1、第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學1第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學21865年麥克斯韋年麥克斯韋提出電磁場理論提出電磁場理論1820年年奧斯特發現電流奧斯特發現電流對磁針的作用對磁針的作用1785年年1831年年法拉第發現電法拉第發現電磁感應現象磁感應現象庫侖定律的庫侖定律的 建立建立電場電場磁場磁場第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學3 兩個物理量兩個物理量 電場強度、電勢電場強度、電勢 一個實驗規律一個實驗規律 庫侖定律庫侖定律 兩個定理兩個定理 高斯定理、環路定理高斯定理、環路定理 相對于觀察者靜止的電荷產生

2、的電場稱為相對于觀察者靜止的電荷產生的電場稱為靜電場靜電場。 本章主要學習真空中靜電場的基本性質和基本規本章主要學習真空中靜電場的基本性質和基本規律。這些基本性質和基本規律將從以下幾個方面來進律。這些基本性質和基本規律將從以下幾個方面來進 行研究：行研究：第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場 在電荷周圍的空間中，存在著一種特殊的物質，在電荷周圍的空間中，存在著一種特殊的物質， 這種特殊的物質就是這種特殊的物質就是電場電場。第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學4本次課內容：本次課內容：本次課重點掌握的內容：本次課重點掌握的內容：1. 電場的意義及性質電場的意義及性質2

3、. 電場強度求解方法一電場強度求解方法一疊加法疊加法5.1 電荷電荷 庫侖定律庫侖定律 5.2 電場電場 電場強度電場強度第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學5 近代實驗表明近代實驗表明, 電荷量只能取分離的、不連續量值的電荷量只能取分離的、不連續量值的性質，稱為電荷的量子化。即性質，稱為電荷的量子化。即（1） 種類種類: 正電荷、負電荷正電荷、負電荷（4） 電荷的量子化電荷的量子化:（2） 性質性質:電荷量電荷量(用用 Q 或或 q 表示表示)，庫侖庫侖（C）同種相斥，異種相吸同種相斥，異種相吸（3）量度量度:C10602. 119 eneq 元電荷元電荷 由于宏觀電

4、現象過程所涉及的電荷量總是包含大量的由于宏觀電現象過程所涉及的電荷量總是包含大量的基本單元基本單元 ，量子化表現不出來，可認為電荷連續分布。，量子化表現不出來，可認為電荷連續分布。5.1.1 電荷電荷5.1 電荷電荷 庫侖定律庫侖定律1. 電荷電荷 電荷的量子化電荷的量子化第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學62. 電荷守恒定律電荷守恒定律 在一個孤立系統中，無論發生怎樣的物理過程，在一個孤立系統中，無論發生怎樣的物理過程， 電荷既不會創生，也不會消失，電荷只能從一個物體電荷既不會創生，也不會消失，電荷只能從一個物體 轉移到另一個物體上，或從物體的一部分轉移到另一轉移到

5、另一個物體上，或從物體的一部分轉移到另一 部分，系統內電荷的代數和總是保持不變。部分，系統內電荷的代數和總是保持不變。 電荷守恒定律自然界的基本守恒定律之一。電荷守恒定律自然界的基本守恒定律之一。 電荷守恒定律電荷守恒定律 摩擦起電、靜電感應現象等都是電荷守恒的實例。摩擦起電、靜電感應現象等都是電荷守恒的實例。3. 電荷的相對論不變性電荷的相對論不變性 實驗證明，帶電粒子的電荷量與運動狀態無關，實驗證明，帶電粒子的電荷量與運動狀態無關，即在不同的參考系中觀察，同一帶電粒子的電荷量不即在不同的參考系中觀察，同一帶電粒子的電荷量不 變。電荷的這一性質稱為電荷的相對論不變性。變。電荷的這一性質稱為電

6、荷的相對論不變性。 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學7 庫侖庫侖是是法國法國 物理學家，物理學家，1785 年通過扭秤實驗年通過扭秤實驗 創立了庫侖定律，創立了庫侖定律， 使電磁學的研究使電磁學的研究 從定性進入定量從定性進入定量 階段。階段。庫侖庫侖 （C.A.Coulomb 1736 1806）5.1.2 庫侖定律庫侖定律M庫侖定律給出了真空中兩個點電荷間的相互作用規律。庫侖定律給出了真空中兩個點電荷間的相互作用規律。第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學8 當帶電體的形狀和大小當帶電體的形狀和大小 與它們之間的距離相比可忽與它們之間的距離

