1、數論問題本身范圍很廣，我們考察小學奧數的內容，完全平方數等知識點跟基礎課內容結合很緊密，但又是小 奧的重難點，我們有必要加以重視本講需要學生掌握的知識點有：平方數性質、平方差公式、約數個數定理、約數 和定理、輾轉相除法等本講內容中，平方數部分是數論中最基本的部分，學生應當學會熟練運用平方差公式，對于約數和倍數部分， 老師應當更注重其中的邏輯過程，可以適當用一些代數的方法將題目講的更明白和透徹【例1】一個5位數，它的各位數字和為43,且能被11整除，求所有滿足條件的5位數.【分析】現在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數字和，也可以選擇被11整除，但我們發現被11整除性質的運用要有具體的數字，而現在

2、沒有，所以我們選擇先從數字和入手.5位數數字和最大的為9 >5=45,這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, &這樣我們接著 用11的整除特征，發現符合條件的有99979, 97999 , 98989.【例2】已知ABCA是一個四位數，若兩位數AB是一個質數，BC是一個完全平方數，CA是一個質數與一個不為1的完全平方數之積，則滿足條件的所有四位數是.【分析】本題綜合利用數論知識，因為 AB是一個質數，所以B不能為偶數，且同時BC是一個完全平方數，則符合條件的數僅為16、36,當B1時，滿足AB是一個質數的數有11 , 31 , 41 , 61, 7

3、1,時， 此時同時保證CA是一個質數與一個不為1的完全平方數之積，只有3163符合；當B3,滿足AB是一個質數的數有13, 23, 43, 53, 73, 83,此時同時保證CA是一個質 數與一個 不為1的完全平方數之積，只有8368符合.專題精講分解質因數【例1】2001個連續的自然數之和為abed,若a、b、c、d都是質數，則abed的最小值是多少?【分析】遇到等量關系的表述時，先將其轉化為數學語言.設這2001個連續自然數中最小的一個是A,則A A 2000 2001A 10002001 A 10003 23 29,貝 UA 1000 是質數，所以 A 的最大的一個是A 2000(遇到多

4、個連續自然數問題，轉化時一般均采用假設法，自己需要的量，題目中沒有 時，可以設未知數),則它們的和是：2最小值是9. a bed的最小值是：1009 3 23 29 1064.拓展101個連續的非零自然數的和恰好是四個不同的質數的積，那么這個最小的和應該是分析設這101個自然數中最小的數為 a,則101個連續自然數的和為：a+( a +1)+( a +2)+( a +100)=(a+ a+100) M012=( a+50) M01因為101是質數，所以a+50必須是3個質數的乘積，要使和最小.經檢驗a+50=66=2 3F1最小，所以和最小為66為01=6666.鋪墊已知口=口口 口,其中口、

5、。、分別表示不同的數字，那么四位數。口是多少？分析因為口、口工 口 10101，所以在題述等式的兩邊同時約去口即得Zx口八©10101 .作質因數分解得10101 3 7 13 37,由此可知該數分解為3個兩位數乘積的方 法僅有2113 37.注意到兩位數匚的十位數字和個位數字分別在另外的兩位數和中出現，所以 口=3, 口。=37,=21 .即 0=7, =1 , 口=， =2,所求的四位數是 7132.【例2】N為自然數，且N1, N2、N 9與690都有大于I的公約數.N的最小值為.【分析】690 2 3 523,連續9個數中，最多有5個是2的倍數，也有可能有4個是2的倍數，如果

6、有5個連續奇數，這5個連續奇數中最多有2個3的倍數，1個5的倍數，1個23的倍數，所以必然 有一個數不是2、3、5、23的倍數，即與690沒有大于I的公約數.所以9個數中只有4個奇數，這個數中，有2個3的倍數，1個5的倍數，1個23的倍數，則N1、N3、N5、N7、N 9是偶數，剩下的4個數中N 2、N 8是3的倍數(5個偶數當中只有N 5是3的倍數)，還有N4、N 6一個是5的倍數，一個是23的倍數.剩下的可以用中國剩余定理求解, 一個是5的倍數，顯然N5約數、倍數23的倍數，另N 5是2和3的倍數，且相鄰兩個數中一個是 24是最小解，所以N的最小值為19.288,最大公約數是4,甲乙兩數不

7、是288和4中的數，那么甲甲乙兩數的最小公倍數是 乙兩數的乘積為多少？和為多少？【分析】設甲乙兩個數為4x, 4y, （X和y都不等于1或72）,則X, y兩數互質，于是4x , 4y的最小公28832倍數為4xy,所以xy72, 72 23 32,由于x, y互質，所以2或3不可能在x, y的因子中都出現，所以x, y一個是81個是9,所以兩數的乘積等于4y 4x 4 4xy 1152,和為4x4y4 8 968.【例4】有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號.1號同學寫了一個自然數， 2號說：這個數能被2整除” 3號說這個數能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能被 他的

