1、精選優質文檔-傾情為你奉上雙曲線及其標準方程（教學設計）一、教學目標：知識與技能：（1）理解雙曲線的定義及焦點、焦距的意義，掌握雙曲線的標準方程 （2）根據不同的題設條件，正確區分兩種不同的標準方程過程與方法：（1）引導學生，通過與橢圓的對比去探索雙曲線標準方程的推導，加深對數形結合思想及事物類比的研究方法的認識（2）從建立坐標系、簡化方程過程中，培養學生觀察、分析、推理的能力情感態度與價值觀：（1）培養學生勇于探索，善于研究的精神（2）通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學氛圍二、重點難點重點：雙曲線的定義及其標準方程的推導難點：（1）理解，及雙曲線左、右支等

2、不同的軌跡情形；（2）令的思維過程，及焦點分別在x軸y軸上的標準方程形式三、教學設計（一）情境設置1、荊門市火力發電廠通風塔圖片和演示截面圖2、初中代數中反比例函數的圖象那么，雙曲線是怎樣形成的？（二）、探索定義1、模擬實驗：取一條拉鏈，拉開一部分，在拉開的一邊取其端點，在另一邊中間部分取一點，分別固定在F1、F2兩點處，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或合攏，筆尖就畫出一條曲線（演示模擬實驗）2、分析問題：（1）動點M與定點F1、F2的距離之差保持怎樣的關系？ （2）這個常數與|F1F2|大小關系？ （3）|MF1|與|MF2|大小關系與M點的位置有何關系? 3、定義：平面內與兩個定點F1

3、、F2的距離的差的絕對值等于常數2a（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線定點F1、F2焦點距離|F1F2|=2c焦距思考題：由定義知|MF1|MF2|=2a(2a>0),2c=|F1F2|若2a<2c，點M的軌跡是什么？ 符合雙曲線的定義，應是雙曲線若2a=2c，點M的軌跡是什么？ 以F1、F2為端點的兩條射線 若2a>2c，點M的軌跡是什么？ 由模擬實驗討論，軌跡不存在（三）探求方程1、雙曲線方程的推導解：建系設點 以F1、F2所在直線為x軸，它們的中點為坐標原點，建立直角坐標系.設點M（x,y）是雙曲線上任一點，F1(-c,0)，F2(c,0)，寫出軌跡上動點M的適合

4、條件由定義可知M點滿足列出方程 化簡方程 移項 平方 整理得 ，即 由雙曲線定義可知2a,即a,設=，方程整理得 這是焦點在x軸上的雙曲線的標準方程，其中，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為 2、判斷下列雙曲線方程焦點的位置 如何判斷雙曲線焦點在哪個坐標軸上？3、雙曲線標準方程與橢圓標準方程的比較 雙曲線標準方程中距離差“-”，有別于橢圓中距離和“+”，雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2 +b2 ,a>0，b>0；有別于橢圓方程中，c2=a2 -b2 ,a>b>0雙曲線標準方程中，如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上

5、有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上（四）應用練習例1 填空題(1)已知雙曲線方程，則a= ,b= ,c= 焦點在 軸上，其坐標為 ，焦距為 (2)如果橢圓與雙曲線的焦點相同，那么a= 例2 已知一動圓過定點M（-4，0）且與已知圓C：(x-3)2+y2=4相外切，求動圓圓心P的軌跡方程分析：根據雙曲線的定義求解解：設動圓P的半徑為r(r>0)，圓 (x-3)2+y2=4的圓心為C (3,0),半徑為2則|PM|=r |PC|=r+2 |PC|-|PM|=2<|MC|=6,又|PC|>|PM|P點的軌跡是以M、C為焦點的雙曲線的左支則c=3, a=1, b2

6、=c2 -a2=8P點的軌跡方程為 (x<0) （五）歸納小結 1、 橢圓與雙曲線聯系與區別橢圓雙曲線定義圖形標準方程焦點坐標焦點位置與標準方程的關系比較分母大小 若x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；若y2項的系數是正的，焦點在y軸上a、b、c關系c2=a2 -b2c2=a2 +b22、布置作業 P108 習題8.3 1、3、4雙曲線及其標準方程（課堂實錄）（課前1分鐘，播放片頭，包括各種物體及音樂）教師：前面我們學習了橢圓的定義和標準方程，并研究了這一圓錐曲線的幾何性質在剛才的片頭中,我們還看到了許多物體，它們的外形是多種形式的優美曲線今天我們來研究其中的一種曲線學生：（興奮、疑惑

7、、有求知欲）（情境設置片頭中的一幅圖片，火力發電廠通風塔）教師：這是荊門市火力發電廠的通風塔，它的截面輪廊線是什么曲線？（演示通風塔截面圖）教師：這種曲線我們似曾相識，初中代數中我們學習的反比例函數，它的圖象就是這樣的曲線（作出圖象）為了使大家觀察得更清楚，我們將的圖象旋轉45°（旋轉后又重新建立新的坐標系給出圖象）教師：（適時提出）它是什么曲線？學生：（回應熱烈）雙曲線 教師：很好（板書）雙曲線教師：通風塔的截面輪廓線是雙曲線的一部分，物理中雙曲線型旋轉體的通風效果是最好的（設計感悟：片頭中的圖片直觀，引起學生對這課堂的興趣，同時對雙曲線有一個感性認識演示通風塔截面圖，從具體到抽象