7、相比可忽 略時，可以把帶電體抽象為略時，可以把帶電體抽象為 電荷集中于一點的電荷集中于一點的點電荷點電荷。 1. 點電荷點電荷（理想模型）（理想模型）注意：注意：點電荷的概念具有相對意義，抽象為點電荷點電荷的概念具有相對意義，抽象為點電荷 的帶電體本身不一定很小。的帶電體本身不一定很小。 在研究帶電體間的相互作用時，一般說來作用力的在研究帶電體間的相互作用時，一般說來作用力的大小與帶電體的大小、形狀、電荷分布、相對位置及周大小與帶電體的大小、形狀、電荷分布、相對位置及周 圍的介質都有關。為了簡化問題，在靜電學中引入了點圍的介質都有關。為了簡化問題，在靜電學中引入了點 電荷的概念。電荷的概念。

8、rdQqd 0E -q 0rP re q01. 點電荷電場中的電場點電荷電場中的電場強度強度第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學171qiqnq2q1r 2r 12inFFFFF 1200000inFFFFFqqqqq 12 inEEEEE iE 設電場由設電場由 n 個點電荷個點電荷 q1、q2、qi、qn 共同激發，共同激發， P 點處場強點處場強 = ？ 將將 q0 引入引入 P 點，點，q0 在在 P 點處所點處所受合力受合力電場強度疊加原理電場強度疊加原理nr ir P0q1F 2F iF nF 2. 電場強度疊加原理電場強度疊加原理 點電荷系的電場強度點電荷

9、系的電場強度 點電荷系在空間任一點激發的總電場強度，等于各個點電荷系在空間任一點激發的總電場強度，等于各個點電荷單獨存在時在該點激發的電場強度的矢量和。點電荷單獨存在時在該點激發的電場強度的矢量和。第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學181r 2r ir nr 1re 2re rie rne 2q1qiqnqP0q1E 2E iE nE iEE 204iiriiqEe r 點電荷系的電場強度點電荷系的電場強度11120 14rqEe r 22220 24rqEe r 點電荷系的電場強度點電荷系的電場強度 各點電荷在各點電荷在 P 點激發的電場點激發的電場強度分別為強度分

10、別為204iriiqer 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學19電偶極矩（電矩）：電偶極矩（電矩）：pql 電偶極子的軸：電偶極子的軸：l 從從- -q 指向指向 q 的矢量的矢量 兩相距為兩相距為 l 的等量異號點電荷的等量異號點電荷 - -q 和和 +q組成一點電荷系組成一點電荷系統，當它們之間的距離比從它們連線中點到所討論場點的距統，當它們之間的距離比從它們連線中點到所討論場點的距離離 r 小得多時，該帶電系統稱為小得多時，該帶電系統稱為電偶極子電偶極子。求兩個點電荷連。求兩個點電荷連線的中垂線上任一點的電場強度。線的中垂線上任一點的電場強度。例例5.2 r r

11、q q + +- -l re E Ere rlrOxy P解解: 取電荷連線的中心取電荷連線的中心 O為坐標原點。為坐標原點。204rqEe r 204rqEe r 正、負電荷在距電偶極子軸線距離為正、負電荷在距電偶極子軸線距離為r處的處的 P點激發的電場強度的大小分別為點激發的電場強度的大小分別為（課本（課本P.137例例5.2）第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學20 r rq q + +- -l re E Ere rlrOxy PE ( (PEEE 2cos Ei 202cos4qi r P 點點總電場強度總電場強度20224qlir r 304qli r 304

12、p r , rl 因因 所所以以 22/2cos( /2)lrl 22( 2)rrrlr 2lr 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學2120dd4rqEe r 3. 連續分布電荷的電場強度連續分布電荷的電場強度20d d 4rqEEe r 帶電體可看成是許多無限小的電荷元的集合，每個電帶電體可看成是許多無限小的電荷元的集合，每個電荷元都可看作點電荷。荷元都可看作點電荷。整個帶電體在整個帶電體在 P 點處激發的總場強點處激發的總場強dE Pr re+Q+dq線分布線分布面分布面分布體分布體分布lqdd Sqdd Vqdd 在帶電體上任取一電荷元在帶電體上任取一電荷元 d

