1、一元二次方程一） 一元二次方程的定義是一元二次方程的一般式，只含有一個(gè)末知數(shù)、且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。這三個(gè)方程都是一元二次方程。求根公式為二）。a是二次項(xiàng)系數(shù)；b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)，注意的是系數(shù)連同符號(hào)的概念。這些系數(shù)與一元次方程的根之間有什么樣的關(guān)系呢？1、當(dāng)0時(shí)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2、當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3、當(dāng) 0時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.4、當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（方程有實(shí)數(shù)根）;5、ac0)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C0兩根同號(hào)b0有兩個(gè)負(fù)根不相等b0有兩個(gè)正根不相等C0負(fù)根絕對(duì)值較大(正根絕對(duì)值較小)b0一根為0另一個(gè)根為負(fù)根b0有兩個(gè)相等的負(fù)根b0

2、有兩個(gè)相等的正根b =0有兩個(gè)相等的根都為0注：凡是題中出現(xiàn)了x1.x20 即a、c異號(hào)方程必有解。例題 m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；無(wú)實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有一根為0；兩根同號(hào)；有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根；兩根互為倒數(shù)。例題 已知方程的兩根一個(gè)大于1，另一個(gè)根小于1，求m的值的范圍。例題已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的實(shí)數(shù)根為m、n求下列對(duì)稱式子的值；。例題已知實(shí)數(shù)a、b滿足,且求的值。例題已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）求k的取值范圍。（2）化簡(jiǎn)例題 設(shè)a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。根據(jù)題意得a+b=-1，ab=-2009，a2+2a+b=a2+a+a+b=

3、a2+a-1，又a是x2+x-2009=0的根，a2+a-2009=0，a2+a=2009，a2+2a+b=2009-1=2008六）解一元二次方程中的應(yīng)用直接開平方法：用簡(jiǎn)明圖表可表示為：直接開平方法：形如（mx+n）2=p (m0,p0)兩個(gè)一元一次方程。配方法：用簡(jiǎn)明圖表可表示為：配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程因式分解法：用簡(jiǎn)明圖表可表示為： 因式分解法：一元二次方程兩個(gè)一元一次方程公式法：x1，x2一元二次方程應(yīng)用題部分一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟是1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系?2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語(yǔ)句要完整,有單位(同一

4、)的要注明單位；3.列:列代數(shù)式,列方程；4.解:解所列的方程；5.驗(yàn):是否是所列方程的根;是否符合題意；6.答:答案也必需是完事的語(yǔ)句,注明單位且要貼近生活.注：列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是: 找出等量關(guān)系；所謂的列方程其實(shí)質(zhì)上就是把要求的數(shù)用一個(gè)末知的數(shù)（字母）表示，根據(jù)題目中提供的條件列出兩個(gè)代數(shù)式，這兩個(gè)代數(shù)式表示同一個(gè)量（這兩個(gè)代數(shù)式中至少有一個(gè)代數(shù)式中要含有末知數(shù)），用等于號(hào)把這兩個(gè)代數(shù)式連接起來(lái)就得到了方程式。二、一元二次方程，其應(yīng)用題的范圍也比較廣泛，歸納起來(lái)可大致有以下幾種類型：求互相聯(lián)系的兩數(shù)(數(shù)與數(shù)字方面的應(yīng)用題)：例：兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是168，求這兩個(gè)偶數(shù)。解：設(shè)其中一數(shù)為x

5、，另一數(shù)為x+2，依題意得：x（x+2）168x2+2x-168=0（x-12）（x+14）0x1=12，x2 =14當(dāng)x12時(shí)，另一數(shù)為14；當(dāng)x-14時(shí)，另一數(shù)為-12.答：這兩個(gè)偶數(shù)分別為12、14或-14、-12.四）銀行利率應(yīng)用題（含利滾利問(wèn)題）：年利息本金年利率（年利率為a%）存一年的本息和：本金（1+年利率） ，即本金（1+ a%）存兩年的本息和：本金（1+年利率）2， 即本金（1+a%）2存三年的本息和：本金（1+年利率）3， 即本金（1+a%）3存n年的本息和：本金（1+年利率）n， 即本金（1+a%）n例：我村2006年的人均收入為1200元，2008年的人均收入為1452

