1、第第2章章 連續時間系統連續時間系統的時域分析的時域分析 引言信號與系統分析的基本任務是在給定系統和信號與系統分析的基本任務是在給定系統和輸入的條件下，求解系統的輸出響應。輸入的條件下，求解系統的輸出響應。時域分析方法時域分析方法: :不涉及任何變換，直接求解系不涉及任何變換，直接求解系統的微分方程，這種方法比較直觀，物理概統的微分方程，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。連續時間系統可用微分方程表示，因此在時連續時間系統可用微分方程表示，因此在時域下分析連續時間系統，實際上就是求解微域下分析連續時間系統，實際上就是求解微分方

2、程的過程。分方程的過程。而對于離散時間系統可用差分方程表示，因而對于離散時間系統可用差分方程表示，因此在時域下分析離散時間系統，實際上就是此在時域下分析離散時間系統，實際上就是求解差分方程的過程。求解差分方程的過程。系統分析過程系統分析過程 變換域法變換域法利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態零狀態可利用經典法求可利用經典法求零輸入零輸入雙零法雙零法經典法經典法解方程解方程網絡拓撲約束網絡拓撲約束根據元件約束根據元件約束列寫方程列寫方程:,:經典法經典法: :電路分析基礎課里已經討論過，求解微分方電路分析基礎課里已經討論過，求解微分方程的齊次解和特解，代入初始條件求解系數，得出程的齊次解

3、和特解，代入初始條件求解系數，得出全響應全響應；卷積積分法卷積積分法: : 任意激勵下的零狀態響應可通過沖任意激勵下的零狀態響應可通過沖激響應來求。激響應來求。( (新方法新方法) )線性系統完全響應的求解；線性系統完全響應的求解；零輸入響應和零狀態響應的求解；零輸入響應和零狀態響應的求解；沖激響應沖激響應h(t) 和階躍響應和階躍響應g(t)g(t)的求解；的求解；卷積的定義；卷積的定義；圖解法求卷積；圖解法求卷積；卷積的性質；卷積的性質；卷積積分法求系統響應；卷積積分法求系統響應；本章主要內容本章主要內容許多實際系統可以用線性系統來模擬。許多實際系統可以用線性系統來模擬。若系統的參數不隨時

4、間而改變，則該系統可以用若系統的參數不隨時間而改變，則該系統可以用線性常系數微分方程線性常系數微分方程來描述。來描述。一物理系統的模型一物理系統的模型本節復習求解系統微分方程的經典法：本節復習求解系統微分方程的經典法：物理系統的模型物理系統的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n 階線性時不變系統的描述階線性時不變系統的描述求解系統微分方程的經典法求解系統微分方程的經典法根據實際系統的物理特性列寫系統的微分方程。根據實際系統的物理特性列寫系統的微分方程。對于電路系統，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲對于電路系統，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲約束列寫系統的微分方程。約束列寫系統的微分方程。 元件

5、特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。 網絡拓撲約束：網絡拓撲約束：由網絡結構決定的電壓電流約束關系由網絡結構決定的電壓電流約束關系,以基爾霍夫以基爾霍夫電流電流定律定律KCL，基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律KVL表表示。示。二微分方程的列寫二微分方程的列寫1. 1. 元件約束元件約束VARVAR在電流、電壓取關聯參考方向條件下：在電流、電壓取關聯參考方向條件下：(1)

6、(1)電阻電阻R R，u uR R(t)=R(t)=Ri iR R(t)(t)； (2)(2)電感電感L L， (3)(3)電容電容C C，(4)(4)互感互感( (同、異名端連接同、異名端連接) )、理想變壓器等原、副、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。邊電壓、電流關系等。00( )11( ),( )( )( )( )ttLLLLLLtditutLitudituddtLL 00( )11( ),( )( )( )( )ttCCCCCCtdutitCutidutiddtCC2. 2. 結構約束結構約束KCLKCL與與KVLKVL下面舉例說明。下面舉例說明。例例 如圖所示電路，輸入激勵是電流

7、源如圖所示電路，輸入激勵是電流源i iS S(t),(t),試列出電流試列出電流i iL L(t)(t)為輸出響應變量為輸出響應變量的方程式。的方程式。 iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L 由由KVLKVL，列出電壓方程，列出電壓方程2122( )( )( )( )cLLdu tdu tditditLRdtdtdtdt 12( )( )( )( )CLLutu tutR it 對上式求導對上式求導考慮到考慮到所以所以 11( )( )( )( )CCCdutitCR itu tdt 2( )( )LLditLR itdt iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L211

