1、小學數學應用題的研究 九年義務教育小學數學教材中應用題的內容及編排的基本情況/一、基本內容 九年義務教育全日制小學數學教學大綱(試用)(以下簡稱義教大綱)是原國家教委于1992年頒布的。義教大綱根據九年義務教育的性質和任務、社會和科技發展的需要及學生的接受能力對應用題的內容進行了一些改進，主要有以下兩點。 1適當降低難度。義教大綱對應用題教學內容明確規定：整數、小數應用題最多不超過三步，四步應用題(只限于容易的)作為選學內容；分數、百分數應用題以一、兩步計算的為主，最多不超過三步(只限比較容易的)。 2加強聯系實際。義教大綱強調“應用題要注意聯系學生的生活實際”。一是應用題本身的內容要聯系實際

2、，二是擴大了聯系實際的范圍，如在百分數應用題中增加了利息的計算等。 義教大綱對五年制小學各年級應用題的教學內容和教學要求列表如下。 教學內容 教學要求 一 年級 比較容易的加法、減法和乘法一步計算的應用題。 會根據加、減法的含義，解答比較容易的加、減法一步計算的應用題。知道題目中的條件和問題，會列出算式，注明得數的單位名稱，口述答案。 二 年級 加、減、乘、除法一步計算的應用題。 比較容易的兩步計算的應用題。 會解答加、減、乘、除一步計算的應用題。初步學會口述應用題的條件和問題，會書寫答案。會分步列式解答比較容易的兩步計算的應用題。 三 年級 常見的數量關系。列綜合算式解答兩步和比較容易的三步

3、計算的應用題。 掌握常見的數量關系。會列綜合算式解答兩步計算的應用題和比較容易的三步計算的應用題。初步學會口述解題思路。 四 年解應用題的一般步驟。相遇問題。列綜合算式解答三步計算的應用題。 *比較容易的四步計算的應用題。 掌握解應用題的一般步驟，會列綜合算式解答三步計算的應用題。初步學會列方程解應用題。 能初步運用所學的知識解決生活中一些簡單的實際問題。 五 年級 分數四則應用題(包括工程問題)。百分數的實際應用(包括發芽率、合格率、利息的計算)。比例尺，按比例分配。 會解答分數、百分數應用題(最多不超過三步)。會用比例的知識解答基本的應用題。會看地圖上的比例尺。進一步提高用算術方法和用方程

4、解應用題的能力。會有條理地說明解題思路。 二、人教版教材中應用題的編排結構及特點 1應用題的結構 人教版教材是根據義教大綱對小學數學應用題教學內容和教學要求的規定，貫徹把數學的邏輯順序同兒童的認知發展順序相結合的編寫原則，按照應用題數量關系的繁簡，分析推理的難易以及應用題內容之間的聯系，對小學數學應用題進行編排的。并且注意加強應用題與小學數學其他各部分知識間的聯系，使它們螺旋上升，循序漸進，互相配合，互相促進。 義務教材與原通用教材比，調整了應用題的編排體系，主要表現在以下幾個方面。 （1）一步應用題采取分散與集中相結合的原則編排,并注意與計算適當配合。 與計算概念有緊密聯系的一步應用題，結合

5、四則運算的意義進行分散編排，使學生理解算理，掌握解答方法。如求和、求差、求幾個相同加數的和、除法中的兩種分法等應用題，都是這樣編排的。 比較兩數多少的應用題，有計劃地分組出現。 比較兩數多少的簡單應用題包括“兩數相差多少”、“比多”、“比少”等應用題，原來分散在一、二年級編排。這幾種應用題實際上有著相似的數量關系，因此現在集中在同一冊，適當靠近，以便使學生更好地了解它們在數量關系和解題思路上的聯系，從而較順利地掌握解答方法。 逆思考的一步應用題分散編排。 逆思考的一步應用題有一個條件是反敘的，需要學生進行逆向思考，分析數量關系難一些。因此，教材采取分散編排的方法，以便學生逐步掌握。在進行分散編

