1、二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并掌握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法 2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對(duì)于任意正整數(shù),都有：()，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理， 等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n字母a降冪排列

2、，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：()要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：（）公式特點(diǎn)：它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；a與b的次數(shù)之和為n。要點(diǎn)詮釋： （1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和(b+a)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的（2）通項(xiàng)是針對(duì)在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(ab)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把b看成b代入二項(xiàng)式定理）。要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角和二項(xiàng)展開式的

3、推導(dǎo)。在我國(guó)南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,時(shí),如下表所示:1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個(gè)括號(hào)中取r個(gè)b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù) 2.的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系

4、數(shù)、具有如下性質(zhì)：對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大.各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即。要點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等。如(ab)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是，但項(xiàng)的系數(shù)是，可以看出

5、，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。要點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.求展開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對(duì)a、b取不同的特殊值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況。設(shè)(1) 令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)

6、的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。；（）如：求證：【典型例題】類型一、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1.求的二項(xiàng)式的展開式【思路點(diǎn)撥】 按照二項(xiàng)式的展開式或按通項(xiàng)依次寫出每一項(xiàng)，但要注意符號(hào)【解析】解一： 解二：【總結(jié)升華】記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件，對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)捷舉一反三：【變式】求二項(xiàng)式的展開式【答案】 （1）解法

7、一：解法二：。例2（1）求的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項(xiàng)因?yàn)轭}中條件和求解部分都涉及指定項(xiàng)問題，故選用通項(xiàng)公式【解析】（1）的展開式的第四項(xiàng)是，的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是（2）的展開式的通項(xiàng)是，的系數(shù)，的二項(xiàng)式系數(shù)【總結(jié)升華】1.利用通項(xiàng)公式求給定項(xiàng)時(shí)避免出錯(cuò)的關(guān)鍵是弄清共有多少項(xiàng),所求的是第幾項(xiàng),相應(yīng)的是多少；2. 注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別；3. 在求解過程中要注意冪的運(yùn)算公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。舉一反三：【變式1】求的展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)；【答案】10，80；【變式2】求(x3)5的展開

8、式中x5的系數(shù)；【答案】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數(shù)例3.（1）(2x2)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求的展開式中的有理項(xiàng).【思路點(diǎn)撥】常數(shù)項(xiàng)就是項(xiàng)的冪指數(shù)為0的項(xiàng)，有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)中x的指數(shù)為正整數(shù)的項(xiàng)，可以根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求。【解析】（1）Tr1(2x2)6-r(1)r·26- r·依題意123r0，解得r4故·2260為所求的常數(shù)項(xiàng)（2）通項(xiàng)為有理項(xiàng)，,即是6的倍數(shù),又因?yàn)?所以=0,6,12故展開式中的有理項(xiàng)為,.【總結(jié)升華】 使二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，就是使這一項(xiàng)不含“變?cè)保话悴捎昧钭冊(cè)闹笖?shù)為零的

9、方法解答這類問題。求有理項(xiàng)是對(duì)x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號(hào)的要求舉一反三：【變式】 求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)及有理項(xiàng) 設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得r=8。令，即r=0，2，4，6，8時(shí)，。，。二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)：；有理項(xiàng)是第1項(xiàng)：x20，第3項(xiàng)：，第5項(xiàng)：，第7項(xiàng)：，第9項(xiàng)：類型二、二項(xiàng)式之積及三項(xiàng)式展開問題例4求的展開式中的系數(shù).【思路點(diǎn)撥】將變形為，要使兩個(gè)因式的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為；也可以利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)解答。【解析】解法一：，的通項(xiàng)

10、公式（），分三類討論：（1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為，即；（3）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為，即；故展開式中的系數(shù)為。解法二：的通項(xiàng)公式（），的通項(xiàng)公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為。【總結(jié)升華】當(dāng)多個(gè)不同的二項(xiàng)式相加或相乘時(shí)，可以依據(jù)題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植接?jì)算，也可以直接利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)后求解。舉一反三：【變式】求(x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù)；【答案】 (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展開式中x10的系數(shù)是1180179例5求的展開式中的系數(shù)【思路點(diǎn)撥】要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)

11、合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開【解析】（法一），顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含的項(xiàng)，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是（法二）：展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是【總結(jié)升華】有些題中，常出現(xiàn)三項(xiàng)式展開或兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開問題，所用解法一般為二項(xiàng)式定理展開，或?qū)⑷?xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式舉一反三：【變式1】的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是；【答案】【變式2】在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)【答案】在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為展開式中含x的項(xiàng)為，此展開式中x的系數(shù)為

12、240類型三、有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算的問題例6已知（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。【思路點(diǎn)撥】 利用展開式的通項(xiàng)，得到系數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值。【解析】（1）展開式的通項(xiàng)：，故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，化簡(jiǎn)得，解得:， ，故所求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為：【總結(jié)升華】求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是解一個(gè)不等式組。舉一反三：【變式】求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。【答案】原式不是的標(biāo)準(zhǔn)二項(xiàng)式，不一定是中間項(xiàng)系數(shù)最大。設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大，有。，解得。k是非負(fù)整數(shù)，k=8。第8項(xiàng)系數(shù)最大，即。類型四、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。例7.若，則_

13、（用數(shù)字作答）【思路點(diǎn)撥】求展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法【解析】令，則，即【總結(jié)升華】賦值法是解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和的有效方法，通過對(duì)二項(xiàng)展開式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達(dá)到解題目的舉一反三：【變式1】若，則,【答案】0；令,得答案0.【變式2】 已知，則等于（ ）A63 B64 C31 D32【答案】 逆用二項(xiàng)式定理得：，所以n=6，所以。故選A。類型四、 二項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用例8. 求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，33n26n1可被676整除。【思路點(diǎn)撥】 注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二項(xiàng)展開式去證明【解析】當(dāng)n=0時(shí)，原式=0，可被676整除 當(dāng)n=1時(shí)，原式=0，也可被676整除 當(dāng)n2時(shí)，原式 每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262=676整除 綜上所述，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n，33n26n1可被676整除【總結(jié)升華】 此類整除問題（或余數(shù)問題）可以用二項(xiàng)式定理證明，證明的關(guān)鍵在于將被除式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危蛊淠軐懗啥?xiàng)式的形式，展開后的每一項(xiàng)中都會(huì)有除式這個(gè)因式，就可證得整除或求出余數(shù)舉一反三：【變式】除以的余數(shù)是.【答案】；故除以的余數(shù)是.例9.求證