8、221( )( )( )1( )LLdu tditditu tLRR Cdtdtdt根據根據KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而，因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t) 21212( )( )( )11( )( )SLLLSditd itRRditRititdtLdtLCLdtLC 2122( )( )( )( )1( )( )()SLLLSLditditd itditititRLRCdtdtdtdt 整理上式后，可得整理上式后，可得i

9、S(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L三n 階線性時不變系統的描述 一個線性系統，其激勵信號一個線性系統，其激勵信號 與響應信號與響應信號 之間之間的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述( )e t( )y t1110111101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmy ty ty taaaa y tttte te te tbbbb e tttt 若系統為時不變的，則若系統為時不變的，則a，b均為常數，此方程為常均為常數，此方程為常系數的系數的n階線性常系數微分方程。階線性常系數微

10、分方程。階次階次：方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。分析系統的方法：分析系統的方法：列寫方程，求解方程列寫方程，求解方程。 變換域法變換域法利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態零狀態可利用經典法求解可利用經典法求解零輸入零輸入應應零輸入響應和零狀態響零輸入響應和零狀態響經典法經典法解方程解方程網絡拓撲約束網絡拓撲約束根據元件約束根據元件約束列寫方程列寫方程: ,:求解方程時域求解方程時域經典法經典法就是：就是：齊次解齊次解 + 特解特解。四求解系統微分方程的經典法四求解系統微分方程的經典法 我們一般將激勵信號加入的時刻定義為我們一般將激勵信號加入

11、的時刻定義為t=0 ，響應，響應為為 時的方程的解，初始條件時的方程的解，初始條件0t 齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式1ekntkkc 注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。特特 解：根據微分方程右端函數式形式，設含待定系解：根據微分方程右端函數式形式，設含待定系 數的特解函數式數的特解函數式代入原方程代入原方程，比較系數，比較系數 定出特解。定出特解。2121d (0 )d(0 )d(0 )(0 ) ,dddnnyyyyttt kc2.1.12.1.1微分方程的經典解微分方程的經典解全全 解：齊次解解：齊次解+特解，由特解，由初始條

12、件初始條件定出齊次解定出齊次解 。齊次解滿足齊次微分方程齊次解滿足齊次微分方程 y y(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1 y y(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1y y(1)(1)(t)+a(t)+a0 0y(t)=0 y(t)=0 由高等數學經典理論知，該齊次微分方由高等數學經典理論知，該齊次微分方程的特征方程為程的特征方程為 n n+a+an-1n-1n-1n-1+ +a+a1 1+a+a0 0=0=0 齊次解齊次解 (1)(1)特征根均為單根。如果幾個特征根特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同都互不相同( (即無重根即無重根) )，則微分方程的，則微分方程的齊

13、次解齊次解(2) (2) 特征根有重根。若特征根有重根。若1 1是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其，而其余余(n-)(n-)個根個根+1+1，+2+2，n n都是都是單根，則微分方程的齊次解單根，則微分方程的齊次解1( )inthiiy tc e 11( )jinttihijijytc tec e (3)(3)特征根有一對單復根。即特征根有一對單復根。即1, 21, 2=a=ajbjb，則微分方程的齊次解則微分方程的齊次解y yh h(t)=c(t)=c1 1e eatatcosbt+ccosbt+c2 2e eatatsinbtsinbt或或 y

14、yh h(t)=Ae(t)=Aeatatcos(bt-cos(bt-) ) (4)(4)特征根有一對特征根有一對m m重復根。即共有重復根。即共有m m重重1,21,2=a=ajbjb的復根，則微分方程的齊次解的復根，則微分方程的齊次解11211211122( )coscoscossinsinsin( )cos()cos()cos()atatmathmatatmatmatatmathmmytc ebtc tebtc tebtd ebtd tebtd tebtytA ebtA tebtA tebt 3232ddd71612dddy ty ty ty te tttt求求微微分分方方程程系統的特征方

15、程為系統的特征方程為 32716120 2230 122 , 3 重重根根 23123eetthytc tcc 特征根特征根因而對應的齊次解為因而對應的齊次解為例例 7 17 153 ( )ytytyty tetet 求求微微分分方方程程系統的特征方程為系統的特征方程為 32717150 1233 , 2, 2jj 32123321ee(cossin )eecos()tthtthytCCtCtytCAt 或或特征根特征根因而對應的齊次解為因而對應的齊次解為例例特征根特征根齊次解齊次解yh(t)i itiC e i 12121()itrrrrC tC tCtC e 1,2j12(cossin)c

16、os()tteCtCtAet 或或特征根與相應的齊次解形式特征根與相應的齊次解形式單根單根r重根重根共軛復根共軛復根1,2jr重共軛復根重共軛復根1211221100cos()cos()cos()cos()atrrrrrreCttCttC ttCt激勵函數激勵函數e(t)響應函數響應函數y(t)的特解的特解)(常常數數E)(常常數數Bmt1110mmmmP tPtPtP t e1110e(+)etrrtrrPP tPtPtP 或或 t cos t sin 12cossinPtPt esinmttt ecosmttt 11101110()cos()sinemmmmmmtmmP tPtPtPtQ