6、排時，也注意與已學的有關的應用題進行聯系和對比。 為學習兩步應用題做準備。 在安排一步應用題時，有計劃地編排了給敘述不完全的應用題提問題、填條件及連續兩問的應用題，以便加深學生對所學的應用題的結構和數量關系的理解，為學習兩步應用題打好基礎。 （2）調整兩步應用題的編排順序，加強應用題的內在聯系。 兩步應用題同簡單應用題比較，不僅是已知條件數量的增加，而且已知條件之間及已知條件與問題之間的數量關系也復雜了。解答兩步應用題的關鍵是提出中間問題，這也是解答兩步應用題的難點所在。為了使學生順利地掌握兩步應用題的解答方法，義務教材在編排上主要有以下幾個特點。 在教學之前打好學習兩步應用題的基礎。 a）使

7、學生較好地掌握常見的簡單應用題； b）進行了較多的“提問題”、“填條件”的練習； c）學會解答一些連續兩問的應用題。 加強兩步應用題和一步應用題的聯系。 開始教學兩步應用題多是從已學的一步應用題改變其中的一個條件而引入的，這樣便于學生通過分析、比較，找出需要的中間問題，從而掌握兩步應用題的分析和解答方法。 兩步應用題根據內在聯系分組編排。 義務教材把應用題按照基本的數量關系相同，解題思路相近來分組。以利于學生初步掌握兩步應用題的分析和解答方法，培養學生分析推理和舉一反三的能力，促進學生思維能力的發展。 （3）三步應用題加強與兩步應用題的聯系，重視解題能力的培養。 教材中比較容易的三步應用題，注

8、意由已學的兩步應用題引入，通過增加一個條件把兩步應用題改成三步應用題，使學生通過遷移、類推，比較順利地掌握解題方法。 義務教材與原通用教材比，應用題的步數有所減少，難度有所降低，但是在培養分析和解答應用題的能力方面有所加強。例如，在總結解答應用題的一般步驟時，注意培養學生如何摘錄應用題的條件和問題，增加檢驗方法的指導等。學生在學習解答三步應用題時，注意引導學生用不同的方法解題，以培養學生靈活地分析和解題能力。另外，應用題還注意聯系學生生活和生產實際，以培養學生解決簡單的實際問題的能力。 （4）加強列方程解應用題。 引入列方程解應用題，可以使一些整數、分數、百分數的應用題(主要是逆思考的)化難為

9、易，既可以節省教學時間，減輕學生學習負擔，又可以提高學生的解題能力。 學習了列方程解應用題后，學生可以根據應用題的具體特點選擇較簡便的解法，這樣有利于提高學生的解題能力，增強思維的靈活性。 下面分年級介紹應用題的編排。 一年級小學生以形象思維為主，而且識字不多，閱讀比較困難，所以一年級安排的一步應用題，第一冊先出現用圖畫表示的應用題、用表格表示的應用題，再出現加減法的有圖有文字的應用題。第二冊出現求兩數相差多少的應用題，為后面學習求比一個數多(或少)幾的數的應用題打下基礎；接著安排“提問題”、“填條件”的應用題，為學習兩步應用題做準備；然后安排連續兩問的應用題，這也是學習兩步應用題的基礎；最后

10、結合乘法的意義安排了乘法應用題及相應的“提問題”。 二年級安排了稍復雜的一步應用題和一般的兩步應用題。第三冊先結合除法的意義出現把一個數平均分成幾份求一份是多少的應用題和求一個數里包含幾個另一個數的應用題，再出現求一個數是另一個數的幾倍的應用題和求一個數的幾倍是多少的應用題。在學生掌握了一些簡單應用題，進行過一些“提問題”、“填條件”的練習，學習了連續兩問的應用題等的基礎上，通過改變一步應用題的一個已知條件來引入兩步應用題，根據應用題數量關系的內在聯系出現加減復合(乘加、乘減)兩步應用題，連減的兩步應用題，加除、減除復合的兩步應用題。第四冊先出現稍復雜的(需要逆思考的)一步應用題,主要是反敘的

