1、微專題十二圓錐曲線中性質的推廣第九章平面解析幾何真題研究一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個性質定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理，也就把握了試題的本質.對一些典型的試題，不應滿足于會解，可以引導學生深入探究試題背后的知識背景，挖掘問題的本質.這樣才能真正找到解決問題的方法，學會用更高觀點去看待數學問題，把握問題的本質.正如普通高中數學課程標準(實驗)所倡導的數學探究性課題學習，引導學生圍繞某個數學問題，觀察分析，自主探究，提出有意義的數學問題，探求適當的數學結論和規(guī)律.一、試題展示題1(2018全國)如圖1所示，設拋物線C：y22x，點A(2,0)，B(2，0)，過點A的直

2、線l與C交于M，N兩點.(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；解當l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得點M的坐標為(2,2)或(2，2).即x2y20或x2y20.(2)證明：ABMABN.證明當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當l與x軸不垂直時，設l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x10，x20.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以ABMABN.綜上，ABMABN.題2(2018全國)設橢圓C： y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0).(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程

3、；解由已知得F(1,0)，l的方程為x1.(2)設O為坐標原點，證明：OMAOMB.證明當l與x軸重合時，OMAOMB0.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以OMAOMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2k21)x24k2x2k220，由題意知0恒成立，從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補.所以OMAOMB.綜上，OMAOMB.點評以上兩題是2018年高考全國卷解析幾何題的倒數第二題，是選拔題.第(1)問根據直線方程的求法，多數學生都能完成，第(2)問是個探索性問題，重點考查用坐標法研究圓錐曲線中的定點定值

4、問題，考查數形結合、函數方程、分類討論等基本數學思想，同時考查綜合運用所學數學知識分析問題和解決問題的能力，綜合考查學生的運算能力和數學素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”，是平面幾何中的角平分線問題，但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標法的思想，可以將等角的幾何關系式轉化為坐標代數關系式，然后再用坐標法來處理.本題看起來很平常，實際上卻背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的數學價值和研究空間，我們重點研究第二小問的相關性質.二、性質研究性質1如圖3所示，已知拋物線y22px(p0)，點B(m,0)(m0)，設不與x軸垂直的直線l與拋物線相交于M，N兩點，則直線l過定點A(m,0)的充要條件是x軸是

5、MBN的角平分線.圖3證明先證明必要性：設不與x軸垂直的直線l的方程為yk(xm)(k0)，代入y22px，整理得k2x2(2k2m2p)xk2m20.所以ABMABN，所以x軸是MBN的角平分線.再證明充分性：設不與x軸垂直的直線l的方程ykxb(k0)，代入y22px，整理得k2x22(kbp)xb20.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由根與系數關系得即y1(x2m)y2(x1m)0.再將y1kx1b，y2kx2b代入上式，得(kx1b)(x2m)(kx2b)(x1m)0，即2kx1x2(bkm)(x1x2)2mb0， 將式代入式，得2kb22(bkm)(pkb)2mbk20，整理得bkm，此時0，直線l的方程為yk(xm)，所以直線l過定點A(m,0).圖4證明先證明必要性：設不與x軸垂直的直線l的方程為yk(xm)(k0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數的關系得所以OMAOMB，所以x軸是AMB的角平分線.再證明充分性：(a2k2b2)x22kta2xa2(t2b2)0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數的關系得整理得tkm.此時0，所以直線l的方程為yk(xm)，所以直線l過定點P(m,0).圖5性質3的證明類似于性質2的證明.三、性質推廣圖6證明當直線l垂直于x軸時，易得kPBkQB