1、2.3.2 平面向量基本定理5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.下面三種說法：一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量，其中正確的說法是（ ）A. B. C. D.解析：根據(jù)平面向量基本定理可以進(jìn)行判斷.平面內(nèi)向量的基底不唯一,在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,正確.答案：B2.設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組：與；與；與；與，其中可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)表

2、示它的所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D.解析：AD與AB不共線,DA=-BC,DABC,DA與BC共線,CA與DC不共線,OD=-OB,ODOB,OD與OB共線.由平面向量基底的概念知可構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的基底.答案：B3.想一想，e1、e2不共線，e1、e2中能否有零向量？a與e1、e2的關(guān)系可能有幾種情況？解析：e1、e2不共線，則e10且e20.（1）a與e1共線，則有且只有一個1，使a=1e1；（2）a與e2共線，則有且只有一個2，使a=2e2；（3）a與e1、e2都共線，則a=0；（4）a與e1、e2都不共線，a能用e1、e2表示，解法如下：與共線，則有且只有一個1，使=

3、1e1.與共線，則有且只有一個2，使=2e2，則a=+=1e1+2e2.4.如圖2-3-3，已知OAB，其中=a，=b，M、N分別是邊、上的點(diǎn)，且=a，=b.設(shè)與相交于P，用向量a、b表示.圖2-3-3解：=+,=+.設(shè)=m，=n，則=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb,=+n=b+n(a-b)=(1-n)b+na.a、b不共線，=a+b.10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.向量、的終點(diǎn)A、B、C在一條直線上，且=-3.設(shè)=p,=q,=r，則下列等式成立的是( )A.r= B.r=-p+2qC.r= D.r=-q+2p解析：由=-3,得-=-3（-），即2=-+3，=+，即r=.

4、答案：A2.設(shè)一直線上三點(diǎn)A、B、P滿足=(1),O是空間一點(diǎn)，則用、表示為( )A.=+ B.=+(1-)C.= D.解析：由=（1）得-=（-），即=.答案：C3.如圖2-3-4，四邊形ABCD為矩形，且AD=2AB,又ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)為ED中點(diǎn)，=e1，=e2.以e1、e2為基底，表示向量、及.圖2-3-4解：=e1，=e2，=e2-e1.依題意有AD=2AB=DE，且F為ED中點(diǎn)，四邊形ABDF為平行四邊形.=e2-e1，=e2.=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如圖2-3-5，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知=c，=d，試用c、d表示和.圖

5、2-3-5解：設(shè)=a，=b，則由M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)可得=，=.從ABN和ADM中可得a+b=d，b+a=c.解得a=(2d-c),b=(2c-d),即=(2d-c),=(2c-d).5.證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).證明：如圖，令=a,=b為基底.=b-a,=a+b,=b-a.設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G1，并設(shè)=,=，則有=-=,=-=,解得=,=.設(shè)AD與CF交于點(diǎn)G2，同理,可得=.G1與G2重合，也就是說AD、BE、CF相交于同一點(diǎn).三角形的三條中線交于一點(diǎn).30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.e1和e2表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作一組基底的是( )

6、A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+3e2和e2+3e1 D.e2和e1+e2解析：3e1-2e2=（4e2-6e1），3e1-2e2與4e2-6e1共線.答案：B2.下面關(guān)于單位向量的敘述正確的是( )A.若e是向量的單位向量，則e與同向或反向B.若e1與e2是兩向量的單位向量，則e1與e2可作為平面的一組基底C.0的單位向量是0D.向量的單位向量e=解析：單位向量是指與a同向且大小為一個單位的向量，故A不正確.若e1、e2是兩個單位向量，則可能反向，故B不正確.易知選D.答案：D3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，則( )A.A、B

7、、C三點(diǎn)共線 B.A、B、D三點(diǎn)共線C.A、C、D三點(diǎn)共線 D.B、C、D三點(diǎn)共線解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.答案：C4.在ABC中，設(shè)=m，=n，D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，則=_, =_.解析：由D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，可得=,=，轉(zhuǎn)化為已知向量即可.答案：5.設(shè)e1、e2是兩個不共線向量，若向量b=e1+e2（R）與向量a=2e1-e2共線，則=_.解析：由共線向量定理，設(shè)b=a，即e1+e2=2 e1- e2.所以解得=.答案：6.如圖2-3-6，在平行四邊形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分別取點(diǎn)K、L、M、N，其中K、N分別為PQ、PS的中點(diǎn)，

8、QL=QR，SM=SR.設(shè)KM與LN交于A點(diǎn)，=a，=q，=s，試用q、s表示a.圖2-3-6解法一：與共線，存在實(shí)數(shù)1，使=1.=+,K為的中點(diǎn)，=,=,=，=+(）=+，即=q+s.=.=+,K為的中點(diǎn)，=q，即=()q+1s.同樣設(shè)=2，=+=+-=-=q-s,=+=+2=s+2q-=(-)s+2q.關(guān)于q、s的分解式是唯一的，=.解法二：由于N、A、L三點(diǎn)共線，故存在R，使=+(1-).=s,=+=+=q+s.= s+(1-)(q+s)=+(1-)q+.=(1-)q+()s.同理，由于K、A、M三點(diǎn)共線，故存在R，使=+(1-).=q,=+=s+,= s+(1-)(s+).=(1-)s

9、+(）q.關(guān)于q、s的分解式是唯一的，=.7.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線.向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量d=a+b與c共線?若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由.解：d=（2e1-3e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（-3+3）e2，如果d與c共線，則應(yīng)存在實(shí)數(shù)k，使得d=kc，即（2+2）e1+（-3+3）e2=2ke1-9ke2.2+2=2k，-3+3=-9k，解得=-2.故存在這樣的、，只要=-2，就能使d與c共線.8.如圖2-3-7，平行四邊形ABCD中，=，=.求證：A、F、E三點(diǎn)共線.圖2-3-7證明：設(shè)=a，=b，由題意，得=a，=（-）=（a-b）.又=+=b+a，=+=b+（a-b）=a+b.=（a+b）=.又直線AE與直線AF有公共點(diǎn)A，A、F、E三點(diǎn)共線.9.如圖2-3-8,在ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求APPM的值.圖2-3-8解:設(shè)BM=e1,CN=e2,則AM=AC+CM=-3CN-BM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2BM+CN=2e1+e2.A、P、M和B、P、N分別共線，存在實(shí)數(shù)、使AP=AM=-3e2-e1，BP=2e1+e2故BA=BP-AP=2e1+e2-（-3e2-e1）=（2+）e1+（