11、求比一個數多(少)幾的數的應用題和已知一個數的幾倍是多少求這個數的應用題;然后在第三冊的基礎上,繼續出現一些含有三個已知條件的比較容易的兩步應用題,并適當出現一些含有兩個已知條件的兩步應用題。 中年級學生的思維有了一定發展，抽象思維能力逐步提高，對兩步應用題的結構及解答方法有了一定的基礎，所以三年級主要安排了稍復雜的兩步應用題和比較簡單的三步應用題。第五冊首先結合乘數、除數是兩位數的乘、除法，相應地安排了乘法應用題和常見的數量關系、除法應用題和常見的數量關系；然后出現連乘、連除、歸一、歸總(某一種量不變,一種量隨著另一種量的變化而變化)等兩步應用題。第六冊先結合加、減、乘、除法各部分間的關系安

12、排用列含有未知數x的等式解答加、減、乘、除一步應用題；然后出現連乘、連除應用題(其中的未知量隨著兩個量的變化而變化)；然后在兩步應用題的基礎上通過增加一個條件，引出三步應用題。 四年級安排了一般的三步應用題及總結解應用題的一般步驟和方法，列方程解兩步、三步應用題。第七冊首先安排了一般的三步應用題(總結解答應用題的一般步驟和方法)，接著在第五冊基礎上編排歸一、歸總加條件的三步應用題，然后安排了有關計劃與實際比較的三步應用題和行程問題(三步)。一般的整、小數應用題到第七冊告一段落，第八冊安排列方程解兩步(需要逆思考的)、三步應用題和含有兩個已知條件的兩步應用題(“和倍”、“差倍”問題)，最后安排了

13、用方程解和用算術解應用題的比較。 五年級學生有了一定的數學知識基礎，邏輯思維能力有了一定的發展。根據分數、百分數、比例等教學內容，相應地安排了分數應用題、百分數應用題、比例應用題。適當增加綜合地、靈活地運用所學知識解決簡單的實際問題的練習。第九冊首先結合分數乘除法的意義分別安排了分數乘除法一步、兩步應用題及乘除復合的分數應用題，然后編排了一般的分數、小數應用題，稍復雜的求一個數的幾分之幾是多少以及已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的應用題，接著安排了稍復雜的分數乘法和除法應用題的對比，最后編排了工程問題。第十冊在分數應用題的基礎上編排了求一個數是另一個數的百分之幾的應用題，稍復雜的求一個數是另

14、一個數的百分之幾的應用題及已知一個數的百分之幾是多少求這個數的應用題；然后結合比例的意義和基本性質編排了比例尺，用比例解應用題及稍復雜的比例應用題(兩步,而且有多種解法)。 應用題的具體安排如下表。 步數 年級 內容 一步 二步 三步 一年級 一冊 圖畫應用題, 表格應用題,圖文應用題，加法應用題,求剩余、求另一個加數的應用題。 二冊 求一個數比另一個數多(少)幾的應用題。 提問題、填條件(加、減法)。求比一個數多(少)幾的數的應用題。連續兩問的應用題。乘法一步應用題。提問題(乘法)。 二年級 三冊 除法一步應用題。 求一個數是另一個數的幾倍。求一個數的幾倍是多少的應用題。提問題、填條件(除法

15、)。乘法和除法一步應用題的整理。有余數的除法應用題。 加減復合(乘加、乘減)兩步應用題。 連減的兩步應用題。加除、減除的兩步應用題。 四冊 反敘的求比一個數多(少)幾的數的應用題。 已知一個數的幾倍是多少求這個數的應用題。 含有三個已知條件的兩步應用題。 含有兩個已知條件的兩步應用題。*含有兩個已知條件的兩步應用題(已知兩數和與其中一數,求兩數相差多少或倍數關系)。 三年級 五冊 乘法應用題和常見的數量關系。 除法應用題和常見的數量關系。(實際上是同一種數量關系。) 連乘應用題。 連除應用題。歸一應用題。歸總應用題。 六冊 用列含有未知數x的等式解答加減一步應用題。 用列含有未知數x的等式解答