17、tQtQ tQt 幾種典型激勵函數相應的特解幾種典型激勵函數相應的特解 cosAt 或或如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此方程的特解。方程的特解。 22ddd23dddy ty te ty te tttt 給定微分方程式給定微分方程式 p2123ytB tB tB 為使等式兩端為使等式兩端 221,2 ,e tttt 代代入入方方程程右右端端 得得到到平衡，試選特解函數式平衡，試選特解函數式 將此式將此式代入方程代入方程得到得到 為待定系數。為待定系數。這里這里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 例例2(1) ( ); ( )te

18、 tte te等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有 032223413321211BBBBBB聯解得到聯解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解為所以，特解為 p212103927yttt 這里，這里，B是待定系數。是待定系數。 代入方程后有：代入方程后有： ee,tte ty tB 。tttttBBBeee3e2e 31 B p= e13tyt于于是是，特特解解。(2)全解全解將微分方程的齊次解和特解相加可得到全將微分方程的齊次解和特解相加可得到全解。解。全解中的待定系數可由系統的初始條件確全解中的待定系數可由系統的初始條件確定。定。試求

19、試求 的全解。的全解。 22dd56ddy ty ty te ttt 給定微分方程式給定微分方程式2560 （1）系統特征方程為）系統特征方程為例例( )2( ), (0 )2,(0 )1te tetyy 由此求的系統特征根為由此求的系統特征根為1 1=-2=-2、2 2=-3=-3。其齊次解。其齊次解形式為形式為2312( )tthytC eC e ( )0tpytet （2 2）已知激勵信號為）已知激勵信號為e(t)=2ee(t)=2e-t-t(t),(t),可設特解可設特解將特解與激勵將特解與激勵e(t)=2e-te(t)=2e-t(t)(t)帶入原微分方程，可帶入原微分方程，可得得 P

20、=1P=1( )0tpytPet 所以所以（3 3）微分方程全解為）微分方程全解為2312( )( )( )0ttthpy ty tytC eC eet 01212012(0 )( )|1232(0 )( )|2311ttyy tCCCCyy tCC 全解一階導數為全解一階導數為令令y(t)y(t)、y y(t)(t)兩式中的兩式中的t=0t=0+ +，結合已知初始條件，得，結合已知初始條件，得2312( )230ttty tC eC eet 故系統微分方程全解為故系統微分方程全解為23( )320ttty teeet 齊次解齊次解（自由響應）（自由響應） 特解特解（強迫響應）（強迫響應）已知

21、激勵信號已知激勵信號e(t)=sin2t(te(t)=sin2t(t0) ) ，初始時刻，初始時刻，電容端電壓均為零，求輸出信號電容端電壓均為零，求輸出信號v v2 2(t)(t)。例例(1)(1)列微分方程列微分方程21222 222( )1( )( )( )( )( )3Rdv tv tvtv tR iv tv tdt 2222( )( )1( )3dv tdv ti tCdtdt2122112( )( )( )11( )62dv td vtdvti tCdtdtdt 22211122( )( )15( ) ( )( )66Rd v tdv tvtR i ti tdtdt2221122(

22、)( )17( )( )( )( )66Rd v tdv te tvtv tv tdtdt 22222( )( )76( )6sin2(0)d v tdv tv tttdtdt 整整理理，得得212612(2)7601,6ttA eA e 為為求求齊齊次次解解，寫寫特特征征方方程程特特征征根根為為齊齊次次解解(自(自由由響響應應)為)為121212121212(3)sin2cos2,4sin24cos214cos214sin26sin26cos26sin2321,5050321sin2cos25050BtBtB BBtBtBtBtBtBttBBtt 特特解解形形式式為為代代入入原原方方程程求求

23、系系數數解解得得于于是是，特特解解(強(強迫迫響響應應)為)為6212(4)321( )sin2cos25050ttv tAeA ett 完完全全解解為為22222222(0 )0(0 )(0 )0(0 )(0 ),0CvvvdvdvRCdtdt 由由于于已已知知電電容容初初始始電電壓壓，因因此此有有。同同時時流流過過的的初初始始電電流流也也為為零零，即即。根根據據這這兩兩個個初初始始條條件件，可可寫寫出出12121221024350,650500650AAAAAA 得得62123321( )sin2cos2 ,(0)25505050ttv teettt 完完全全解解為為2.1.2 2.1.2