13、q， dq 在在P 點激發的場強為點激發的場強為第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學22注意注意 首先選定電荷元首先選定電荷元 dq ； xxEEd yyEEd zzEEdxyzEE iE jE k 疊加求總場強疊加求總場強 分別積分求出分別積分求出總場強的各分量總場強的各分量d d dxyzEEE、20dd4qEr 確定確定 的分量式，即的分量式，即dE 確定確定 dq 產生的場強產生的場強 的大小和方向；的大小和方向；dE 方向視具體情況而定。方向視具體情況而定。20d d 4rqEEe r 上式是上式是矢量積分矢量積分，應用此式求解電場強度的步驟如下：應用此式求解

14、電場強度的步驟如下：選定選定dqdE 確定確定確定確定 分量分量Ed求出總場強分量求出總場強分量第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學23 在細棒上距在細棒上距O點為點為x 處處取一長為取一長為 dx 的電荷元的電荷元dq，有，有選定選定dq：xyO 2 1P 一長為一長為 L 的均勻帶電細棒（當研究的場點離棒的距離遠的均勻帶電細棒（當研究的場點離棒的距離遠 大于棒的直徑時，該帶電細棒可看作是一條帶電直線），棒大于棒的直徑時，該帶電細棒可看作是一條帶電直線），棒上電荷線密度為上電荷線密度為 。棒外一點。棒外一點 P 到棒的距離為到棒的距離為a，且，且 P 點和點和 細棒兩

15、端的連線分別與棒成夾角細棒兩端的連線分別與棒成夾角 1 和和 2，求，求P 點的電場強度。點的電場強度。 解解 取取 P 點到細棒的垂足點到細棒的垂足O 為坐標原點，為坐標原點，Ox 軸沿著細棒，軸沿著細棒，Oy 軸過軸過 P 點。點。 dq 在在 P 點激發的電點激發的電場強度大小為場強度大小為20dd4qEr 20d4xr dE xdx方向如圖方向如圖r aL 例例5.3（課本（課本P.138例例5.3）dq = dx:dE確定確定dq第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學24xyOa 2 1P dE dyE dxE xdxdd cosxEE 20dcos4xr dd

16、 sinyEE 20dsin4xr 式中式中 x、r、 都是變量，求解需統一變量。由圖可知都是變量，求解需統一變量。由圖可知 cot()xa cota 2dcscdxa 222rax 22(1 cot)a 22csca 將以上兩式代入將以上兩式代入、式式得得0dcos d4xEa 0dsin d4yEa 將以上兩式分別積分得將以上兩式分別積分得確定確定 分量：分量：Ed求出總場強分量：求出總場強分量： - - r 2(cot )csc 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學25 整個帶電細棒在空間激發的電場強度為整個帶電細棒在空間激發的電場強度為210cos d4xEa

17、20(sinsin)4 a 210sin d4yEa 120(coscos)4 a 總電場強度的大小和方向總電場強度的大小和方向22xyEEE arctanyxEE 0 2yEEa 討論：討論：無限長無限長均勻帶電細棒均勻帶電細棒0 xE xy 2 1a（a 0）的細）的細 圓環，試求垂直于環面軸線上任一點圓環，試求垂直于環面軸線上任一點 P 的電場強度。的電場強度。 （課本（課本P.140例例5.4）xqd 解解: 取環心為坐標原點取環心為坐標原點O，垂直于環面過圓心的軸，垂直于環面過圓心的軸線為線為 Ox 軸，設軸，設 P 點到環心點到環心 O 的距離為的距離為 x 。204ddrqE d

18、E dq 在在 P 點產點產 生的電場強度的大小生的電場強度的大小 。式式中中Rq2 204drl 方向如圖。方向如圖。dE :dE確定確定選定選定dq：在圓環上任取長為在圓環上任取長為 dl 電荷元電荷元RqO xPrld例例5.4dqld 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學27PxrRqO xdcoslEE 23220)(4Rxqx rxrl 204d Rlrx2030d4 整個帶電圓環在整個帶電圓環在 P 點點 激發的電場強度激發的電場強度dd cosEE dd sinEE 由對稱性可知由對稱性可知d0EE RRqrx22430 dE 確定確定 分量分量Ed求出