8、編號數整 除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：說得不對的兩位同學， 他們的編號是哪兩個連續自然數？如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數. 【分析】首先可以斷定編號是2, 3, 4, 5, 6, 7號的同學說的一定都對.不然，其中說的不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對，這樣就與只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合因此，這個數能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.其次利用整除性質可知，這個數也能被2 >5, 3 >4, 2 >7都整除，即編號為10, 12, 14的同學說的也對.從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9.這個數

9、是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15 的公倍數,由于上述十二個數的最小公倍數是60060,因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060.拓展一個兩位數有6個約數，且這個數最小的3個約數和為10,那么此數為幾？分析最小的三個約數中必然包括約數1,除去1以外另外兩個約數和是9,由于9是1個奇數，所以這兩個約數的奇偶性質一定是相反的，其中一定有一個是偶數，如果一個數包含偶約數，那么它一定是2的倍數，即2是它的約數于是顯然的，2是這個數第二小的約數，而第三小的約數是乙所以這個兩位數是14的倍數，由于這個

10、兩位數的約數中不含3、4、5、6,所以這個數只能是14或98,其中有6個約數的是98.約數個數定理：設自然數n的質因子分解式如a% a31 -OnPnD . d d I那么n的約數個數為dn1a2 1a31 L an 1自然數n的約數和為SnRa Ra11 L 2 p p 1 R a2 P?321 LP22 P211 Lan 121L Pnan Pnn L R Pn 1【例5兩數乘積為2800,而且己知其中一數的約數個數比另一數的約數個數多1 ,那么這兩個數分別是【分析】2800 24 52 7 ,由于其中一數的約數個數比另一數的約數個數多1 ,所以這兩個數中有一個數的約數為奇數個，這個數為完

11、全平方數.故這個數只能為22、2 52、22 52或2452 .經檢驗，只有兩數分別為24和52 7時符合條件，所以這兩個數分別是 16和175.鋪墊在三位數中，恰好有9個約數的數有多少個？分析91933,所以9個約數的數可以表示為一個質數的8次方，或者兩個不同質數的平方的乘積，前者在三位數中只有256符合條件，后者中符合條件有 100、196、484、676、225、441, 所以符合條件的有7個【例6】兩個整數A、B的最大公約數是C,最小公倍數是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B, CD 187,那么AB等于多少？【分析】最大公約數C,當然是最小公倍數D的約數，因此C是187的約數，1

12、8711 17, C不等于1,只能是 C11或者C17 .如果C11,那么D 187 11 176. A和B都是176的約數，A和B不能是11,只能是22, 44, 88, 176這四個數中的兩個，但是這四個數中任何兩個數的最大公約數都不是11,由此得出C不能是 11.現在考慮C 17,那么D 187 17 170, A和B是170的約數，又要是17的倍數，有34 , 85, 170三個 數，其中只有34和85的最大公約數是17,因 此，A和B分別是34和85, A B 34 85 119.【例7】已知A是一個有12個約數的合數，8A、10A有24個約數，12A有40個約數，求15A有多少個約

13、數?【分析】設A 2a 3b 5Cd, d中不含有2、3、5因子，那么A的約數個數有a1 b1 c1 N12LLLL（其中N為d的約數個數）a 48A的約數個數為a4b1 c1 N24,與比較得到2，于是a 2 ,a 13，于是C1, 2c210A的約數個數為a2b1c2N4b1c2N24,與比較c 112A的約數個數為a3b2c1N10b2N 40,與比較得到2,于是b 0 , b1 將a、b、c代入得到N2, 15A的約數個數為a 1 b 2 c 2 N 36.鋪墊已知偶數A不是4的整數倍，它的約數的個數為 12,求4A的約數的個數分析將A分解，A2B,其中B是奇數，它的約數的個數為1 1

14、 N12,（其中N為B的約數個數），則4A的約數個數為13N24.【例8】要使12m 9n這個積是65的倍數，并要使mn最小，貝U m _,n【分析】分析題意，為同一個數可以由兩種乘積的形式表示關于因數乘積表示形式，類比聯系我們所學的知識點：質因數的唯一分解式:Pn、Pl,P2.Pn為質因數,bg.，bn為自則12m則得至I9n 22m 3m 2n 是 6525 35 的倍數，2m 5一 廠m. n為整數，使mn最小,m 2n 5番件完全平方數一【例9】從1到2008的所有自然數中，乘以72后是完全平方數的數共有多少個？ 【分析】完全平方數，所有質因數必成對出現.72 23 32 2 6 6,

