1、返回總目錄制作與設計 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration機械與結構振動機械與結構振動 第第3 3章章 振動系統的運動微分方程振動系統的運動微分方程目錄Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動系統的運動微分方程振動系統的運動微分方程 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn1111221111122121122222112222112

2、21122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情況下，n個自由度無阻尼系統的自由振動的運動微分方程具有以下形式若用矩陣表示，則可寫成式中分別是系統的坐標矢量坐標矢量和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各項均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。Mechanical and Structural Vibration M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212質量矩陣質量矩陣剛度矩陣剛度矩陣Mechanical and Structural Vibration 剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數剛度矩陣中的元素

3、稱剛度影響系數(在單自由度系統中，簡稱在單自由度系統中，簡稱彈性常數彈性常數)。它表示系統單位變形所需的作用力。它表示系統單位變形所需的作用力。具體地說，具體地說，如果使第如果使第j個質量沿其坐標方向產生單位位移，沿其它質量的個質量沿其坐標方向產生單位位移，沿其它質量的坐標方向施加作用力而使它們保持不動，則沿第坐標方向施加作用力而使它們保持不動，則沿第i個質量坐標個質量坐標方向施加的力，定義為方向施加的力，定義為剛度影響系數剛度影響系數kij；在第；在第j個質量坐標方個質量坐標方向上施加的力稱剛度影響系數向上施加的力稱剛度影響系數kjj 。由剛度影響系數的物理意。由剛度影響系數的物理意義，可直

4、接寫出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法義，可直接寫出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法稱為稱為影響系數法影響系數法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212剛度矩陣Mechanical and Structural Vibration 現分析求出圖所示的三自由度系統的剛度矩陣。現分析求出圖所示的三自由度系統的剛度矩陣。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，畫出各物塊的受力圖根據平衡條件，有畫出各物塊的受力圖根據平衡條件，有首先令首先令在此條件下系統保持平衡，按定義需加于三物塊的力在此條件下系統保持平衡，按定義需加于三物塊的力Mec

5、hanical and Structural Vibration 畫出受力圖，則有畫出受力圖，則有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令同理，令畫出受力圖，有畫出受力圖，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令最后令Mechanical and Structural Vibration 因此剛度矩陣為因此剛度矩陣為K kkkkkkkkk12221333300剛度矩陣一般是對稱的。剛度矩陣一般是對稱的。實際上實際上任何多自由度線性系統都具有這個性質任何多自由度線性系統都具有這個性質。即。即kkijjiTKK Mechanical and Struct

6、ural Vibration Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動系統的運動微分方程振動系統的運動微分方程 在單自由度的彈簧在單自由度的彈簧質量系統中，若彈簧常數是質量系統中，若彈簧常數是k，則，則 就是物就是物塊上作用單位力時彈簧的變形，稱塊上作用單位力時彈簧的變形，稱柔度影響系數柔度影響系數，用，用 表示。表示。1k具體地說，僅在第具體地說，僅在第j個質量的坐標方向上受到單位力作用時相個質量的坐標方向上受到單位力作用時相應于在第應于在第i個質量的坐標方向上產生的位移，即定義為個質量的坐標方向上產生的位移，即定義為 。 ijn自由度系統

7、的柔度矩陣自由度系統的柔度矩陣 為為n階方陣，其元素階方陣，其元素 稱為稱為柔度影柔度影響系數響系數，表示單位力產生的位移。，表示單位力產生的位移。ijMechanical and Structural Vibration 現分析求出圖所示的三自由度系統的柔度影響系數。現分析求出圖所示的三自由度系統的柔度影響系數。 當受到當受到F1作用后，第一個彈簧的變形為作用后，第一個彈簧的變形為 ，第二和第三個，第二和第三個彈簧的變形為零。彈簧的變形為零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加單位力首先施加單位力112131、這時三物塊所產生的靜位移分別是這時三物塊所產生的靜位移

8、分別是所以三物塊的位移都是所以三物塊的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration 第三個彈簧不受力，故其變形為零。因此有第三個彈簧不受力，故其變形為零。因此有1112kk,2132212211211,11,1kkkkk01312FFF，令令F2第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為Mechanical and Structural Vibration F3再令再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到可得到 1112132122233132331111121211212311

9、111111111111kkkkkkkkkkkkkk系統的柔度矩陣為系統的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration 柔度矩陣一般也是對稱的。柔度矩陣一般也是對稱的。實際上任何多自由度線性系統都具有這個性質。即實際上任何多自由度線性系統都具有這個性質。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系統的柔度矩陣為系統的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration 用柔度影響系數來建立其運動微分方程用柔度影響系數來建立其運動微分方程系

10、統運動時，質量的慣性力使彈簧產生變形系統運動時，質量的慣性力使彈簧產生變形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()()(FFFxFFFxFFFx應用疊加原理可得到應用疊加原理可得到Mechanical and Structural Vibration 寫成矩陣形式寫成矩陣形式xxxmmmxxx1231112132122233132331231230000

11、00 xMx Mxx0位移方程位移方程KxMx xKMx1()是非奇異的，即 的逆矩陣存在K1K與作用力方程比較與作用力方程比較 K1Mechanical and Structural Vibration即當剛度矩陣即當剛度矩陣是非奇異時是非奇異時，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；當剛度矩陣是奇異時，不存在逆矩陣即無柔度矩陣。當剛度矩陣是奇異時，不存在逆矩陣即無柔度矩陣。 此時系統的平衡位置有無限多或者說它有剛體運動。此時系統的平衡位置有無限多或者說它有剛體運動。 如圖示系統具有剛體運動，柔度矩陣不存在。如圖示系統具有剛體運動，柔度矩陣不存在。 K1柔度矩陣與剛度

12、矩陣之間的關系柔度矩陣與剛度矩陣之間的關系Mechanical and Structural Vibration 例例 試寫出圖所示剛體試寫出圖所示剛體AB的的剛度矩陣并建立系統的運動剛度矩陣并建立系統的運動微分方程。微分方程。解：剛體解：剛體AB在圖面內的位置可以由其質心在圖面內的位置可以由其質心C的坐標的坐標yC(以水以水平位置平位置O為坐標原點，且水平運動不計為坐標原點，且水平運動不計)和繞和繞C轉角轉角 確定。確定。Mechanical and Structural Vibration 圖為圖為 時的受力圖，時的受力圖， 分別表示保持系統在分別表示保持系統在該位置平衡，應加在該位置平衡

13、，應加在C點的力和力偶矩點的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由剛體由剛體AB的平衡條件得到的平衡條件得到Mechanical and Structural Vibration 圖為圖為 時的受力圖，時的受力圖， 分別表示保持系統在該位分別表示保持系統在該位置平衡，應加在鉛直平面內的力偶矩和加在置平衡，應加在鉛直平面內的力偶矩和加在C點的力。點的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡條件得由平衡條件得2222111122112221)()(lklklklklklkkkK剛度矩陣剛度矩陣M

14、echanical and Structural Vibration 例例 試求圖示懸臂梁的柔度影響系數，試求圖示懸臂梁的柔度影響系數，并建立其位移方程。并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度為梁的彎曲剛度為EI，其質量不計，其質量不計)解：取y1 、 y2為廣義坐標，根據柔度影響系數的定義， 表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產生的位移。有222233lEI按材料力學的撓度公式，則有按材料力學的撓度公式，則有Mechanical and Structural Vibration 表示在表示在m2處施加單位力在處