8、，將實際問題抽象為數學模型，有利于認識事物 旋轉后再建系，這樣符合建系的原則，又為后面推導雙曲線方程中建系埋下一個伏筆另外還注意了物理知識的滲透）教師：雙曲線是怎樣形成的？我們一起來探索一下（邊演示實驗，邊講解）教師：先來做一個實驗：取一條拉鏈，拉開它的一部分，（動畫1）在拉開的一邊上取其端點，在另一邊的中間部分取一點，分別固定在F1、F2兩點處，使一邊比另一邊多出|F2N|（動畫2）在拉動的過程中，我們看到點M隨之變動，選擇拉鏈的好處是使得|MF1|與|MF2|增加的長度相同，都是藍色部分教師：為了顯示的更直觀，將|MF1|與|MF2|平移放到下面來，再觀察一次（重新演示動畫2）教師：我們看

9、到|MF1|與|MF2|增加的長度相同，但是它們的差總保持不變，是這一段紅色的部分教師：（補充）是一個常數教師：（演示動畫3）將筆尖放在點M處，隨著拉鏈的逐漸合攏或拉開，筆尖就畫出右邊的一條曲線此時|MF1|大于|MF2|，且差保持不變，是一個常數若F1，F2互換位置，會得到怎樣的曲線呢？學生：（思考）教師：（演示動畫4）這樣又得到了左邊的這條曲線，此時|MF1|小于|MF2|，它們的差的絕對值保持不變教師：想一想，在剛才的實驗中，動點M與定點F1、F2的距離之差的絕對值保持怎樣的關系？學生1：是一個定值教師：也就是一個常數，很好教師：再想一想，這個常數與|F1F2|大小關系怎樣？ 學生2：小

10、于|F1F2|教師：回答得非常好你是通過哪個幾何圖形看出的？學生：三角形MF1 F2教師：三角形兩邊之差總小于第三邊教師：接著，我們再想一想，|MF1|與|MF2|大小關系與M點的位置有何關系?學生3：當|MF1|大于|MF2|時，M點在右支；當|MF1|小于|MF2|時，點M在左支教師：上面左右兩支合起來叫做雙曲線（設計感悟：選取拉鏈實驗好處是M點不斷運動，但始終滿足差的絕對值為常數跟蹤得軌跡是雙曲線，這是辯證唯物主義觀點的運用，質點運動規律也是可以被學生掌握和應用的逐個的演示動畫1到4，將實驗細化，更清楚更直觀）教師：根據模擬實驗，以及橢圓的定義，你能否給雙曲線下一個定義呢？橢圓的定義是怎

11、樣的？師生：平面內與兩定點的距離之和為常數的點的軌跡教師：那么雙曲線定義呢？學生4：平面內與兩個定點F1F2的距離之差的絕對值為常數的點的軌跡叫雙曲線教師：回答得非常好（板書）定義，用紅色字打出“差的絕對值”，“2a>2c=|F1F2|” 教師：橢圓定義中和為常數，記為2a，雙曲線中差的絕對值為常數，我們也記為2a；所不同的是雙曲線中常數2a小于|F1F2|，橢圓中常數2a大于|F1F2|；同樣這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距，記為2c=|F1F2|教師：雙曲線滿足動點到兩定點的距離之差的絕對值為常數，用數學表達式表示為（板書）|MF1|MF2|=2a(2a>

12、;0且2a2c=|F1F2|）教師：由定義知道，差的絕對值為常數2a2c，能否大于或等于2c呢？我們來討論一下這三種情況的點的軌跡問題1、若2a<2c，點M的軌跡是什么？ 學生5：雙曲線教師：符合雙曲線的定義問題2、若2a=2c，點M的軌跡是什么？學生5：是線段 教師：若2a=2c，即|MF1|MF2|= |F1F2|，M、F1、F2這三點不構成三角形，這三點共線剛才他說是線段，M點在哪兒？師生：在 F1、F2之間 教師：這樣可能嗎？不可能M點在哪兒？哪位同學補充一下？學生6：是射線教師：幾條？學生6：兩條 問題3、若2a>2c，點M的軌跡是什么？ 學生7：是橢圓 教師：橢圓定義中

13、是到兩定點的距離“之和”為常數，我們這里是“之差”滿不滿橢圓定義？師生：不滿足教師：不是橢圓， 教師：當2a<2c時，M、F1、F2這三點構成三角形；當2a=2c時，這三點共線；當2a>2c時，既不構成三角形，又不共線那么師生：軌跡不存在（設計感悟：三個問題的設計，使學生對雙曲線定義中2a與2c的關系，更進一步理解）教師：復雜的曲線可以通過建立適當的坐標系得到簡單對稱的曲線方程，如橢圓的標準方程，那么雙曲線方程如何？教師：我們用求曲線方程的一般步驟，類比于橢圓的標準方程推導過程，共同來推導雙曲線的方程第一步是師生：建系設點教師：你準備如何建系？ 學生8：以F1、F2它們的中點為坐標

