1、第五課 無窮級數第四節 冪級數一、函數項級數的概念1.【定義】設 是定義在區間上的函數,則 稱為定義在區間上的(函數項)無窮級數.2收斂域(1) 收斂點 常數項級數 收斂；(2) 收斂域 函數項級數的所有收斂點形成的集合；3和函數,.4余項, .注: 只有在收斂域上,才有意義；, .二、冪級數及其收斂性1 一般冪級數標準冪級數（標準冪級數）, 其中常數，.2.重要公式：.對于級數，作代換可以將一般冪級數化為標準冪級數，所以我們只研究標準冪級數斂散性的判別方法.3.【阿貝爾定理】（補充）設的收斂域為，則（1）若且, 則對, 收斂且絕對收斂. (2) 若, 則對,有即級數發散.4收斂半徑的計算【定

2、理3】對于， 記(或)（為常數或），則此冪級數的收斂半徑為.常用公式:，.5.收斂半徑、收斂區間、收斂域1) 收斂半徑滿足(或)（為常數或）的正數稱為的收斂半徑.2) 收斂區間若的收斂半徑為,則斂區.3）收斂域：若的收斂半徑為，且考慮級數在區間端點處的斂散性后所得到的區間稱為級數的收斂域.注意:收斂域有四種可能的形式: 4) 規定 冪級數只在處收斂, 定義, 收斂域；獨點集 冪級數對一切實數都收斂, 定義, 收斂域.提問（1）求冪級數的收斂域.（缺項級數收斂域求法）解由時級數收斂，由由時級數發散.得 當時，收斂，當時，收斂，所以 收斂域為 .（2） (90.5) 求級數的收斂域.（一般冪級數收

3、斂域求法）解,由知,因此當即時級數收斂.當時,原級數為收斂,當時,原級數為收斂.所以收斂域為.（3）(92.3) 級數的收斂域為.答原級數可看作,因為,于是,則原冪級數在,即內收斂.當和時,原級數都為發散,所以收斂域為.（4）(02.3) 設冪級數與的收斂半徑分別為與,則冪級數的收斂半徑為（A）(A) 5；(B) ；(C) ；(D) .答因為,所以.（5）（）的收斂半徑為 .提示：.三、冪級數以及和函數的運算性質1.設 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,.其中: 待定, 而由系列表達式,確定.此處, , 但.2.【性質1】冪級數的和函

4、數在其收斂域上是連續.3.【性質2】冪級數的和函數在其收斂域上的閉子區間可積，且有逐項積分公式 , .例: , .逐項積分時在處無意義.4. 【性質3】 冪級數的和函數在其收斂區間上可微，且在收斂區間上 , .說明：求導與積分前后兩級數的收斂半徑不變.例13(99.3) .因為,收斂域為，令，則有,所以答案為4.例14(00.6) 設求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內,于是,令,則,從而.例15(03.9) 求冪級數的和函數及其極值.解依題意上式兩邊從0到積分,得,由得.令,求得唯一駐點,由于可見在處取得極大值,且極大值為.例16(05.9) 求冪級數在區間內的和函數.解設,則, 由于因

5、此又由于所以故例17(06.10) 求冪級數的收斂域及和函數.解由于,當時原級數絕對收斂,當時原級數發散,所以原級數的收斂半徑為,且易知當時級數都收斂,故收斂域為.記,則 ，.由于,所以,從而,且冪級數的收斂域為.例18(04.9)設級數的和函數為,求(I)所滿足的一階微分方程; (II)的表達式.解(I)由,易知,且冪級數的收斂區域為,在上逐項求導得,所以是初值問題的解.(II)方程的通解為,由初始條件,知.故是上述初值問題的解,所以.例19 (02.7) (1)驗證函數滿足微分方程；(2) 利用(1)的結果求冪級數的和函數.解(1) 冪級數的收斂域是,在上逐項求導,得所以.（2）對應的齊次

6、微分方程為的其特征方程為,其特征根為,所以齊次微分方程的通解為.設非齊次方程的特解為,將代入方程可得,則,于是原方程通解為.由解之得,所以冪級數的和函數.例20(08.10) 設銀行存款年利率為,并依年復利計算,某基金會希望通過存款萬元,實現第一年提取萬元,第二年提取萬元,第年提取萬元,并能按此規律一直提取下去,問至少應為多少萬元？【此題為已知將來值求現值的問題】解 若第年提取萬元,則相應現在應存入萬元,于是 ,將代入,得(萬元).第五節 泰勒級數及其應用一、泰勒級數【定理】（Taylor中值Th）:設在內具有直到n+1階導數, 則在內，其中為拉格朗日型余項.【定理】（TaylorTh）:設在

7、內具有任意階導數, 則在內.其中為的拉格朗日型余項.結論：函數在點有泰勒展式在有任意階導數且.注意：1）函數在一點處可以展開為Taylor級數時，其展式是唯一的. 因為 泰勒系數（）是唯一的. 2）為在點的Taylor級數，等式在時成立，稱為函數的Taylor展式.5泰勒級數與麥克勞林級數設在點具有任意階導數，則稱(1) 為在點的泰勒級數,(2) 稱為的麥克勞林級數,結論：當級數收斂于時，即時有泰勒展式.二、函數展開成冪級數1直接法(麥克勞林級數法)步驟：(1) 求； (2) 求；(3) 寫出的麥克勞林級數并求出級數的收斂半徑；(4) 討論或，(5) 在收斂區間上有 , .重要公式：（1）, .（2） 收斂域為 .（3）.（4）.（5）.2間接法根據函數的泰勒展式的唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導, 逐項積分等方法,求函數的泰勒展開式.例26 按要求將下列函數展成冪級數（1） 將展開成的冪級數.（注意收斂區間的間接求法）解：已知, . 那么, . (2)解因為,所以有,并由得的收斂域為.(3)解 因為,所以有.(4)解 由,有又由得其收斂區間為.收斂域為 .注意：對于不需要通過積分與求導就可以的得到的級數，其收斂域可以直接由原收斂域間接求出，但對于要積分或求導才能得到的級數，端點要單獨考察一下斂散性.（5） ()將函