16、乘除一步應用題。 連乘應用題(未知量隨著兩個量的變化而變化)。 連除應用題(總量隨著兩個變量的變化而變化)。 簡單的三步應用題。 三步應用題(兩步應用題加一個條件)。 四年級 七冊 一般的三步應用題(總結解答應用題的一般步驟和方法)。 歸一、歸總加條件的三步應用題。有關計劃與實際比較的三步應用題。行程問題(三步)。*四步應用題。 八冊 列方程解比較容易的應用題(兩步需要逆思考的)。 列方程解稍復雜的應用題(兩步需要逆思考的)。 列方程解三步應用題(相遇問題)。列方程解含有兩個未知數的應用題。用方程和算術方法解應用題的比較。 五年級 九冊 分數乘法應用題。 分數除法應用題。分數乘、除法應用題的對

17、比。 連乘的分數乘法應用題。連除的分數除法應用題。乘除復合的分數應用題。一般的分數、小數應用題。稍復雜的求一個數的幾分之幾是多少的應用題。稍復雜的已知一個數的幾分之分是多少求這個數的應用題。稍復雜的分數乘法和除法應用題的對比。工程問題。 十冊 求一個數是另一個數的百分之幾的應用題。 稍復雜的求一個數是另一個數的百分之幾的應用題。 稍復雜的已知一個數的百分之幾是多少求這個數的應用題。比例尺用比例解應用題。 稍復雜的比例應用題。 教學實踐表明，這樣的編排結構基本符合把數學的邏輯順序與兒童的心理發展順序相結合的原則，易教易學，減輕了學生學習的難度，有利于提高教學質量，培養學生的能力。 但是，教學實踐

18、中，也反映出這一編排結構的一些問題。主要是有些冊應用題的難度和份量偏大，例如，反敘的一步應用題需要學生進行逆思考，低年級進行教學比較困難。其次，二、三步應用題的變化條件教學有困難。在學生剛剛理解某一種應用題的數量關系和解法后，就立刻讓學生變化例題中的某一條件，使之成為一道新的應用題，教學難度較大。相應的練習也有難度。 2結構特點及理論依據 上述應用題的編排結構具有如下特點。 （1）加強應用題的內在聯系及應用題與其他知識的聯系 這種編排結構加強了應用題之間的內在聯系及應用題與其他知識間的聯系，使整個應用題部分層次分明、系統性強，既相對獨立又能與其他有關知識很好地聯系在一起。 唯物辯證法認為，物質

19、世界是由無數互相聯系、互相依賴、互相制約、互相作用的事物所形成的統一整體。數學是現實世界數量關系和空間形式的反映，因此，數學中的各部分知識也是相互聯系著的。應用題作為小學數學的一部分，它的數量關系是有內在聯系的，應用題與其他知識的聯系也是非常緊密的。因此，在編排應用題時，既要加強應用題的縱向聯系，也要加強應用題本身及與其他知識間的橫向聯系。 應用題之間有著密切的聯系。一般地說，復合應用題是由幾個簡單應用題組合而成的；根據學生的心理特點、應用題的難易程度，教學應從一步應用題擴展到兩步應用題，再從兩步應用題擴展到三步應用題。復合應用題與簡單應用題相比，不僅已知條件增多了，而且數量關系也復雜了。學生

20、掌握了簡單應用題、復合應用題的解答方法以及簡單應用題與復合應用題之間的聯系和區別，又較容易地掌握更多步數的應用題的解法，不但可以加深對應用題結構的理解，而且通過知識的遷移，培養學生思維的靈活性及創造性。加法應用題和減法應用題，乘法應用題和除法應用題，既是相互對立，又是相互聯系、相互轉化的。對這些應用題進行比較，使學生容易理解和區分這些應用題的數量關系，更好地掌握解答方法。 應用題與小學數學其他知識的聯系也是非常緊密的。例如應用題與四則運算的意義。從某種程度上說，絕大部分應用題都是四則運算在實際中的應用。學生很好地理解四則運算的意義，是學習簡單應用題的重要基礎。因此教材在學生學習了一種運算的意義