15、所以滿足條件的數必為某個完全平方數的2倍，2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048,共 31 個.鋪墊有5個連續自然數，它們的和為一個平方數，中間三數的和為立方數，則這五個數中最小數的最小值為. 分析考查平方數和立方數的知識點，同時涉及到數量較少的連續自然數問題，設未知數的時候有技巧設中間數是x,則它們的和為5x,中間三數的和為3x - 5x是平方數,設5x52a2,則22222x5a. 3x15a3 5a是立方數，所以a至少含有3和5的質因數各2個，a至少是225,中間的數至少是1125 .最小數的最小值為1123.【例10】志誠小學三四年級的學生人數比一二年級的學生人數

16、多100人，但比五六年級的學生人數少53人，已知五六年級的學生人數和一二年級的學生人數都是完全平方數，那么志誠中學總的學生人數有多少人？（請寫出最現實的答案）【分析】五六年級的人數和一二年級的學生人數都是完全平方數，所以可以設五六年級的學生人數為A2,一二年級的學生人數為B2,貝U153ABAB,而15333 17,所以，AB與A B可能為153和1; 17和9 ； 51和3,由這三個答案得到的A和B的值分別為：77和76, 13和4, 27和24,顯然由前兩組答案得到的 學校人數不符合現實，所以A 27, B 24為最佳結果此時五六年級的學生人數為729人，一二年級的學生人數為576人，三四

17、年級的學生人數為676,學校的總人數為729 576 676 1981人鋪墊能否找到這么一個數，它加上24,和減去30所得的兩個數都是完全平方數？分析假設能找到，設這兩個完全平方數分別為A?、B2,那么這兩個完全平方數的差為54ABAB,由于A B和A B的奇偶性質相同，所以A B A B不是4的倍數，就是奇數，所以54不可能 等于兩個平方數的差，所以這樣的數找不到【例11】一個正整數若能表示為兩個正整數的平方差，則稱這個數為 智慧數”比如16= 5232,16就是一個智慧數”那么從1開始的自然數列中，第2003個智慧數”是.【分析】a b = a b a b .因為a b與a b同奇同偶，所

18、以智慧數”是奇數或是4的倍數.對于任何大于1的奇數2nl （ n 1）,當a n 1 , b n時，都有a 有n個自然數相加：123Lnaaa （和恰好是三個相同數字組成的三位數），那么n .【分析】1 23 L n凹耳aaa, n （n 1） 2aaa 2 111 a 2 3 37 a,由于a是個一位數，2n與n 1是兩個相鄰的整數，只有當a 6, n 36時滿足題意，所以所求的n為36. 已知A有12個約數，9A有24個約數，15A有36個約數，5A有多少個約數？ b2 = （n 1） 2n2 = 2n 1,即任何大于1 的奇數都是智慧數”.2222對于任何大于4的4的倍數4n （n 2）

19、,當a n 1 ,b n 1時，都有ab= （n 1） （n 1） =4n .即任何大于4 的4的倍數都是智慧數”除了 1和4以外，非智慧數”都是不能被4整除的33偶數，智慧數”約占全部正整數的2003 -2671,為2672 4 668,加上1和4這兩個非44智慧數”，在12672中共有非 智慧數” 668+2=670個），有智慧數” 2672 670=2002（個）.所以 第 2003個智慧數”是2673.【例12】（2008年清華附中入學考試題）有兩個兩位數，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數的末兩位數（個位數和十位數）相同，那么這兩個兩位數是 （請寫出所有可能的 答案）.

20、【分析】（法一）設這兩個數分別是a和a 14,則a?與a 14 2兩個數的末兩位相同，即a?與2a 28al96的末兩位相同，所以28al96是100的倍數，a個位只能是3或8 先設a 10k 3,貝ij 28al 96 280k 280,當k 4,9時滿足條件，但k9時較大的兩位數大于100不合題意再設a10k8,可求得k1, 6時滿足條件.所以一共有（43,57）、（18,32）、（68,82）三組答案.（法二）a14 2a2 a 14aa14a 28 a 7,28a7是100的倍數，所以a7是25的倍數，符合條件的a只 有 18、43、68 .1.兩個連續自然數的平方和等于365,又有三個連續自然數的平方和等于365,則這兩個連續自然數為，這三個連續自然數為.22222【分析】13 14365,所以這兩個連續自然數為13、14, 10 1112 365,所以這三個連續自