24、 關于系統關于系統t=0t=0- -與與t=0t=0+ +狀態的討論狀態的討論我們來進一步討論我們來進一步討論 的條的條件。件。 ( )( )(0 )(0 )kkyy 0t 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 0 狀狀態態、系系統統的的初初始始狀狀態態。O 0 0t0 狀狀態態、系系統統全全響響應應的的初初始始條條件件。 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 當系統用微分方程表示時，系統從當系統用微分方程表示時，系統從 到到 狀態有狀態有沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含 及及其各階導數項。其各階導數項。 0

25、0 t 一般情況下換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的一般情況下換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發生突變。這就是在電路分析中的換路定則：電流不會發生突變。這就是在電路分析中的換路定則： .00 ,00 LLCCiivv對于一個具體的電網絡，系統的對于一個具體的電網絡，系統的 狀態就是系統中狀態就是系統中儲能元件的儲能情況儲能元件的儲能情況; ; 0 00 到到但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，作用于電感， 狀態就會發生跳變。狀態就會發生跳變。 說明由伏安關系由伏安關系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCi

26、CiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令為為有有限限值值如如果果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 為為如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此時此時CvvCC1)0()0( 此時此時當有沖激電流當有沖激電流或階躍電壓作或階躍電壓作用于電容時：用于電容時：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC1 1電容電壓的突變電容電壓的突變 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此時時 0d)(0

27、0， Lv如果為有限值，如果為有限值，)(tvL，為為如如果果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此時此時 沖激電壓或階沖激電壓或階躍電流作用于躍電流作用于電感時：電感時：)0()0( LLii2 2電感電流的突變電感電流的突變配平的原理：配平的原理：t =0 時刻時刻微分方程左右兩端的微分方程左右兩端的(t)及各階及各階導數應該平衡導數應該平衡( (其他項也應該平衡，我們討論初始條件，其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）可以不管其他項） d33dy ty ttt 0,0yy 已已知知求求例例： 相對單位跳變函數相對單位跳變函數到到表示表示 00:tu

28、ttytydtd 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 93 3 3沖激函數匹配法（沖激函數匹配法（沖激平衡法沖激平衡法）確定初始條件）確定初始條件( ) t 在在 中中 時刻有時刻有 y t0 t tu 9 t 3方方程程右右端端含含 d3dy ttt 中中必必含含 3y tt 中中包包含含 t 方方程程右右端端不不含含 d939dy tty ttt 必必含含以以平平衡衡中中的的 009yy 009yy 即即中的中的 ddy tt t 9 表示表示 到到 的相對跳變函數，所以，的相對跳變函數，所以， tu 0 0分析分析 d33dy ty ttt d33dy ty ttt 由由方方

29、程程可可知知 項項，方方程程右右端端含含t ddy tt它它一一定定屬屬于于 y tatb u t ttubtatuctbta 333 009yyb ddy tatbtc u tt 設設則則代入方程代入方程得出得出所以得所以得 009yy 即即 03033bcaba 993cba即即數學描述數學描述（1）將）將x(t)代入微分方程，得代入微分方程，得 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 例例方程右端的沖激函數項最高階次是方程右端的沖激函數項最高階次是 ，因而有，因而有 t 22d( )( )( )( )dd( )( )( )d( )( )y tatbtc u tty tatb u

30、tty ta u t )00( t 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 代入微分方程代入微分方程 432atbtc u tatb u ta u ttt (2)142430abacba 求得求得 2222001dd002dddd005ddyyayybttyyctt 狀狀態態為為要要求求的的 0因而有因而有 010101d0211dyyyt 例例LTIS( )4 ( )3 ( )2 ( )2 ( )( )( ),(0 )1, (0 )1,yty ty tx tx tx ttyy 某某的的微微分分方方程程為為已已知知求求全全響響應應。212312312(2)()( )4301,3( )(

31、 )( )( )2/30(3)(0 ), (0 )( )( ),0,( )4 ( )3 ( )2 ( )2( )htthphtty ty tc ec ey tyty tc ec etyyx tttyty ty ttu t 求求自自由由響響應應齊齊次次解解特特征征方方程程為為所所以以系系統統全全解解為為求求初初始始條條件件將將代代入入微微分分方方程程 在在時時刻刻 微微分分方方程程為為2.22.2零輸入響應和零狀態響應零輸入響應和零狀態響應 自由響應強迫響應自由響應強迫響應(Natural+forced)零輸入響應零狀態響應零輸入響應零狀態響應(Zero-input+Zero-state)暫態響

