1、一、以一、以2L2L為周期為周期的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié)第九節(jié)第九節(jié) 一般一般周期函數(shù)周期函數(shù)的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)一、以一、以2L2L為周期為周期的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl0 0nnnnn 1n 1a an nxnxnx xf(x)(a cosb sin),f(x)(a cosb sin),2ll2ll 為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2

2、 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflbllnl l0 0l l1 1af(x) dx,af(x) dx,l l ,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有0 0n nn 1n 1a an nx xf(x)a cos,f(x)a cos,2l2l dxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期

3、以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 0 0nnnnn 1n 1a an nn nf(x)(a cosxb sinx)f(x)(a cosxb sinx)2ll2ll nnnn1111aF(z)cos nzdz, bF(z)sin nzdz.aF(z)cos nzdz, bF(z)sin nzdz.其中l(wèi) l0 0l ll ln nl ll ln nl l1 1af(x)dxaf(x)dxl l1n1naf(x)cosxdx,af(x)cosxdx,llll1n1nbf(x)sinxdx.(n1,2,3,)bf(x)sinxdx.(n1,2,3,)llll 其中)()

4、(xfzFlxz k2 xy2044 解解., 2 滿滿足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l0 02 20 02 20 01 11 1a a0 0d dx xk kd dx x2 22 2 k k, , 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當當當當)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n解解,10 xz作變量代換作變量代換105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz )10()( TzF作周期延拓作周

5、期延拓然后將然后將,收收斂斂定定理理的的條條件件這這拓拓廣廣的的周周期期函函數(shù)數(shù)滿滿足足由于由于F F( (z z) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), , 故故), 2 , 1 , 0(, 0 nanx)(zFy5 501510 50ndz5znsin)z(52b,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x二、二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)1、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 一般說來一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正一個函數(shù)的

6、傅里葉級數(shù)既含有正弦項弦項,又含有余弦項又含有余弦項.但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項. 如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數(shù)數(shù). .2、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)非周期函數(shù)的周期性開拓非周期函數(shù)的周期性開拓).(2, 0)(xFxf函數(shù)函數(shù)為周期的為周期的延拓成以延拓成以上上定義在定義在設(shè)設(shè) ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且則有如下兩種情況則有如下兩種情況. 偶延拓偶延拓

7、奇延拓奇延拓F(x)F(x)在在 , , 上上為為奇奇( (偶偶) )函函數(shù)數(shù) 例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成正正弦弦級級數(shù)數(shù)和和余余弦弦級級數(shù)數(shù). .解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進行奇延拓進行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當當當當3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx (2)(2)求余弦

8、級數(shù)求余弦級數(shù). .,)(進行偶延拓進行偶延拓對對xf0 00 02 2a(x1)dxa(x1)dx 2,2, 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當當當當5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 三、小結(jié)三、小結(jié)求傅氏展開式的步驟求傅氏展開式的步驟;1. 驗證是否滿足狄氏條件驗證是否滿足狄氏條件(收斂域收斂域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于并注明它在何處

9、收斂于).(xf以以2L為周期的傅氏系數(shù)為周期的傅氏系數(shù);奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余正弦級數(shù)與余弦級數(shù)弦級數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓非周期函數(shù)的周期性延拓;一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在一個周期內(nèi)的表達式在一個周期內(nèi)的表達式為為 121,1210,101,)(xxxxxf, ,試將其展開成傅里葉級試將其展開成傅里葉級 數(shù)數(shù) . .二、二、 試將函數(shù)試將函數(shù) lxlxllxxxf2,20,)(展開成正弦級數(shù)和余展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)弦級數(shù) . .練練 習習 題題三、三、 將函數(shù)將函數(shù) 232,22,)(xxxxxf展開成展開成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) . .練習題答案練習題答案一、一、 4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn