主要研究內容：主要研究內容： （1 1）力矩的概念；）力矩的概念； （2 2）力偶與力偶矩；）力偶與力偶矩； （3 3）平面力偶系的合成與平衡。）平面力偶系的合成與平衡。1 3-1 3-1 力矩的概念和計算力矩的概念和計算3-2 3-2 力偶的概念力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系

2、的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-11. 平面問題中力對點之矩平面問題中力對點之矩圖3-1 用扳手擰螺母由上圖知，力F 使物體繞O點轉動的效應，不僅與力的大小，而且與O點到力的作用線的垂直距離d有關，故用乘積Fd 來度量力的轉動效應。2 OFAld工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系該乘積根據轉動效應的轉向取適當的正負號稱為力F對點O之矩，簡稱力矩，以符號M O (F)表示。 即O點稱為力矩的中心，簡稱矩心矩心；O點到力F

3、 作用線的垂直距離d，稱為力臂。力臂。 力矩的正負號規定：力使物體繞逆時針方向轉動為正，反之為負。dFMO)(F3 力對點之矩取決于力矩的大小及其旋轉方向（力矩的正負），因此它是一個代數量代數量。 力矩的單位：國際制 Nm，kNm ；工程制 公斤力米（kgfm）工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系4 OFAld在以上扳手擰螺母圖示中，如作用于扳手的力F=200N，l=0.40m，=60o，試計算F對O點之矩。Mo(F)=-Fd=-Fl sin=-200N0.40msin60o=-69.3Nm工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力

4、偶系力矩與平面力偶系 （2）力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如果一 個力其大小不為零，而它對某點之矩為零，則此力的 作用線必通過該點；（3）互成平衡的二力對同一點之矩的代數和為零。OF1 F2圖 3-2 (c) F圖 3-2 (b) o5 力矩的性質： （1）力對任一已知點之矩，不會因該力沿作用線移動而改變；OFd圖 3-2 （a) 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 合力矩定理合力矩定理平面匯交力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各分力對同一點之矩的代數和。)()(FMFMORO6 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章

5、力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系證明：由圖得而OxydxyFFxFyAaqa-qr圖 3-3aqqaaqqaqacossincossin)cossincos(sin)sin()(-rFrFrFrFdFMOFyrxrFFFFyxqqaasin,cossin,cos7 則(a)xyOFyFxM-)(F工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系若作用在 A點上有多個力，是一個匯交力系（F1 、F2 、 Fn） 則可將每個力對O點之矩相加，有(b)該匯交力系的合力FR=F，它對矩心的矩(c)比較（b）、（c）兩式有-xyOFyFxFM)(-xyRxRyOFyFxF

6、yFxFM)(R)()(RFMFMOO8 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系9 運用合力矩定理計算例3-1中F對O點之矩。已知，F=200N，l=0.40m，=60o。解：將物體看成是受到Fx和Fy兩個力的作用，OFldxyFyFx mNlFFMFMFMyyOxOO-3 .690根據合力矩定理，合力F對O點之矩等于分力Fx、Fy對O點之矩的代數和aasin,cosFFFFyx工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-21. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩(1) 力偶的概念力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用線平

7、行的兩個力叫做力偶力偶。并記作（F，F）。可用圖3-5表示：作用線之間的距離稱為力偶臂力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面力偶作用面。 FFd 力偶臂力偶作用面圖 3-5FF1FABF1CD圖3-410 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(2) 力偶的性質力偶的性質(a) 力偶在任何坐標軸上的投影等于零；(b) 力偶不能合成為一力，或者說力偶沒有合力，即它不 能與一個力等效，因而也不能被一個力平衡；力偶是一種最簡單的特殊力系。(c) 力偶對物體不產生移動效應，只產生轉動效應，既它 可以也只能改變物體的轉動狀態。x 圖3-6FFd 力偶臂力偶作用面1

8、1 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(3) 力偶矩力偶矩其轉動效應對點之矩，用力偶中的兩個力對其作用面內一點之矩的代數和來度量。FFd 圖3-7OxdFxdFxFFMFMOO- -)()()(12 上式表明，力偶對作用面內任一點的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘積，而與矩心的位置無關。工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系FFd 圖3-7OxdFMdFFFM或),(13 力偶對物體的轉動效應可用力與力偶臂的乘積Fd加上區分力偶在作用面內的兩種不同轉向的正負號來度量，這一物理量稱為力偶矩，以M(F

9、,F)或M表示。正負號規定：逆時針方向轉動時，力偶矩取正號；順時針方向轉動時，力偶矩取負號。工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(4) 力偶的三要素力偶的三要素（a）力偶矩的大小； （b）力偶的轉向； （c）力偶作用面在空間的方位。14 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 平面力偶等效定理平面力偶等效定理定理：在同一平面（或兩平行平面）內的兩個力偶，如它們的力偶矩的大小相等，而且轉向相同，則此兩力偶等效。例如汽車司機轉動方向盤，不論將力偶(F,F)加在A、B位置還是同一力偶加在C、D位置，對方向盤的轉

10、動效應不變；而且，如果力的大小增加一倍，同時力偶臂減小一半，對方向盤的轉動效應仍然不變。15 FF1FABF1CD圖3-5工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系證明：證明：如圖所示 。運用加減平衡力系的公理并注意到：),(),(),(),(),(11PPFFPPQQFFFFABCABDABCABDSSSPPMSFFM2),(,2),(),(),(),(),(11PPMPPMPPMFFM圖3-9P P1 P1 P F F Q Q A B A B b a C D 16 ),(),(11PPMFFM工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力

11、偶系力矩與平面力偶系推論1 力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的轉動效應17 ABM(a)ABMC(b)圖3-10工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系ABd F1F1(a)ABDF2F2(b)推論2 在保持力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可以任意改 變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對物體的轉動 效應，F1d=F2D其中圖3-1118 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-3平面力偶系：作用在物體上同一平面內的若干力偶的總稱。1. 合成合成(1) 兩個力偶的情況兩個力偶的情況=F1F1d1d2

12、F2F2F11F22F22F11ddFRFR222111,dFMdFM-dFMdFM-222111,=-2211R2211R,FFFFFF19 這樣得到新的力偶(FR , FR)M=M1+M2=F11d - F22 d = (F11 - F22)d = FRd工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(2) 任意個力偶的情況任意個力偶的情況M=M1 + M2 + + Mn , 或 M=MiM1M2Mn圖3-1320 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 平衡條件平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系

13、中各力偶矩的代數和等于零，即Mi=0 利用這個平衡條件，可以求解一個未知量。21 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 兩力偶作用在板上，尺寸如圖，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。180mm F1F2F3F480mm解：由式M = M1 + M2 則M =-F1 0.18 F3 0.08 = -350 N m負號表明轉向為順時針。圖3-1422 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 長為 4 m的簡支梁的兩端A、B 處作用有二個力偶，大小各為M1

14、 =16 N m，M2 = 4 N m，轉向如圖。試求A、B支座的約束力。 解：作AB梁的受力圖，如圖（b）所示。AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在A、B 處的約束力也必須組成一個同平面的力偶（FA ，FB ）才能與之平衡。23 FAM1M2AB(b)d 604mABM1M2(a)圖3-15工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系由平衡方程M =0得-M1+ M2+FB l cos60= 0 解得故FB=6 NFA、FB為正值，說明圖中所示FA、FB的指向正確。FA = FB = 6 N24 FBFAM1M2AB(b)d 工程力學電子教案工程力學

15、電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示的鉸接四連桿機構OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機構在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30，不計各桿自重，試求M1和M2間的關系。BODqM1 M2A25 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 解：因為桿AB為二力桿，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。 分別取桿OA和DB為研究對象。因為力偶只能與力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO 和FD 只能分別平行于FAB 和FBA ，且與其方向相反。BODqM1 M2AOM1 FO F

16、AB ABDM2 FD FBA 26 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系0 cos20 cos21-qqrFMrFMBAABBAABFF122MM因為所以求得寫出桿OA和DB的平衡方程： M = 0 OM1 FO FAB ABDM2 FD FBA 27 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示，在物體上作用有兩力偶 和 其力 多邊形封閉。問該物體是否平衡？為什么？)(1, 1FF),(2, 2FF圖3-17F1F2F1F2F1F2F1F2思考題 3-228 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第

17、三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系圖3-18所示圓盤由O點處的軸承支持，在力偶M 和力F 的作用下處于平衡。能不能說力偶被力F 所平衡？為什么？力矩和力偶有什么聯系？又有什么區別？思考題思考題FMO圖3-1829 工程力學電子教案工程力學電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系思考題思考題 3-3 一力偶(F1,F1)作用在Oxy平面內,另一力偶(F2 ，F2)作用在Oyz平面內,它們的力偶矩大小相等(如圖)。試問此兩力偶是否等效，為什么？xyzF2F2F1F1圖3-16O30 工程力學電子教案工程力學電子教案 第六章第六章 內力與內力圖內力與內力圖 思考題：一傳動軸的計算簡圖如圖所示，作用于其上的外力偶矩之大小分別是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m , MD = 0.5 kN.m ,