1、一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則 第九節二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性 連續函數的運算與初等函數的連續性 第一章 定理定理2. 連續單調遞增函數的反函數也連續單調遞增. xx cot,tan在其定義域內連續一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點連續的函數 .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續單調遞增，其反函數xyarcsin(遞減)(證明略)在1, 1上也連續單調(遞減)11xOy22遞增.

2、xsinxarcsin定理定理3. p66-67xye在),(上連續其反函數xyln在),0(上也連續單調遞增.又如又如, xyOxylnexy 11單調 遞增,定理定理4. 連續函數的復合函數是連續的.證證: 設函數)(xu,0連續在點 x.)(00ux,)(0連續在點函數uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數)(xf.0連續在點 x且即例如例如,xy1sin是由連續函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續 .復合而成 ,xy1sinxyO例例1 . 設)()(xgxf與均在,

3、ba上連續, 證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續.證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據連續函數運算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續 .)(, )(min)(xgxfx 二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如例如,21xy的連續區間為1, 1(端點為單側連續)xysinln的連續區間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續點而例例2. 求.)1 (logli

4、m0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 由此可見當0e,xa時, 有)1ln(x1e xxx例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx21,41,)(xxxxx例例5. 設,1,2

5、1,)(2xxxxxf解解:討論復合函數)(xf的連續性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點 x = 1 不連續 , 內容小結內容小結基本初等函數在定義區間內在定義區間內連續連續函數的四則運算四則運算結果仍連續連續函數的反函數反函數連續連續函數的復合函數復合函數連續 初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性.思考與練習思考與練習,)(0連續在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續? 反例, 1,1)(xf x 為有理