32、應暫態響應+穩態響應穩態響應(Transient+Steady-state) 也稱固有響應，由系統本身特性決定，與也稱固有響應，由系統本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應于齊次解。外加激勵形式無關。對應于齊次解。 形式取決于外加激勵。對應于特解。形式取決于外加激勵。對應于特解。 是指激勵信號接入一段時間內，完全響應中是指激勵信號接入一段時間內，完全響應中暫時出現的有關成分，隨著時間暫時出現的有關成分，隨著時間t 增加，它將消失。增加，它將消失。 由完全響應中減去暫態響應分量即得穩態由完全響應中減去暫態響應分量即得穩態響應分量。響應分量。 沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀沒有外加激勵信號的作

33、用，只由起始狀態（起始時刻系統儲能）所產生的響應。態（起始時刻系統儲能）所產生的響應。 不考慮原始時刻系統儲能的作用（起始狀不考慮原始時刻系統儲能的作用（起始狀態等于零），由系統的外加激勵信號產生的響應。態等于零），由系統的外加激勵信號產生的響應。 (1)(1)自由響應：自由響應：(2)(2)暫態響應：暫態響應：穩態響應：穩態響應：強迫響應：強迫響應：(3)(3)零輸入響應：零輸入響應：零狀態響應：零狀態響應：各種系統響應定義各種系統響應定義2.2.12.2.1零輸入響應零輸入響應零輸入響應是在初始狀態不為零而輸入為零時零輸入響應是在初始狀態不為零而輸入為零時的響應。的響應。由于輸入為零，系統

34、微分方程為齊次方程，零由于輸入為零，系統微分方程為齊次方程，零輸入響應解的形式與齊次解的形式相同。輸入響應解的形式與齊次解的形式相同。是待定系數。是待定系數。式中式中initizictectyi0)(1 激勵信號的影響。激勵信號的影響。有關，還會受到有關，還會受到不僅與系統的初始狀態不僅與系統的初始狀態關；而齊次解中的系數關；而齊次解中的系數與激勵信號無與激勵信號無與系統初始狀態有關，與系統初始狀態有關，零輸入響應中的系數僅零輸入響應中的系數僅數卻不同。數卻不同。然形式相同，但待定系然形式相同，但待定系零輸入響應與齊次解雖零輸入響應與齊次解雖。待定系數待定系數來確定零輸入響應中的來確定零輸入響

35、應中的，態態時，可由系統的初始狀時，可由系統的初始狀因此，在求零輸入響應因此，在求零輸入響應所以所以的狀態不會發生變化，的狀態不會發生變化，到到外界激勵，系統從外界激勵，系統從在零輸入狀況下，沒有在零輸入狀況下，沒有ijjzizicyyyjyyyytt)0( ),0( ),0(), 2 , 1()0()0()0()0(00)()( 某某LTILTI系統微分方程為系統微分方程為 y y(t)+5y(t)+5y(t)+4y(t)=e(t)(t)+4y(t)=e(t)已知已知y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2。試求該系統零輸入響應。試求該系統零輸入響應y yzizi(

36、t)(t)。例例 由微分方程可得特征方程為由微分方程可得特征方程為 2 2+5+5+4=0+4=0求得特征根為求得特征根為1 1=-1=-1，2 2=-4=-4。此系統零輸入響應可寫為此系統零輸入響應可寫為y yzizi(t)=C(t)=C1 1e e-t-t+C+C2 2e e-4t-4t t t0 0結合系統的初始狀態結合系統的初始狀態y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2，可得，可得121122(0)(0 )23 (0)(0 )411ziziyyCCCyyCCC 故此系統的零輸入響應為故此系統的零輸入響應為4( )30ttziyteet此例中，若激勵信號為此例

37、中，若激勵信號為 ，求齊次解。，求齊次解。有有 ( )( )e tt 22d( )( )( )dd( )( )d( )0y tatb u tty ta u tty t )00( t 22dd54ddy ty ty ttt t 代入微分方程代入微分方程 5atb u ta u tt 150aba 求得求得 2222000dd001dddd005ddyyyyattyybtt 狀狀態態為為要要求求的的 0因而有因而有 002d0112dyyyt 結合系統的初始條件結合系統的初始條件y y(0(0+ +)=2,y(0)=2,y(0+ +)=2)=2，可得，可得121122(0 )210/ 3(0 )4

38、24/ 3yCCCyCCC 故此系統的齊次解為故此系統的齊次解為4104( )033tthyteet 2.2.22.2.2零狀態響應零狀態響應零狀態響應是在系統初始狀態為零，即零狀態響應是在系統初始狀態為零，即y(0y(0- -)= )= y y(0(0- -)= y)= y(0(0- -)=)= y= y(n-1)(n-1)(0(0- -)=0)=0，但激勵不，但激勵不為零時的響應。為零時的響應。此時系統的微分方程是非齊次方程，解的本此時系統的微分方程是非齊次方程，解的本身包含齊次解和特解兩部分。身包含齊次解和特解兩部分。實際上，求解零狀態響應就是求解系統初始實際上，求解零狀態響應就是求解系

