1、拉格朗日中值定理 在高考題中的妙用拉格朗日中值定理在高考題中 的妙用LT一.拉格朗日中值定理1 拉格朗日中值定理：若 函數f滿足如下條件：(i) 續；(ii)則在f在開區間(a,b)內可導；ab內至少存在一點，使得f幾何意義：在滿足定理條件的曲線上f在閉區間a,b上連y f (x)至少存在一一 點p(，f()，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩 端的連線ab (如圖) 二求割線斜率大小幾何意義的利用由拉格朗日中值幾何意義可知：曲線上兩點 的割線斜率，可以轉化為曲線上切線的斜率即連 續函數上任意兩點的連線總與某條切線平行下面通過下題具體分析 例1: (2011年福建省質檢理19題)已知函數 2a2

2、f(x) xaln x.x(I)求f(x)的單調遞增區間；(D)設a 1,g(x) f'(x)，冋是否存在實數k，使得函數g(x) 上任意不同兩點連線的斜率都不小于k ?若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由.解(I)略(H)當a 1時，g(x) 1 4 ，假設存在 x x實數k，使得的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于k，即對任意X2 X1 0，都有g(Xk,即求X2 X1任意兩點割線斜率的大小，由中值定理知存在x(X，X2)，有g'(x)卄k,轉為求切線斜率的大小即g'(x)X3 _L k在(o,)上恒成立.(以下同參考答案)入入評析：該題若用初等方法解決，構

3、造函數同是本 題的難點和突破口.將四四k,轉化為X2 xg(x,) kx2 g(xi) x,轉而考查函數 h(x) g(x) kx , 學生不是很 容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，則只 需求二次導函數在所給區間的最小值即可，學生 易接受.利用拉格朗日中值定理證最值(1)證b a證f'與的大小關系例2: (2009年遼寧卷理21題)已知函數 f（x） =- ax +（a-l）lnx,a > 1（I）討論函數加的單調性；（II）證明：右 a<5,則對任意 x（,x2 e（0,+oo） ,x2 9 有 /（比）-/（小）二（I ）略；（II ）要證 /（石）一/仕2）>

4、; 成立，即證f(C=S+號 >-1+ 4 1 9不7則 A = (a-l)2-4(a-l)=(a-l)(a-5)» 由于<a<5 9所以AvO從而g（§）>0在/?恒成立也即g _ag + a_ >_g .(斗，吃)9xpx2 e(0,+oo) 9 故歹 >0則 S 二茫+a二1 >_,即/£）十a +呼>_1 ,也即 /（兀）一/仗2）：.g召一勺評注：這道題（II）小題用初等方法做考慮 函數g（x）=/（g.為什么考慮函數如=4）+,很多考生 一下子不易想到而且沖）的放縮也不易想到.（2）、證明型或出U成立（其

5、中/（o）=o）XX即證心（0）»或/（ Wx-0兀-0例3： （2007年高考全國卷I第20題） 設函數W.（I）證明：的導數 /'（小2；(II)證明：若對所有都有 f(x)>ax 9 貝!的取值范圍是(一8,2 (I)略.(II)證明：(i)當“。時，對任意的 a 9都有.0處(ii)當5時，問題即轉化為心牛對所有5恒成立.令g(x)=£=A±2(2),由拉格朗日中值定理知心)內xx-0至少存在一點纟(從而卯)，使得門滬牡嚴，即G(x) = f (§)=涉+產 9 由于/"(§) = e一八(?>0) 9 是

6、增函數，讓一。得 取值范圍是(-沖x-0 故八0在(0,x)上G虻/'小宀/'(0)=2 , 所以。的評注:用的是初等數學的方法即令能)卄)" 再分必2和“>2兩種情況討論.其中，心2又要去解 方程小H但這有兩個缺點：首先，為什么。的取 值范圍要以2為分界展開其次，方程沖円求解較 為麻煩但用拉格朗日中值定理求解就可以避開 討論，省去麻煩.sinx2 + cosx例4： (2008年全國卷II22題)設函數/(I)求川)的單調區間；(II)如果對任何淪都有 f(x)<ax 9求。的取值范圍.證明(I )略;(II)證明：當“。時,顯然對任何“都有 當小時，由

7、拉格朗日中值定理，知存在0, X，使得''f x 0 得, 最大值f 值 f x max 值是fmax2k1xmax 3 1 所以，成立，應有faxmax2k , 2k 1.所以在 2k 1 , 2k 2 上，f' x 的f' 2k 2£在 2k , 2k 1 上, f' x 的最大3 .從而函數f'x在2k , 2k 2上的最大 3k N知，當x 0時，f'x的最大值為的最大值f' max 為了使f' a恒所以a的取值范圍是右maxmax.由（I）知f'x竺注4，從而2 cosx2sin x 2 cos

