1、等比數列性質一、選擇題1.已知數列成等差數列, 成等比數列，則的值為( )A、 B、 C、或 D、2.等比數列中，為方程的兩根，則的值為（ ）5.等比數列的各項均為正數，且18，則( )A12 B10 C8 D26.是公差不為0的等差的前項和，且成等比數列，則等于（ ）A. 4 B.6 C.8 D.107.公差不為零的等差數列的前項和為，若是與的等比中項，則等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比數列的前項和為，若，則公比為（ ） A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比數列an 的公比為2，前4項的和是1，則前8項的和為 A 15 B17 C19 D 21二、填空題13.

2、設等比數列的前n項和為。若，則=15.等比數列的公比, 已知=1，則的前4項和= 16.等比數列的前項和=，則=_.三、解答題20.在等比數列中，公比，設，且（1）求證：數列是等差數列；（2）求數列的前項和及數列的通項公式；（3）試比較與的大小.3.（2006全國卷理）設數列的前項的和，（）求首項與通項；（）設，證明：3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n

3、=2,3, , 因而數列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()將an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.（2006安徽理）數列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；（）設，求數列的前項和。8.解：由得：，即，相加得：，又，所以，當時，也成立。（）由，得。而，所以，對成立。由，10.（2005山東文）已知數列的首項前項和為

4、，且（I）證明數列是等比數列；（II）令，求函數在點處的導數10.解：由已知可得兩式相減得，即從而當時,，所以又所以，從而故總有，又，從而,即數列是以為首項，2為公比的等比數列；（II）由（I）知因為所以從而=-=.例題2. （2007年二次月考）設數列的前n項和為Sn，若是首項為1，各項均為正數且公比為q的等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）試比較的大小，并證明你的結論.解析：（）是各項均為正數的等比數列. 當n=1時，a1=1，當。（）當n=1時，當當q=1時，當當綜上可知：當n=1時，當若若點評：本題考查了等比數列的基本知識，還要注意分類討論。考點二：求數列的通項與求和例題3. （2

5、007年5月湖北省十一校）.已知數列中各項為：個個 12、1122、111222、（1）證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積.（2）求這個數列前n項之和Sn . 解析：先要通過觀察，找出所給的一列數的特征，求出數列的通項，進一步再求和。答案：（1）個記：A = , 則A=為整數= A (A+1) ，得證(2) 點評：本題難點在于求出數列的通項，再將這個通項“分成”兩個相鄰正數的積，解決此題需要例題4. (云南省2007年第一次高中畢業生復習統一檢測) 已知是數列的前n項和，并且=1，對任意正整數n，；設）.（I）證明數列是等比數列，并求的通項公式；（II）設的前n項和，求.解析：（I）兩

6、式相減：是以2為公比的等比數列，（II）而點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第二問求和用到裂項的辦法求和。考點三：數列與不等式的聯系例題5.（2007年5月莆田四中）已知為銳角，且，函數，數列an的首項.求函數的表達式；求證：；求證：解析：本題是借助函數給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。答案：解：又為銳角都大于0, , 又點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式所給的式子更具有一般性。例題7.（2007年5月2007浙江省五校）已知函數

7、,數列滿足, ; 數列滿足, .求證:（）（）（）若則當n2時,.解析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函數的單調性；第（3）問進行放縮。答案：解: ()先用數學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結論成立;（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數.又f(x)在上連續,所以f(0)f()f(1),即0. 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構造函數g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因為,所以,即0,從而() 因為,所以, , 所

8、以 , 由()知:, 所以= ,因為, n2, 所以= .由兩式可知: .點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。考點四：數列與函數、向量、概率等的聯系例題8.（四川省南充高級中學2008屆十月份月考）無窮數列的前n項和，并且（1）求p的值；（2）求的通項公式；（3）作函數，如果，證明：解析：（1），且p1，或若是，且p1，則由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），當k2時，n3時有對一切有：（3），故又故點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題8.（2007年5月徐州市）已知函數f(x)=，設正項數列滿足=l， (1)寫出、的

9、值; (2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設數列滿足=，記Sn=證明：當n2時,Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，即（3）當時，所以，所以 點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題12. (2007年5月寧波市三中) 已知數列中，（1）求；（2）求數列的通項； （3）設數列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現，提示我們應該考慮anSnSn1(n2)解：（1）（2）得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調遞增數列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以 點評：與數列相關的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關鍵，本題中這種拆分方法是數學中較高要求的變形.答案一