39、統初始狀態為零的條件下的系統全響應。狀態為零的條件下的系統全響應。例例( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )( )( ), (0 )1,(0 )3( ),( )( )zizsyty ty txtx tx ttyyytyty t 某某線線形形時時不不變變系系統統的的微微分分方方程程為為已已知知。試試求求零零輸輸入入響響應應零零狀狀態態響響應應和和全全響響應應12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零輸輸入入響響應應在在零零輸輸入入情情況況下下, ,此此時時微微分分方方程程為為齊齊次次方方程程

40、其其特特征征根根為為即即12112220(0 )(0 )1,(0 )(0 )3,(0 )15(0 )234( )540ttzityyyyycccycccyteet 由由于于激激勵勵為為零零，在在時時刻刻，初初始始條條件件不不可可能能發發生生跳跳變變所所以以即即故故零零輸輸入入響響應應為為212212(2)( )(0 ) (0 )0( )( )( )( ),0( )1(0),( )(0)3( )3,0zszszsttzshpppttzsytyyytytytc ec eyttx ttytP tPytc ec et 求求零零狀狀態態響響應應由由于于零零狀狀態態響響應應是是在在系系統統初初始始狀狀態態

41、為為零零，而而僅僅考考慮慮由由激激勵勵引引起起的的響響應應，即即。零零狀狀態態響響應應包包含含齊齊次次解解和和特特解解，即即由由于于激激勵勵信信號號設設代代入入原原微微分分方方程程，可可得得故故(0 ), (0 )0( )3 ( )2 ( )2 ( )6( )( )( )( )( )2( )( )( ),6( )( )20(0 )(0 )22, (0 ) (0 )66zszszszszszszyytyty ty ttu tytatbtc u tay tatb u tby ta u tcyyyyy 求求初初始始條條件件系系統統在在時時刻刻的的微微分分方方程程為為取取代代入入微微分分方方程程得得因

42、因此此故故1211222(0 )328 (0 )267( )873,0szsttzscccycccyteet 因因此此例例12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零輸輸入入響響應應在在零零輸輸入入情情況況下下, ,此此時時微微分分方方程程為為齊齊次次方方程程其其特特征征根根為為即即處處的的條條變變量量。，故故需需要要求求、始始狀狀態態系系統統初初零零輸輸入入響響應應，必必須須知知道道兩兩方方面面的的影影響響，而而要要求求激激勵勵中中包包含含系系統統初初始始狀狀態態和和、已已知知條條件件中中的的0)

43、0( )0()0( )0( tyyyy)()783()()2(2teetyttzs ，即，即所以零狀態響應也相同所以零狀態響應也相同全相同，全相同，程與激勵信號與上例完程與激勵信號與上例完由于此例題中的微分方由于此例題中的微分方零狀態響應零狀態響應 系統系統零輸入響應零輸入響應，實際上是求系統方程的齊次解，實際上是求系統方程的齊次解，由非零的系統狀態值由非零的系統狀態值 決定的初始值求出決定的初始值求出待定系數。待定系數。 0 0yy和和 系統系統零狀態響應零狀態響應，是在激勵作用下求系統方程的，是在激勵作用下求系統方程的非齊次解，由非齊次解，由 為零決定的初始值為零決定的初始值求出待定系數。

44、求出待定系數。 0 0yy 和和 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出出卷積積分法卷積積分法。 t 線性時不變系統線性時不變系統 th x t th y t系統的零狀態響應系統的零狀態響應=激勵與系統沖激響應的卷積，即激勵與系統沖激響應的卷積，即 y tx th t 求解過程分析求解過程分析2.3.1 2.3.1 沖激響應沖激響應當系統的激勵信號為單位沖激信號當系統的激勵信號為單位沖激信號(t)時，系統的時，系統的零狀態響應稱作單位沖激響應，簡稱為沖激響應，零狀態響應稱作單位沖激響應，簡稱為沖激響應，常用常用“h(t)”表示。表示。沖激響應沖激

45、響應h(t)反映了系統的特性，同時也是利用卷反映了系統的特性，同時也是利用卷積積分進行系統時域分析的基礎。積積分進行系統時域分析的基礎。 2.32.3沖激響應與階躍響應沖激響應與階躍響應（1 1）抽樣性）抽樣性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微積分性質）微積分性質d ( )( )dttt ( )d( )tt （5 5）沖激偶）沖激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf （6 6）卷積性質）卷