6、元，求人均收入的年平均增長(zhǎng)率。解：設(shè)均收入的年平均增長(zhǎng)率，則1200（1+x）2=1452解得：X1=0.1，X2=-2.1（不合題意，舍去）人均收入的年平均增長(zhǎng)率為10%。五）銷售利潤(rùn)方案類題（含薄利多銷問(wèn)題及價(jià)格與銷量問(wèn)題）六）函數(shù)與方程 七）信息題 八）背景題 九）古詩(shī)題 十）象棋比賽題十一）幾何類題：等積變形，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，梯子問(wèn)題，航海問(wèn)題，幾何與圖表信息，探索存在問(wèn)題，平分幾何圖形的周長(zhǎng)與面積積問(wèn)題，利用圖形探索規(guī)律最常見的如：求直角三角形的邊。例：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積是9cm，求較長(zhǎng)的直角邊的長(zhǎng)。解：設(shè)較短的直角邊的長(zhǎng)為x厘米，較長(zhǎng)的直角邊的長(zhǎng)為（x3）厘米

7、，根據(jù)三角形的面積公式，得x（x+3）=9解得：X=3或X=-6（不合題意，舍去）故X=3，X+3=6所以較長(zhǎng)的直角的邊長(zhǎng)為6厘米。常見的還有就是：求矩形的邊：例：利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用20m長(zhǎng)的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為50m2的矩形場(chǎng)地？解：設(shè)靠墻的一邊為x x（20-2x）=20解得：x=5設(shè)靠墻的兩邊為5m，另一邊為10m十二）賽制循環(huán)問(wèn)題：?jiǎn)窝h(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為x，則全部比賽共 x（x-1）場(chǎng)；雙循環(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為x，則全部比賽共x（x-1）場(chǎng)；【單循環(huán)比雙循環(huán)少了一半】例：參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥宋帐?0次，有多少人參加聚會(huì)？解：設(shè)一共有x人x（x-1）=1

8、0解得：x=5 或x=-4（不合題意，舍去）一共有5人銷售利潤(rùn)方案類題（1）經(jīng)濟(jì)類一1、某商店將進(jìn)價(jià)為8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，現(xiàn)在采取提高商品售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，如果這種商品每件的銷售價(jià)每提高0.5元其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將每件售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天利潤(rùn)為640元？ 解：設(shè)每件售價(jià)x元，則每件利潤(rùn)為x-8， 每天銷售量則為所以每天利潤(rùn)為640元時(shí)， 則根據(jù)：（每天銷售量）（每件利潤(rùn)）= 每天利潤(rùn) 故有：則有x2-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0 所以x1=12或x2=16。 答：當(dāng)每件售價(jià)為12元或16元時(shí)，每天利潤(rùn)為640元。3、

9、蘇寧服裝商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為30元的內(nèi)衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，經(jīng)過(guò)試銷發(fā)現(xiàn)，每件內(nèi)衣漲價(jià)10元，其銷量就將減少10件，為了實(shí)現(xiàn)每月8700元銷售利潤(rùn)，假如你是商場(chǎng)營(yíng)銷部負(fù)責(zé)人，你將如何安排進(jìn)貨？解：設(shè)漲價(jià)10x元,銷量將減少10x件:(300-10X)(50+10X-30)=87006000+3000X-200X-100X=8700X-28X+27=0(X-1)(X-27)=0X1=1,以每件50+101=60元售出，平均每月能售出300-101=290件,進(jìn)貨290件,以每件60元售出.X2=27,以每件50+1027=320元售出，平均每月能售出300-1027=30件,

10、進(jìn)貨30件,以每件320元售出.因?yàn)槭鄢鰞r(jià)320元太高,此解舍去.（此解舍去不是太有道理的）函數(shù)與方程1.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品質(zhì)量分為10個(gè)檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤(rùn)10元。每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但每天產(chǎn)量減少4件.(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元（其中x為正整數(shù)，且1x10），求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1080元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.解:1)生產(chǎn)數(shù)量為:76-4(X-1)利潤(rùn)為:10+2(X1)則函數(shù)為:Y=764(X1)10+2(X1)整理為:Y=-8X2+128X+6402）當(dāng)Y=1080時(shí)，

