




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: : 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具 ( (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù)) )導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家Ferma在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出. .英國數(shù)學(xué)家英國數(shù)學(xué)家 Newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念
2、導(dǎo)數(shù)的概念 第二章第二章 一、引例一、引例1. 1. 變速直線運(yùn)動的速度變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時刻的瞬時速度為時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運(yùn)動自由落體運(yùn)動 xyo)(xfy C曲線曲線)(:xfyCNT0 xM在在M點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線x割線割線MN的極限位置的極限位置MT( (當(dāng)當(dāng) 時時) )割線割線MN的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線切線MT 的斜率
3、的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個問題的兩個問題的共性共性: :so0t)(0tf)(tft瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限. .類似問題還有類似問題還有: :加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是是速度增量與時間增量速度增量與時間增量之比的極限之比的極限是是轉(zhuǎn)角增量與時間增量轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限之比的極限是是質(zhì)量增量與長度增量質(zhì)量
4、增量與長度增量之比的極限之比的極限是是電量增量與時間增量電量增量與時間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義)(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy記作記作: :;0 xxy; )(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x
5、的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfsso0t)(0tf)(tft在在 時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt曲線曲線)(:xfyC在在 M 點(diǎn)處的切線斜率點(diǎn)處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在若上述極限不存在, ,在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo). . 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo), ,
6、此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù). .記作記作: :;y; )(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意: :)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就說函數(shù)就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). . 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為無窮大無窮大. .Cxf)( (C 為常數(shù)為常數(shù)) )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: :yxCCx0lim0即即0)(C)N()(nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解:axafxf)()(axlim)(afaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx說明:說明:對一般冪函數(shù)xy( 為常數(shù)為常數(shù)
7、) 1)(xx例如,例如,)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11 x21x)1(xx)(43x4743x(以后將證明)(以后將證明)hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: :, xh 令則則)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh)1(lnxhxxfln)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: : )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即x
8、x1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh 1lim0或或則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:xxf)(在在x = 0不可導(dǎo)不可導(dǎo). . 證證: :hfhf) 0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在, , .0不可導(dǎo)在即xx)(0 xf存在存在, ,求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: :原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)( 2 )(0hhx
9、f)(0 xf三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0 xf 若若, 0)(0 xf曲線過曲線過上升上升; ;若若, 0)(0 xf曲線過曲線過下降下降; ;xyo0 x),(00yx若若, 0)(0 xf切線與x軸平行,稱為稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn); ;),(00yx),(00yx0 x若若,)(0 xf切線與切線與x x軸垂直軸垂直. .曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy法線方程法線方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,
10、)(0時 xf整理課件1111例例7.7.問曲線問曲線3xy 哪一點(diǎn)有垂直切線哪一點(diǎn)有垂直切線? ? 哪一點(diǎn)處哪一點(diǎn)處的切線與直線的切線與直線131 xy平行平行? ? 寫出其切線方程寫出其切線方程解解: :)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得, 1x對應(yīng)對應(yīng), 1y則在點(diǎn)則在點(diǎn)(1,1),(1,1)處與直線處與直線131 xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點(diǎn)故在原點(diǎn)(0,0)(0,0)有垂直切線有垂直切線處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定
11、理定理1.1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: : 設(shè))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,)(lim0 xfxyx存在存在, ,因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)x連續(xù)連續(xù). .注意注意: : 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo). .反例反例: :xyxyoxy在在x = 0處連續(xù)處連續(xù), ,但不可導(dǎo)但不可導(dǎo). .即在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個右的某個右 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的右處的右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)