19、總場強分量求出總場強分量dE dE dE ldE 223 204 ()qxExR 的方向沿的方向沿 x 軸正方向。軸正方向。E 22 3 204 ()qxEixR dq第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學28 22RR22 EoxE(2) x = 0 時，時，E = 0 可得可得電場強度最大值位置電場強度最大值位置，令令0dd xE (3)Rx22 (1) 若若 x R，則則204qEi x 環心處的電場強度為零。環心處的電場強度為零。22 3 20 4 ()qxEi xR 討論討論POx xRq第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學29 練習練習

20、（作業靜電場第（作業靜電場第7題）題） 求均勻帶電半圓環圓心處的場強，已知求均勻帶電半圓環圓心處的場強，已知R、Q。oRxy 解：解：在半圓環上任取線元在半圓環上任取線元dl，其上所帶電量，其上所帶電量lqdd dRRQ dq 在圓心在圓心產生的場強產生的場強204ddRqE 方向如圖方向如圖2024dRQ EdxEdyEd dld寫出寫出dE分量式分量式 sinddEEx cosddEEy 0dyyEE根據對稱性根據對稱性第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學30 通過積分可求整個圓通過積分可求整個圓盤在盤在 P 點產生的電場強度。點產生的電場強度。 求出任一圓環求出任

21、一圓環 在在 P 點產生的電場強度點產生的電場強度 有一半徑為有一半徑為 R 的均勻的均勻 帶電荷薄圓盤，圓盤上電帶電荷薄圓盤，圓盤上電 荷面密度為荷面密度為 。試求垂直。試求垂直 盤面軸線上任意一點盤面軸線上任意一點 P 的的 電場強度。電場強度。（課本（課本.141例例5.5）PxORx分析：分析：圓盤由無限多個圓環組成圓盤由無限多個圓環組成例例5.5第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學31 在圓盤上取半徑為在圓盤上取半徑為 r、寬為、寬為dr 的圓環，的圓環，環上帶電量為環上帶電量為 解解: 選定選定dq：rrqd2d 帶電圓環帶電圓環 dq 在在 P 點產生的電

22、場強度點產生的電場強度23220)( 4ddrxqxE 23220)( 4d2rxrrx 23220)(d2rxrrx 223 20 4 ()qxEixR PxoRxrdrdE :dE確定確定方向沿方向沿 x 軸正方向。軸正方向。第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學32xRxPordrdE E 因各帶電圓環在因各帶電圓環在P點激發的電場強度的方向都相同，點激發的電場強度的方向都相同，所以帶電圓盤在所以帶電圓盤在 P 點激發的電場強度大小為點激發的電場強度大小為沿沿 x 軸正方向軸正方向220(1)2xEixR 矢量式矢量式EE d)11(22220Rxxx 223 20

23、0d2()Rxr rxr Rrxrxx02/322220)()(d212 Rrxx021220)(12314 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學33時，時， Rx 0 2E 220(1)2xEixR 帶電圓盤可視為帶電圓盤可視為“無限大無限大”帶電平面，這帶電平面，這時時 無限大均勻帶電無限大均勻帶電 平面的電場強度平面的電場強度勻強電勻強電場場 E E 0 時，平面帶正電，時，平面帶正電， 的方向由平面指向兩側；的方向由平面指向兩側；E 0 時，平面帶負電，時，平面帶負電， 的方向由兩側指向平面。的方向由兩側指向平面。E 討論討論 E E 忽略忽略作業第作業第9題題

24、第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學34 將帶電圓拄面分成許多極窄的圓環將帶電圓拄面分成許多極窄的圓環并建立坐標。并建立坐標。dq 它在它在P點產生的場強為點產生的場強為23220)(4d)(dRxLqxLE 方向沿方向沿x軸軸 圓環上帶電量圓環上帶電量223 20 4()qxEixR 作業作業9. 一均勻帶電圓筒形柱面，半徑為一均勻帶電圓筒形柱面，半徑為R，長度為，長度為L，電荷面密度為，電荷面密度為，求底面中心，求底面中心P點處的電場強度。點處的電場強度。 分析：分析：dx2 dR x 注意坐標注意坐標 第第5章章 真空中的靜電場真空中的靜電場大學大學物理學物理學35細圓環所帶電荷線密度細圓環所帶電荷線密度2()qRl 例例5.6lREqO（課本（課本.142