1、2021/4/21高等院校非數學類本科數學課程教案制作：潘 小 平2021/4/22本章學習要求：v 理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系與運算。v 理解事件頻率的概念，理解概率的古典定義。v 掌握概率的基本性質及概率加法定理。v 理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事件的獨立性概念。v 掌握貝努利概型和二項概率的計算方法。第一章 隨機事件及其概率2021/4/23第一節 隨機事件及其運算一、隨機試驗與樣本空間二、隨機事件三、事件的關系與運算2021/4/24一、隨機試驗和樣本空間 在一定條件下必然發生的現象,稱為確定性現象確定性現象; ;在個別試驗中呈現出不確定性, 在大量重復試驗

2、中其結果又具有統計規律性統計規律性的現象, 稱為隨機現象隨機現象. 概率論與數理統計是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學學科.2021/4/25我們把對隨機現象所進行的觀察、實驗或試驗E都稱為隨機試驗，簡稱試驗，記為 ，它具有三個1、可在相同條件下重復地進行;2、每次試驗前能知道所有可能出現的結果,并且可能特點：結果不止一個。3、進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.2021/4/26 試驗的例:E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現的情況.E2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現的情況.E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現正面的次數.E4:拋一顆骰子, 觀察出現的點數.

3、E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數.E6:在一批燈泡中任取一只, 測試它的壽命.E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.2021/4/27 樣本空間 對于隨機試驗, 盡管在每次試驗之前不能預知試驗的結果, 但試驗的所有可能的結果組成的集合是已知的, 將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間, 記為. 樣本空間的元素, 即E 的每個結果, 稱為樣本點 ，記為.2021/4/28例例1 11E: 拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現的情況. ,1TH2E: 將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現的情況.2HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH

4、,TTT;: 將一枚硬幣拋擲三次, 觀察出現正面的次數.3E30, 1, 2, 3;: 拋一顆骰子, 觀察出現的點數.4E41, 2 , 3, 4, 5, 6 .2021/4/29要注意的是：樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的。例如，在 和 中同是將2E3E一枚硬幣連拋三次，由于試驗的目的不一樣，其樣本空間也不一樣。2021/4/210二、隨機事件稱試驗E的樣本空間的子集為E的隨機事件, 簡稱事件.常用英文大寫字母 等表示。,CBA僅當這一子集中的一個樣本點出現時, 稱這一事件發生.特別地, 由一個樣本點組成的單點集, 稱為基本事件。擲一次骰子的實驗 有6個基本事件1,2,3,4,5,6.4

5、E在每次試驗中,當且1E例如, 擲一次硬幣的試驗T;有兩個基本事件H和2021/4/211樣本空間包含所有的樣本點, 它是自身的子集, 在每次試驗中它總是發生的, 稱為必然事件； 何樣本點, 它也作為樣本空間的子集, 空集 不包含任發生, 稱為不可能事件.它在每次試驗中都不必然事件和不可能事件本質上沒有不確定性，但是為了方便，仍把它們看作隨機事件。2021/4/212幾個事件的例子:例: 在 :擲三次硬幣觀察正反面出現情況中事件 :第一次2E1A出現的是 H , 即=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出現同一面, 即2A=HHH, TTT2A在 : 測試任取的一只燈泡壽

6、命中, 事件 : 壽命小于10006E3A小時, 即=t | 0 t 1000.3A2021/4/213三、事件間的關系與事件的運算為了通過簡單事件去表示和研究復雜事件，需要討論事件之間的關系和運算。設隨機試驗 的樣本空間為E,而 及CBA,1( iAi),2,是事件。2021/4/2141. 事件的包含與相等如果事件 發生必然導致事件 發生，則稱事件 包ABB含事件 ，或稱 是 的子事件，記為 或ABABA.AB 如果 且 ，則稱 與 相等，記為BAAB AB.BA2021/4/2152. 事件的和事件 與事件 中至少有一個發生是一個事件，稱為 AB事件 與事件 的和，記為 即AB,BA.B

7、ABA或事件的和可以推廣到任意有限個或可列無窮多個事件的情形。2021/4/216事件 中至少有一個發生稱為這 個事件nAAA,21n的和，記為 或nAAA21.1iniA可列無窮多個事件 的和記為,21nAAA.1iiA2021/4/2173. 事件的積.BAAB且事件的積可以推廣到任意有限個或可列無窮多個事件的情形。事件 與事件 同時發生是一個事件，稱為事件 與 ABA事件 的積，記為 或 即BBA,AB2021/4/218事件 同時發生稱為這 個事件的積，nAAA,21n可列無窮多個事件 的積記為,21nAAA.1iiA記為 或 或nAAA21.1iniAnAAA212021/4/219

8、4. 事件的互不相容不可能事件 則稱 與 互不相容或互斥。AB如果事件 和 不能同時發生，即 和 同時發生是ABBA,AB2021/4/2205. 對立事件如果兩事件 滿足BA,BA 且,ABAB.AB 是 的對立事件(或逆事件，補事件)，記為則稱AB也是的對立事件。當然，這時 若 與 互為對立事件，則在每一次試驗中，ABBA與必有且僅有一個發生。2021/4/2216. 事件的差由對立事件和兩事件的積的定義可知：.BABA與事件 的差，記為 B,BA事件 出現而事件 不出現是一個事件，稱為事件ABA. BABA且即2021/4/222概率論中事件之間的關系和運算與集合的相應關系和運算是一致的

9、。集合的運算規則對事件運算同樣適用：(1) 交換律：;,ABBAABBA(2) 結合律：;)()(,)()(CBACBACBACBA2021/4/223(3) 分配律：; )()()(CABACBA; )()()(CABACBA(4) 對偶律(德摩根律)：.,BABABABA2021/4/224例例2 2 : 擲三次硬幣觀察正反面出現的情況。2E=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出現同一面, 即2A=HHH, TTT.2A“第一次出現的是 H ”, 即:1A事件. ,21TTTHTTHTHHHTHHHAA. 21HHHAA. 12TTTAA若則. ,21TTHTHTTHHAA2021/4/225 如圖所示的電路中, A表示信號燈亮, B, C, D表示繼電器接點I,II,III閉合.IIIIII例例3 32021/4/226則 BC A, BD A, BC BD =A, .ABIIIIIIABCD2021/4/227例例4 4從一批產品中每次取出一件進行檢驗(每次取出的產品不放回), 事件 表示第i 次取到合格品(i =1, 2, 3). 試用 iAiA表示下列事件: 三次都取到了合格品; (1)(2) 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有兩次取到合格品; (3)(4) 三次中最多有一次取到合格品321AAA321AAA321