1、直線和圓題型總結(jié)班級(jí):高二(19)班 學(xué)號(hào): 50 姓名:張志飛1直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍： 。例題：（1）直線的傾斜角的范圍是_（答：）；（2）過點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍 ,那么m值的范圍是_（答：）2直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan (90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為

2、；（3）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：。例題：（1）兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要）； （2）實(shí)數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為 _（答： ）3直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過、 兩點(diǎn)，則直線方程為 ，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成 (A,B不同時(shí)為0)的形式。例題：（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，

3、1）且方向向量為=(1, )的直線的點(diǎn)斜式方程是_（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點(diǎn)_（答：）；（3）若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_（答：）注意：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)。例：過點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有_條（答：3）4設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為 (它不適用于

4、斜率為0的直線)；（3）知直線過點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為注意：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。6直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。注意：（1）、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！ （2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線； （3）直線與直線垂

5、直。 例題：（1）設(shè)直線和，當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí) ；當(dāng)_時(shí)與相交；當(dāng)_時(shí)與重合（答：1；3）； （2）已知直線的方程為，則與平行，且過點(diǎn)（1，3）的直線方程是_（答：）； （3）兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）； （4）設(shè)分別是ABC中A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是_（答：垂直）； （5）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程0所表示的直線與的關(guān)系是_（答：平行）；（6）直線過點(diǎn)（1，0），且被兩平行直線和所截得的線段長(zhǎng)為9，則直線的方程是_（答：）7對(duì)稱（中心對(duì)稱和軸對(duì)稱）問題代入法：例題：（1）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)

6、稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_（答：）；（2）直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是_（答：）；（3）點(diǎn)（，）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為(2,7)，則的方程是_（答：）；（4）已知一束光線通過點(diǎn)（，），經(jīng)直線:3x4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)（，15），則反射光線所在直線的方程是_（答：）；（5）已知ABC頂點(diǎn)A(3，)，邊上的中線所在直線的方程為6x+10y59=0，B的平分線所在的方程為x4y+10=0，求邊所在的直線方程（答：）；（6）直線2xy4=0上有一點(diǎn)，它與兩定點(diǎn)（4,1）、（3,4）的距離之差最大，則的坐標(biāo)是_（答：（5,6）；（7）已知軸，C（2，1），周長(zhǎng)的最小值為_（答：）

7、。注：在解題中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。8簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；無等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線；設(shè)點(diǎn)，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè)。例題：已知點(diǎn)A（2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是_（答：）（2）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件

8、下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；（3）求解線性規(guī)劃問題的步驟：根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。例題：線性目標(biāo)函數(shù)z=2xy在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是_（答：（1，1）；點(diǎn)（，t）在直線2x3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_（答：）；不等式表示的平面區(qū)域的面積是_（答：8）；如果實(shí)數(shù)滿足，則的最大值_（答：21）（4）在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意：將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時(shí)注意作

9、圖規(guī)范。10圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。（2）圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是且且）；（3）為直徑端點(diǎn)的圓方程例題：（1）圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱,則圓C的方程為_（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（答：或）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_（答：）；11點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓， （1）點(diǎn)M在圓C外； （2）點(diǎn)M在圓C內(nèi)； （3）點(diǎn)M在圓C上。例題：點(diǎn)P

10、(5a+1,12a)在圓(x)y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是_（答：）12直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。注：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。例題：（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_（答：相離）；（2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值_（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于   （答：）；（4）一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:

11、(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是   （答：4）；（5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。求證：對(duì)，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. （答：或最長(zhǎng)：，最短：）13圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當(dāng)時(shí)，兩圓外離；（2）當(dāng)時(shí)，兩圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，兩圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含。14圓的切線與弦長(zhǎng)：(1) 切線： 過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，求圓的切線方程。（抓住圓心到直線的距離等于半徑）； 從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程；切線長(zhǎng)：過圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）；例題：設(shè)A為圓