1、第1章 隨機事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=時，P()=1- P(B)乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。獨立性兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(

2、A)P(B)P(C）全概公式。貝葉斯公式，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規律，并作出了“由果朔因”的推斷。第二章 隨機變量及其分布連續型隨機變量的分布密度設是隨機變量的分布函數，若存在非負函數，對任意實數，有， 則稱為連續型隨機變量。稱為的概率密度函數或密度函數，簡稱概率密度。密度函數具有下面性質： 。 離散與連續型隨機變量的關系。積分元在連續型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。設為隨機變量，是任意實數，則函數稱為隨機變量X的分布函數，本質上是一個累積函數。 可以得到X落

3、入區間的概率。分布函數表示隨機變量落入區間（ ，x內的概率。1. ；2。 是單調不減的函數，即時，有 ；3。，；4。 ，即是右連續的；5. 。對于離散型隨機變量，；對于連續型隨機變量， 。 （5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設事件發生的概率為。事件發生的次數是隨機變量，設為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數為，的二項分布。記為。當時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數為的泊松分布，記為或者P()。超幾何分布隨機變量X服從參數為n,N,M的超幾何分布，記為H(

4、n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布當ax1<x2b時，X落在區間（）內的概率為設隨機變量的值只落在a，b內，其密度函數在a，b上為常數，即 axb 其他指數分布 , 0, , 其中，則稱隨機變量X服從參數為的指數分布。X的分布函數為記住積分公式 , x<0。 正態分布設隨機變量的密度函數為其中、為常數，則稱隨機變量服從參數為、的正態分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質：1° 的圖形是關于對稱的；2° 當時，為最大值；若，則的分布函數為是不可求積函數，其函

5、數值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 函數分布離散型已知的分布列為 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。連續型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章 二維隨機變量及其分布連續型對于二維隨機向量，如果存在非負函數，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯合分布密度。分布密度f(x,y)具有下

6、面兩個性質：（1） f(x,y)0;（2） 離散型與連續型的關系邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為離散型有零不獨立連續型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區間為矩形隨機變量的函數若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續函數，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。函數分布 Z=X+Y根據定義計算：態分布的和仍為正態分布（）。n個相互獨立的正態分布的線性組合，仍服從正態分布

7、。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數為：分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態分布，可以證明它們的平方和W我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布記為所謂自由度是指獨立正態隨機變量的個數，它是隨機變量分布中的一個重要參數。分布滿足可加性：設則t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設，且X與Y獨立，可以證明我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章 隨機變量的數字特征（1）一

8、維隨機變量的數字特征離散型連續型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設X是連續型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標準差， （2）期望的性質（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。（3）方差的性質（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D

9、(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數分布正態分布n2nt分布0(n>2)二維隨機變量數字特征期望函數的期望方差協方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協方差或相關矩，記為，即與記號相對

10、應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關系數對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數，記作（有時可簡記為）。|1，當|=1時，稱X與Y完全相關：完全相關而當時，稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協方差的性質(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(

11、X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨立和不相關若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（2）中心極限定理列維林德伯格定理設隨機變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數學期望和方差：，則隨機變量的分布函數Fn(x)對任意的實數x，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設隨機變量為具有參數n, p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數x,有第六章 樣本及抽樣分布常見統計量及其性質樣本均值樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩，其中，為二階中心矩（2）正態總體下的四大分布正態分布設為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數t分布其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數設為來自正態總體的一個樣本，則表示自由度為n-1的分布分布F分布設為來自正