14、原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系.設點M（x,y）是雙曲線上任一點，F1(-c,0)，F2(c,0)，教師：這樣建系設點不僅滿足雙曲線的對稱性，而且還使得所設未知數、參數盡可能少且具有直觀性很好教師：第二步寫出幾何條件，第三步根據幾何條件，以及兩點間的距離公式列出方程，第四步化簡方程請同學們類比于橢圓方程推導過程來完成（學生積極思考，認真演算）教師：（在學生討論過程中）對于這個方程的化簡，主要任務是去掉什么？學生：去根號學生9：先移項，再平方 教師：含兩個根式時，將一個移項，再平方學生9：再一次平方得：教師：很好在橢圓方程簡化中我們也遇到了類似的一個方程，我們是怎么處理？師生：設字母b 教

15、師：我們引入一個字母b(b0),使b2=a2 c2，因為橢圓中a大于c我們能否也引入一個量，哪位同學出出主意？學生10：設=教師：雙曲線中a與c關系？學生10：c大于a教師：這個方法很可行，因為是一個正數，所以令=此時即可化簡，結果是師生：教師：這個方程叫做雙曲線的標準方程它所表示的雙曲線焦點在X軸上，其中，（板書）標準方程，焦點在x軸上 教師：如果我們以F1F2所在的直線為y軸，即焦點在y軸上，它的標準方程怎樣？學生： 教師：與橢圓中類似，由坐標變換思想，互換x,y的位置即可得焦點在y軸上的方程（板書）焦點在y軸上， 教師：標準方程形式上與橢圓類似，右邊為1，左邊為平方差的形式；而橢圓左邊為

16、和的形式兩個雙曲線標準方程形式相似，但焦點的位置不同，如何判定焦點在哪條坐標軸上？判斷下列雙曲線方程焦點的位置 學生10：焦點在X軸上，焦點在y軸上教師：是標準方程嗎？學生：不是標準方程教師：你能不能將它化為標準方程 學生10：同時乘-1，得就是方程教師：你能不能幫我們歸納一下，在雙曲線標準方程中如何判斷雙曲線焦點在哪個坐標軸上？學生10：如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上教師：他給了我們一個判定雙曲線焦點位置的方法，而橢圓標準方程中，通過比較a、b即分母大小，判定焦點的位置教師：把雙曲線標準方程與橢圓標準方程作一下比較首先，從方程形式上看有什么

17、不同？學生11：雙曲線標準方程中距離差“-”，有別于橢圓中距離和“+”，教師：a、b、c三者關系有什么不同？學生11：雙曲線中c2=a2 +b2 ,a>0，b>0；有別于橢圓方程中，c2=a2 -b2 ,a>b>0教師：焦點位置判定方法不同（設計感悟：學生自行推導方程教師進行指導，又推導焦點在y軸上的標準方程形式，進行區別，教師適時提出問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？從而突破難點，正確區別兩個不同的標準方程形式）教師：我們來做幾個練習，熟悉雙曲線的定義和標準方程例1 填空題(1)已知雙曲線方程，則a= ,b= ,c= 焦點在 軸上，其坐標為 ，焦距為 (2)如果橢

18、圓與雙曲線的焦點相同，那么a= 教師：先看第1題，快速作答學生12：a=3, b=4，c=5,x軸，（-5，0）（5，0），焦距為10教師：接著計算一下第（2）題學生13：a=教師：雙曲線焦點在哪個軸上？學生13：在x軸上教師：等于多少？教師：在橢圓的焦點也應在X軸上，那么等于學生13：=14-a2教師：14-a2等于5，則a2為9，a等于3，因為a大于0（設計感悟：鞏固雙基，信息反繢）例3 已知一動圓過定點M（-3，0）且與已知圓C：(x-3)2+y2=4相外切，求動圓圓心P的軌跡方程學生：（思考）教師：點P是動點，M點和C點是兩個定點，且在X軸上對稱的兩點；圓P和圓C相外切，兩圓相外切，能

19、得到什么條件？師生：圓心距等于半徑之和教師：|PC|-|PM|=2即，P點到C點的距離之差是學生：是常數 教師：P點的軌跡是什么？學生：雙曲線 教師：我們跟蹤一下它的軌跡來看一看（演示跟蹤軌跡）教師：當我們知道曲線的屬性，就可以用待定系數法求方程，關鍵是求a,b學生14：c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8，P點的軌跡方程為 教師：還需要什么條件？學生14：X0教師：要注意討論軌跡的范圍教師：我們利用雙曲線的定義得到了它的方程（設計感悟：更進一步的掌握雙曲線的定義，用待定系數法求方程）教師：雙曲線與橢圓有區別又有聯系， 我們通過一個表格來比較異同點我們橫向來填空（教師與學生一起來完成表格）橢圓雙曲線定義圖形標準方程焦點坐標焦點位置與標準方程的關系比較分母大小 若x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；若y2項的系數是正的，焦點在y軸上a、b、c關系c2=a2