8、x cosx 122 cosxf x 2.令 f x0 彳得，x 2k 1 , 2k 2； 令評注：這道題的參考答案的解法是令g x ax f x，再去證明函數g x的最小值g x min 0 .這與 上述的思路是一樣的但首先參考答案的解法中 有個參數a,要對參數a進行分類討論；其次為了判 斷g x的單調性,還要求g' x 0和g' x 0的解,這個求 解涉及到反余弦arccosaa ,較為復雜.而用拉格朗日中 值定理就可以避開麻煩，省去討論再次體現了 高觀點解題的優越性三利用拉格朗日中值定理證不等式 近幾年的數學高考中，出現了不少含有拉格朗日 中值定理的試題.常以不等式恒成立

9、問題為基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能 力立意”的宗旨，又突出了數學的學科特點，較 好地甄別了學生的數學能力.下面以近幾年全國各地的數學高考試題為例，說明拉格朗日中值 定理的不同形式在高考中不等式的應用， 更好地 體會用“高觀點”解題的優勢.(1)用于證明f b f a與b a的大小關系例5: (2006年四川卷理第22題)同已知函數f x x2 - alnx(x 0), f x的導函數是f' x，對彳壬x1意兩個不相等的正xx2，證明：(U)當a 4時，f ' X1 f' X2 X1 X2 .證明：由 f x x2 2 alnx 得，f'(x)

10、2x 二-，令 g x f' xx7x x 7則由拉格朗日中值定理得：|gx! gx2| g' (X! X2)下面只要證明：當a 4時，任意0,都有g' 1， 則有g' x 2 $斗1，即證a 4時，a x2上恒成立.這等X XX價于證明X2 -的最小值大于4 由X2 4 X2 2 - 34，當 XXXX7且僅當X 32時取到最小值，又a 4 33 4，故a 4時，2 4 a i恒成立.所以由拉格朗日定理得：'g X1 g X2 g' (X1 X2) g' |xi x 風 x?.評注：這道題用初等數學的方法證明較為冗長， 而且技巧性較強.

11、因而思路較為突兀，大多數考 生往往難以想到相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢.體現了高觀點解 題的優越性，說明了學習高等數學的重要性.(2)證明g a , g孚,g b二者大小的關系f x的最例6: (2004年四川卷第22題) 已知函數f x ln(1 x) x,g x xlnx.(I)求函數 大值；a bg a g b 2g 2-(b a)ln 2 .(H)設 0 a b 2a，證明：證明(I)略;(n)證明：依題意，有g'x Inx 1 ,由拉格朗日中值定理得，存在 a,專, a bagb gg石In- ?山 In b?2 a 2評注：對于不等式中含有b b廠,

12、b，使得g a4a b aIn ?b a In2a 2InIng a ,g b ,gb的形式，我們往往可以把g專ga和gb g專，分別對g乎g a和gb g專兩次運用拉格朗日中值定理.例7: (2006年四川卷理第22題)已知函數f X X2 2 a In x(x 0), f x的導函數是f x，對任1x7,證明：(I)當a 0時，意兩個不相等的正數X,X2f X f X2 X1 X22 2證明：(I)不妨設X1 X2，即證由拉格朗日中值定理知,f X2fXX22XiX2存在xX2X1,-2X1 X22, X22，則f X2fX1X22d2 af (x) 2x X7 X，X2 X1f X1 X

13、22 ， 2c 4 a Ak X 232 .當X Xf X1 f一個單調遞減函數，故f'f x成立，Xx2xx2f X2f -2 f -22 20時，ff' 2從而 因此命題獲證.?3又2x 0 所以f(x)是4四：利用拉格朗日定理證明根的存在又對于(0,1)內所有f(x) x 1 0在(0,1)內有唯一的實g(x) f(x) x 1 ,又因為 0 f(x) 1,貝V g(0) f(0) 1 0,g f(1) 0 ,得證明方程根的存在性，所給根的范圍就是區 間a,b把所給方程設為函數f(x)就可用拉格朗日中 值定理證明方程根的存在性，一般用反證法 例1 設f(x)在0,1可導，且0 f(x) 1, 的點有f '(x) 1證明方程 根 分析：要證明方程有唯一的實根，分兩步證明，先 證