21、以后，接著就教學相應的應用題。又如簡單的分數應用題就是在分數的意義和一個數乘以分數的意義的基礎上進行教學的。 （2）遵循兒童的認知發展規律 這種編排結構符合兒童認知發展的規律，從感性認識逐步上升到理性認識，既有助于學生理解和掌握新知識，又有助于發展學生的思維能力。 兒童心理學研究表明，小學生的思維發展正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。兒童的認知規律一般是：動作、感知表象概念概念系統(系統知識)。兒童認知發展的第一階段主要是靠感覺和動作探索周圍世界。兒童的年齡越低，越需要借助直觀和操作活動來豐富學生的感性經驗，教材注意安排學生的操作活動，注意通過直觀使學生理解應用題的數量關系，在此基

22、礎上再引導學生進行分析、綜合、比較、抽象概括，逐步形成數學的概念，使學生理解應用題的數量關系、掌握解答應用題的方法。根據這一規律，低年級首先安排了圖畫應用題、表格應用題、圖文應用題，再出現文字應用題。低年級的應用題大部分都安排了操作活動，中、高年級中比較難理解的文字應用題也注意結合線段圖出現或引導學生畫線段圖等，通過這些直觀手段和操作活動來幫助學生分析數量關系、確定算法。例如，在教學求兩數相差多少的應用題“學校養了12只白兔，7只黑兔。白兔比黑兔多幾只？”時，讓學生先擺出12只白兔，7只黑兔，使白兔和黑兔一一對應。引導學生說出是白兔跟黑兔比多少；白兔多，黑兔少；白兔可以分成哪兩部分，理解從12

23、只白兔中去掉和黑兔只數同樣多的部分，剩下的部分就是白兔比黑兔多的只數，所以要用減法計算。通過操作和分析，學生在大腦中形成關于這種應用題中較大數與較小數的數量關系的表象，理解為什么用減法計算，從而提高學生分析和解答應用題的能力。 （3）把應用題的邏輯順序與兒童的心理發展順序適當地結合起來 這種編排結構的最大特點是把應用題的邏輯順序與兒童的心理發展順序適當地結合，形成合理的教材結構，并使教材的知識結構轉化為學生的認知結構。現代教學論認為：教科書編排的合理結構是把學科的邏輯順序與學生的心理發展順序相結合的結構。任何科學都有其自身的系統，每門學科的體系必須考慮到這門科學本身的系統，形成這門學科的知識結

24、構。這樣才能使學生從客觀事物的發生發展中去認識它的本質。但是，教材的系統性不光是學科的系統性，教材的份量、難易程度和體系等都要符合學生的心理特點。只有把二者統一起來，才能形成合理的教材結構。學生的認知結構是從教材的知識結構轉化來的，有了合理的教材結構學生才有可能建立良好的認知結構。如前所述，復合應用題一般是由簡單應用題組合而成的。一般是按照從一步應用題到兩步應用題，再到三步應用題的順序編排。但是有些一步應用題的難度超過了比較容易的兩步應用題，考慮到兒童的認知心理特點，把稍復雜的一步應用題放在二年級下學期，而沒有完全按照應用題本身的邏輯順序進行編排；另外，考慮到有些應用題與其他知識的關系，只有學

25、習了這部分知識，才能安排相應的應用題，比如分數和百分數應用題(這時一般的三步應用題已經學完)，也不能完全按照從一步到兩步再到三步的順序編排。因此，需要把直線排列和螺旋排列相結合，以便符合兒童的認知規律。 三、教學內容的呈現形式及培養能力的手段 1小學數學應用題的呈現形式 根據兒童心理學和教學論的有關原理，教材中應用題的呈現既要體現教學過程，又要符合兒童學習的心理特征。每部分應用題基本上按照“復習?例題?做一做?鞏固練習”的順序呈現。低年級有些例題前安排一道與例題的數量關系相同的操作性的例題，使學生通過操作初步理解數量關系，降低思維的難度。通過復習舊知識引入新知識，教學新知識后，通過做一做及時反