12、數(shù), ,0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0(x)0( x)(0 xf 0 x例如例如, ,xxf)(在在x = 0處有處有, 1) 0 (f1) 0 (fxyoxy 有定義有定義, ,存在存在, ,定理定理2.2.函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(xfy,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡寫為簡寫為在點(diǎn)在點(diǎn)處處右右 導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3.3.函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x必必右右 連續(xù)連續(xù). .(左左) ( (左左) )若函數(shù)若函數(shù))(xf)(af)(
13、bf與都存在都存在, ,則稱則稱)(xf顯然顯然: :)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上可導(dǎo)上可導(dǎo),)(baCxf在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,),(ba在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo). .,ba可導(dǎo)的可導(dǎo)的充分必要條件充分必要條件是是且內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): :3.3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: :4.4.可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), ,但連續(xù)不一定可導(dǎo)但連續(xù)不一定可導(dǎo); ;5.5.已學(xué)求導(dǎo)公式已學(xué)求導(dǎo)公式: :不連續(xù)不連續(xù), ,一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo). .直接用導(dǎo)數(shù)定義直接用導(dǎo)數(shù)定義; ;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. . )(C )(x )
14、(sinx )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sinxx1增量比的極限增量比的極限; ;切線的斜率切線的斜率; ;思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.1.函數(shù)函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf)(xf區(qū)別區(qū)別: :)(xf是函數(shù)是函數(shù), ,)(0 xf是數(shù)值是數(shù)值; ;聯(lián)系聯(lián)系: :0)(xxxf)(0 xf注意注意: :有什么區(qū)別與聯(lián)系有什么區(qū)別與聯(lián)系? ? )()(00 xfxf?與導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù))(0 xf 存在存在, , 則則._)()(lim000hxfhxfh,) 0 (, 0) 0 (0kff則則._)(lim0
15、 xxfx)(0 xf0k),(x時時, ,恒有恒有,)(2xxf問問)(xf是否在是否在0 x可導(dǎo)可導(dǎo)? ?解解: : 由題設(shè)由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準(zhǔn)則由夾逼準(zhǔn)則0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可導(dǎo)可導(dǎo), ,且且0)0( f0,0,sin)(xxaxxxf, ,問問a取何值時取何值時, ,)(xf在在),(都存在都存在, ,并求出并求出. )(xf 解解: :) 0 (f00sinlim0 xxx1) 0 (f00lim0 xxaxa故故1a時, 1) 0 ( f此時此時)(xf在在),(都存在都存在, , )(xf0,cosxx0,1x顯然該
16、函數(shù)在顯然該函數(shù)在x = 0連續(xù)連續(xù). .解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf 存在存在, ,且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在在 0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且xxfx)(lim0存在,存在,證明證明: :)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo). .證:因?yàn)樽C:因?yàn)閤xfx)(lim0存在,存在, 則有則有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,0) 0 (f所以所以xxfx)(
17、lim0即即)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo). .xfxfx) 0 ()(lim0) 0 (f故故整理課件牛頓牛頓(1642 1727)(1642 1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家偉大的英國數(shù)學(xué)家, , 物理學(xué)家物理學(xué)家, , 天文天文學(xué)家和自然科學(xué)家學(xué)家和自然科學(xué)家. .他在數(shù)學(xué)上的卓越他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分. .16651665年他提出正年他提出正流數(shù)流數(shù)( (微分微分) )術(shù)術(shù), , 次年又提出反流數(shù)次年又提出反流數(shù)( (積分積分) )術(shù)術(shù), , 并于1671年完成年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書一書 (1736(1736年出版年出版).). 他還著有還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和和廣義算術(shù)廣義算術(shù)等
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 重要知識點(diǎn)中級會計(jì)試題及答案
- 預(yù)算管理審計(jì)試題及答案
- 入團(tuán)考試2025年實(shí)際應(yīng)用試題及答案
- 高效備考計(jì)劃2025年一級建造師考試試題及答案
- 2025年醫(yī)保知識考試題庫及答案(醫(yī)保異地就醫(yī)結(jié)算操作規(guī)范與歷年真題)
- 2025年韓語TOPIK中級考試真題卷:聽力技巧解析與訓(xùn)練試題詳解及答案
- 醫(yī)療設(shè)備銷售中區(qū)塊鏈技術(shù)的市場價值挖掘
- 從企業(yè)視角出發(fā)探討如何利用區(qū)塊鏈技術(shù)優(yōu)化企業(yè)間協(xié)作流程
- 醫(yī)療健康領(lǐng)域中區(qū)塊鏈技術(shù)的應(yīng)用案例
- 2025年中級會計(jì)試題備考手冊及答案
- 2025網(wǎng)絡(luò)安全協(xié)議合同
- 混凝土考試試題及答案
- 初中歷史明清時期的科技與文化 課件 2024-2025學(xué)年統(tǒng)編版七年級歷史下冊
- 廣東2025年廣東省生物制品與藥物研究所招聘12人筆試歷年參考題庫附帶答案詳解
- 2024北京西城區(qū)五年級(下)期末英語試題及答案
- 《古埃及文明》課件
- 歷屆全國初中應(yīng)用物理知識競賽匯編
- 國企筆試招聘題目
- 醫(yī)院培訓(xùn)課件:《西門子Syngo.via工作站的臨床應(yīng)用》
- 企業(yè)刑事合規(guī)培訓(xùn)課件
- 訂做門合同協(xié)議范本
評論
0/150
提交評論