11、則有：1080=-8X2+128X+640 整理得：X2-16X+55=0解之得X1=5或X2=11(不合題舍) 固為第五檔.例1【實(shí)際背景】預(yù)警方案確定:設(shè)如果當(dāng)月W6，則下個(gè)月要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”【數(shù)據(jù)收集】今年2月5月玉米、豬肉價(jià)格統(tǒng)計(jì)表月份2345玉米價(jià)格(元/500克)0.70.80.91豬肉價(jià)格(元/500克)7.5m6.256【問(wèn)題解決】(1)若今年3月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)與5月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)相等，求3月的豬肉價(jià)格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米價(jià)格增長(zhǎng)的規(guī)律不變，而每月的豬肉價(jià)格按照5月的豬肉價(jià)格比上月下降的百分?jǐn)?shù)繼續(xù)下降，請(qǐng)你預(yù)測(cè)7月時(shí)是否要采

12、取措施防止“豬賤傷農(nóng)”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米價(jià)格增長(zhǎng)率是當(dāng)月豬肉價(jià)格增長(zhǎng)率的2倍，而每月的豬肉價(jià)格增長(zhǎng)率都為a，則到7月時(shí)只用5.5元就可以買到500克豬肉和500克玉米請(qǐng)你預(yù)測(cè)8月時(shí)是否要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”解：（1）由題意， ， 解得： m=7.2（2）從2月5月玉米的價(jià)格變化知，后一個(gè)月總是比前一個(gè)月價(jià)格每500克增長(zhǎng)0.1元（或：設(shè)ykx+b，將（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y(tǒng)=0.1x+0.5，把（4，0.9），（5，1）代入都符合，再得到（6，1.1）6月玉米的價(jià)格是：1.1元/500克;5月增長(zhǎng)率：，6月豬肉的價(jià)格：6(1)=5.76元/500克.W

13、=5.246， 要采取措施（3）7月豬肉價(jià)格是：元/500克； 7月玉米價(jià)格是：元/500克；由題意，+=5.5，解得， 不合題意，舍去 7.59， ，不(或：不一定)需要采取措施幾何類題（1）等積變形例1將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來(lái)荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：都能.（1）設(shè)小路寬為x，則1815，即x233x+

14、1800，解這個(gè)方程，得，即（舍去）；（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.14r21815，即r257.32，所以r7.6.說(shuō)明：等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.圖2圖4圖3（2）動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例：如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存

15、在，說(shuō)明理由.解：因?yàn)镃90，所以AB10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解這個(gè)方程，得x12，x24.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120.所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解。由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說(shuō)明：本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必須依據(jù)：路程速度時(shí)間；動(dòng)態(tài)題的解題是思

16、想是化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，在運(yùn)動(dòng)的某一時(shí)刻就是一個(gè)靜態(tài)時(shí)的狀態(tài)。（3）梯子問(wèn)題例：一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？解：依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個(gè)方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.

17、（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個(gè)方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個(gè)方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m.圖5說(shuō)明：求解時(shí)應(yīng)注意無(wú)論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形；在滑動(dòng)的過(guò)程中梯子的長(zhǎng)度沒有改變，也就是構(gòu)成的直角

18、三角形的斜邊是一個(gè)常量10m。（4）、航海問(wèn)題例：如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DFBC.因?yàn)锳BBC，D為AC的中點(diǎn)，所以DFA

19、B100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解這個(gè)方程，得x1200118.4，x2200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.說(shuō)明：求解這類幾何運(yùn)動(dòng)題題型時(shí)，一定要認(rèn)真地分析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程；或找出相似三角形，應(yīng)用相似比構(gòu)造出等量關(guān)系式；或找出線段之間

20、的倍數(shù)關(guān)系，從而找出等量關(guān)系式。探索存在問(wèn)題例：將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少?（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，得+17，整理得：解得x116，x24，當(dāng)x16時(shí)，20x4；當(dāng)x4時(shí)，20x16，答：這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20y）cm.則由題意得+12，整理，得y220y+1040，0所以此方程無(wú)解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說(shuō)明本題的第（2）小問(wèn)也可以運(yùn)用求根公式中的b24ac來(lái)判定.若b24ac0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若b24ac0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b24ac160即無(wú)解.一元二次方程練習(xí)題一、 填空1一元二次方程化為一般形式為：，二次項(xiàng)系數(shù)為：，一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：。2關(guān)于x的方程,當(dāng)時(shí)為一元一次方程；當(dāng)時(shí)為一元二次方程。3已知直角三角形三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)是。