26、饋學生的學習情況，再通過練習鞏固所學知識。下面分幾點進行陳述。 （1）根據教育心理學中知識遷移的理論，每部分新知識都由舊知識過渡(這些舊知識被稱為先行組織者，充當新舊知識的橋梁、固著點)，引出新知，實現知識的遷移。教材在大部分新知識前，都安排了準備題或復習題，例如在學習一般的兩步應用題之前，先復習一步應用題，并由一步應用題引出兩步應用題。 （2）根據兒童的認識規律，應用題的呈現注意結合操作和直觀。低年級以圖畫、表格、圖文應用題、文字應用題等形式出現，并且加強了操作，讓學生通過操作來理解數量關系；中高年級的應用題仍主要借助線段圖來理解數量關系。 （3）加強了解題思路的教學。在解答大部分應用題時都

27、安排了“想”,教給學生解題的思路，有利于學生掌握正確的解答方法，降低了學生思考的難度。例如教學歸一應用題“學校買3個書架，一共用75元。照這樣計算，買5個要用多少元？”。教材給出“想：要求買5個書架用多少元，要先算什么？”使學生根據單價、數量和總價的關系，想到必須先算出每個書架多少元(單價是多少)，就可以算出總價。 （4）兩三步應用題，要求由低到高。先要求分步解答再要求列綜合算式解答。 （5）有些應用題同時出現兩種解答方法,有些應用題在用一種方法解答后,再提出還有沒有別的解答方法，以提高學生思維的靈活性和解題能力。例如教學連乘的兩步應用題“一個商店運進5箱熱水瓶，每箱12個。每個熱水瓶賣11元

28、，一共可以賣多少元？”。教材給出兩種思路和解法：先求出每箱賣多少元，再求5箱賣多少元；先求出一共有多少個熱水瓶，再用熱水瓶數乘單價。又如教學連除的兩步應用題在給出一種解答方法后，教材提出還有沒有別的解答方法，讓學生通過自己思考，找出另一種解答方法。 （6）應用題習題的呈現注意有層次、有坡度，加強了反饋，重視對學習結果的保持。練習的安排基本上按照“鞏固練習?混合練習?綜合練習”的順序呈現。在講完例題之后，緊接著安排“做一做”，進行反饋；在練習中先安排模仿例題形式的鞏固性習題，再安排稍有變化但學生能夠用已學知識解答的習題；有些練習中還安排一些混合練習題，使學生在快要遺忘時復習鞏固所學的知識；在練習

29、的最后安排綜合練習題，需要學生綜合運用以前所學的知識進行解答，培養學生綜合運用知識的能力。 2培養能力的手段 （1）重視培養學生一般的解題策略和方法 這套義務教材比較重視解應用題的策略和方法的教學。隨著社會的發展，信息在人們的工作和生活中越來越重要，人們需要處理信息并解決問題的能力。重視培養學生一般的解題策略和方法能夠提高這方面的能力。例如重視對學生進行摘錄數據、理解題意、分析數量關系、檢驗的訓練等，使學生掌握解應用題的一般步驟和方法。使學生在遇到各種新問題時，能夠靈活運用已掌握的解題策略解決。 （2）重視培養學生分析數量關系的能力 分析數量關系是解應用題過程中非常重要的一步。傳統的應用題教學只注重教給學生記類型、套公式，這種教法割斷了應用題之間的聯系，不利于提高學生解答應用題的能力。分析數量關系就是分析題中已知條件和已知條件之間、已知條件和問題之間的數量關系，再根據四則運算的意義確定正確的算法。學生學會了分析數量關系，遇到各種類型的應用題都會在理解的基礎上進行解答