46、積性質 tfttf 沖激函數的性質總結沖激函數的性質總結 1()atta a 系統的沖激響應系統的沖激響應線性時不變系統的單位沖激響應，是指線性時不變系統的單位沖激響應，是指系統初始狀態為零，激勵為單位沖激信系統初始狀態為零，激勵為單位沖激信號號 作用下的響應，簡稱沖激響應，作用下的響應，簡稱沖激響應，且用且用 表示。表示。)(t )(thH t th( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0h tnnnmmmmnytayta y ta y tb xtbxtb x tb x tx tttt 對對于于一一個個 階階線線形形時時不不變變系

47、系統統，其其數數學學模模型型為為將將代代入入微微分分方方程程，則則方方程程右右側側是是及及其其導導數數的的線線形形組組合合。在在時時方方程程右右側側恒恒等等于于零零，因因此此，沖沖激激響響應應 ( )( )的的表表達達式式與與齊齊次次解解的的形形式式相相同同。101( )0( )() ( )( )( )() ( )( )(),iintiintiijinmh tC etnmh tCtC etnmtjmnC C 若若系系統統微微分分方方程程的的特特征征根根為為單單根根，則則當當時時有有當當時時, ,有有當當時時, ,除除了了有有指指數數項項和和沖沖激激函函數數外外，還還有有沖沖激激函函數數的的導導

48、數數項項項項。為為待待定定系系數數，他他的的求求法法有有兩兩種種，第第一一種種為為比比較較系系數數法法（或或稱稱待待定定系系數數法法）。( )5 ( )6 ( )3 ( )2 ( )( )yty ty tx tx th t 系系統統微微分分方方程程為為試試求求其其沖沖激激響響應應例例。121212112223( )( )() ( )(32) ( )3 ( )2 ( )343227( )( 47) ( )ttx ttcctcctttcccccch teet 將將上上三三式式和和代代入入原原微微分分方方程程，整整理理得得所所以以，解解得得因因此此(1)( )( )( )( ),( )0(0 )(0

49、 )(0 )(0 )inh th tx ttCh tthhhh 上上面面介介紹紹的的求求解解沖沖激激響響應應的的方方法法為為待待定定系系數數法法。我我們們還還可可以以使使用用上上節節介介紹紹的的求求解解零零狀狀態態響響應應的的方方法法，這這是是因因為為沖沖激激響響應應是是系系統統在在激激勵勵時時的的零零狀狀態態響響應應。為為確確定定沖沖激激響響應應中中的的待待定定系系數數需需要要知知道道在在時時刻刻的的起起始始值值、。(1)(1)(0 )(0 )(0 )0( ), ( )00(0 )(0 )(0 )(0 )nnhhhth thhhh 因因為為沖沖激激響響應應是是零零狀狀態態響響應應，故故有有。

50、由由于于沖沖激激信信號號的的加加入入及及其其各各階階導導數數有有可可能能在在發發生生跳跳變變，則則起起始始值值、 、就就等等于于其其跳跳變變值值。121122( )( )( )( )3( )( )( ),13( )( )47(0 )(0 )33, (0 )(0 )1313(0 )3, (0 )13,(0 )34(0 )23137( )htatbtc u tah tatb u tbh ta u tchhhhhhhCCChCCCh t 取取可可得得所所以以根根據據初初始始條條件件可可得得因因此此32(74) ( )tteet 2.3.2 階躍響應階躍響應當激勵信號當激勵信號e(t)e(t)為單位階

51、躍信號為單位階躍信號(t)(t)，系統，系統的零狀態響應稱作單位階躍響應，簡稱階躍響的零狀態響應稱作單位階躍響應，簡稱階躍響應，常用應，常用“g(t)g(t)”表示表示。 -( ):(1)( )( ),( )(2)( )( ),( )( ),( )( )-ttg tx ttg ttdg thdg th tt 在在時時域域中中常常用用的的求求解解階階躍躍響響應應的的方方法法主主要要有有兩兩種種在在時時 求求系系統統的的零零狀狀態態響響應應，得得到到。因因為為根根據據線線形形系系統統的的積積分分性性質質，有有即即階階躍躍響響應應是是沖沖激激響響應應從從的的積積分分。例例。的的階階躍躍響響應應求求系

52、系統統微微分分方方程程為為)()(2)( 3)(6)( 5)( tgtxtxtytyty 031)(3126)()(01)(32)()(1322121 teCeCtgPPPtyPtyttxttxttpp所所以以代代入入原原方方程程中中，得得將將。），所所以以設設特特解解（因因為為激激勵勵。、根根為為根根據據微微分分方方程程求求得得特特征征時時的的零零狀狀態態響響應應。：求求激激勵勵方方法法 )()31372()(031372)(372332)0( 031)0()(3)0( 0)0(3)0( )0( 0)0()0(1330)()()( )()()( )(2)(3)(6)( 5)( 0323221

53、2121teetgteetgCCCCgCCgtgyyayyyybatytuatytubtatytuttytytyttttt 或寫為或寫為故故的表達式中，得的表達式中，得代入階躍響應代入階躍響應，將將，得得設設為為時刻，系統的微分方程時刻，系統的微分方程考慮考慮0)23731(| )237()47()()47()()()()()47()(2230230232323 teeeedeedeetgdhtgteethtttttttt 所以所以因為因為統的沖激響應為統的沖激響應為由前面的例子已得到系由前面的例子已得到系響應之間的關系求解。響應之間的關系求解。：利用階躍響應與沖激：利用階躍響應與沖激方法方法

54、)()()()()()(00)(00)(0ttgtgtththttgttht 為為中中的的充充分分必必要要條條件件改改寫寫也也可可把把因因果果系系統統在在時時域域或或響響應應）等等于于零零，即即時時，沖沖激激響響應應（或或階階躍躍當當表表示示為為，系系統統的的充充分分必必要要條條件件可可例例如如，一一個個系系統統是是因因果果征征系系統統的的某某些些特特性性。應應來來表表利利用用沖沖激激響響應應或或階階躍躍響響在在系系統統理理論論研研究究中中，常常2.42.4卷積積分卷積積分2.4.12.4.1卷積的定義卷積的定義號號。的的時時間間信信分分結結果果仍仍為為關關于于為為虛虛設設的的積積分分變變量量

55、，積積式式中中，即即的的卷卷積積可可簡簡記記為為與與”表表示示卷卷積積運運算算。的的卷卷積積，常常用用符符號號“與與定定義義為為時時間間信信號號，我我們們將將積積分分上上的的兩兩個個連連續續是是定定義義在在時時間間區區間間與與設設tdtfftftftftftftftftfdtfftftf )()()(*)()(*)()()(*)()()()(),()()(212121212121210)()()(*)()()()()()(*)(0)(0)()()()(*)(0)(0)(02121212121120212111 tdtfftftftftfdtfftftfttftttfdtfftftfftftt

56、均均為為因因果果信信號號，則則有有和和如如果果即即，限限可可以以改改寫寫為為，故故卷卷積積積積分分的的積積分分上上時時，即即為為因因果果信信號號，由由于于如如果果可可以以改改寫寫為為零零，即即故故卷卷積積積積分分的的積積分分下下限限，時時，為為因因果果信信號號，由由于于如如果果)(*)()(2)()()(21221tftftetftetftt，求，求，已知信號已知信號 例例 dtfftftft 02121)()()(*)(21212( )( )( )( )( )*( )tf tetfttf tft 已已知知，求求例例12120202( )*( )( )()11(1) ( )2tttf tftf

57、ftdedet 2.4.2卷積運算的圖形解釋卷積運算的圖形解釋 用圖解法直觀，尤其是對于分段函數，用圖形分段求用圖解法直觀，尤其是對于分段函數，用圖形分段求出定出定積分限積分限尤為方便準確。尤為方便準確。 d21 tfftf ),()(. 111積積分分變變量量改改為為ftf22222.( )( )()()ftffft 倒倒置置平平移移)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘積的積分：乘積的積分：5(- ,),2 3 4t 、令令變變量量 在在范范圍圍內內變變化化 重重復復 、步步操操作作，最最終終得得到到卷卷積積結結果果()tt | |00ttt 對對 平平移

58、移，右右移移，左左移移表表達達式式，畫畫出出波波形形寫寫出出總總的的卷卷積積結結果果函函數數. 6)(*)()()()(),3()()(2121tftftytetftttft ，求求 Ot tf21O 2f1 t tt例例 1fO13Ot tf113O tf21t兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftfty0 tt 0t tf2 向向右右移移 tf2 時兩波形有公共部分，積分開始不為時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限積分下限0 0，上限，上限t ，t 為移動時間為移動時間;0 t d)()()(201

59、tfftyt d10)( tte d0 tteete 103t tf2 3)1(30100)(3teetettytt卷積結果卷積結果Ot tf21Ot tf113Ot tf2323O 2f3 23O tf2233 tt t tt例例O 1f111 Ot tf1111 O 3/21 11浮動坐標：浮動坐標：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移動的距離：移動的距離t =0 f2(t- ) 未移動未移動t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 從從左左向向右右移移動動對對應應到到從從 tft2, 1f-113 tt tf2浮動坐標浮動坐標O 1f111

60、 3 tt tf2兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftftg1 tt -1O 1f111 3 tt tf2 向向右右移移 tf2 時兩波形有公共部分，積分開始不為時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限積分下限- -1，上限，上限t ，t 為移動時間為移動時間;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt-1 t 1O 1f111 3 tt tf2311tt 即即1t 2 tttg d21)(111 t 2O 1f111 3 tt tf2即即2 t 43131tt