1、申請揚(yáng)州大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文揚(yáng)州大學(xué) 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文統(tǒng)計學(xué)三大分布與正態(tài)分布的差異年級專業(yè)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 統(tǒng)計學(xué)三大分布與正態(tài)分布的差異中文摘要統(tǒng)計學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，主要通過利用概率論建立數(shù)學(xué)模型，收集所觀察系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，進(jìn)行量化的分析、總結(jié)，并進(jìn)而進(jìn)行推斷和預(yù)測，為相關(guān)決策者提供依據(jù)和參考。它被廣泛的應(yīng)用在各門學(xué)科之上，從物理和社會科學(xué)到人文科學(xué)，甚至被用來工商業(yè)及政府的情報決策之上。而對數(shù)據(jù)的分析過程中就需要利用到數(shù)據(jù)的分布來研究分類。在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布。而由正態(tài)分布構(gòu)造的三大分布在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)檫@三大分布不僅有明確的背景，而且其

2、抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，研究三大分布與正態(tài)分布有助于研究實(shí)際事例，比如經(jīng)濟(jì)安全與金融保險領(lǐng)域、人口統(tǒng)計等。本文討論了三大分布與正態(tài)分布，并將它們之間的密度函數(shù)進(jìn)行比較說明. 第二章介紹了正態(tài)分布的定義、性質(zhì)，三大分布的定義、性質(zhì)。第三章介紹了正態(tài)分布與三大分布的密度函數(shù)，并將它們之間的密度函數(shù)進(jìn)行比較關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；三大分布；密度函數(shù)The Difference between the Three Statistical Distributions and the Normal Distribution AbstractStatistics is a branch of applie

3、d mathematics, the mathematical models are mainly established by the probability and statistics theory based on the collecting the data, so as to conduct the quantitative analysis, and obtain the correct inference. It is widely used in the subjects, such as physical, social science, industrial and c

4、ommercial field, and government intelligence decision. The process of the data analysis will need to use the data distributions to study. In practice, many random phenomena are obedient for the normal distributions, or approximately. And the three statistical distributions structured by the normal d

5、istributions have extensive applications, because these three distributions is explicitly background, and the sampling distribution density function have obvious expressions. Research on the distributions and normal distributions is useful for the study of economic security and financial insurance f

6、ields, population statistics, etc. This paper discusses the three statistical distributions and normal distributions, their density functions are compared. The second chapter presents the definition of the normal distribution, the distribution of nature, three definitions and properties. The third c

7、hapter covers a normal distribution and the density functions of the three distributions, and then the density functions are compared.Keywords: the normal distribution; Three distribution; Density function 目 錄中文摘要2英文摘要21 緒論5 1.1 問題的提出5 1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀5 1.3 本文的主要工作62 基礎(chǔ)知識介紹72.1 正態(tài)分布7 2.2 三大統(tǒng)計分布83 三大分布與正態(tài)

8、分布的比較 12 3.1 三大分布與正態(tài)分布的密度函數(shù)12 3.2 三大分布與正態(tài)分布的密度函數(shù)比較12 3.3 本章小結(jié)164 進(jìn) 一 步 工 作16參考文獻(xiàn) 17致謝171 緒論統(tǒng)計學(xué)，最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表對國家的資料進(jìn)行分析的學(xué)問，也就是“研究國家的科學(xué)”。 18世紀(jì)末至19世紀(jì)末是統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展時期。在這時期，各種學(xué)派的學(xué)術(shù)觀點(diǎn)已經(jīng)形成，并且形成了兩主要學(xué)派，即數(shù)理統(tǒng)計學(xué)派和社會統(tǒng)計學(xué)派。統(tǒng)計分布分為離散型分布和連續(xù)型分布。正態(tài)分布又叫高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它

9、。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。而三大分布是基于正態(tài)分布的基礎(chǔ)上提出來的。統(tǒng)計學(xué)被廣泛應(yīng)用在各個領(lǐng)域中，本章第一節(jié)闡述統(tǒng)計學(xué)的實(shí)際背景知識；第二節(jié)簡述近些年的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀；第三節(jié)說明本文的主要研究工作.1.1 問題的提出取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統(tǒng)計量對未知的總體分布進(jìn)行推斷，為此須進(jìn)一步確定相應(yīng)的統(tǒng)計量所服從的分布，常用的統(tǒng)計分布包括正態(tài)分布，分布，t分布，F(xiàn)分布，所以我們要準(zhǔn)確的分類就必須先弄清楚這四種分類之間的相同點(diǎn)及不同點(diǎn)，所以本論文的目的就是詳細(xì)闡述四種分布的差異。1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ)概率論始于研究賭博的機(jī)遇問題，大約開始于1477年。數(shù)學(xué)家為

10、了解釋支配機(jī)遇的一般法則進(jìn)行了長期的研究，逐漸形成了概率論理論框架。在概率論進(jìn)一步發(fā)展的基礎(chǔ)上，到十九世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們逐漸建立了觀察誤差理論，正態(tài)分布理論和最小平方法則。在20世紀(jì)以前，統(tǒng)計學(xué)的領(lǐng)域主要是人口統(tǒng)計、生命統(tǒng)計、社會統(tǒng)計和經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計。隨著社會、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，到今天，統(tǒng)計的范疇已覆蓋了社會生活的一切領(lǐng)域，幾乎無所不包，成為通用的方法論科學(xué)。它被廣泛用于研究社會和自然界的各個方面，并發(fā)展成為有著許多分支學(xué)科的科學(xué)，比如經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)，管理統(tǒng)計學(xué)，衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)等。就最近幾年來看，國家連續(xù)資助了一系列涉及統(tǒng)計學(xué)及其應(yīng)用的重大科研項(xiàng)目，其中包括數(shù)學(xué)和計算機(jī)在癌癥生物學(xué)中的應(yīng)用、振蕩積分學(xué)與高

11、階schdodinger方程的L_p-L_q估計、衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)中t檢驗(yàn)應(yīng)用的幾點(diǎn)注記、宏觀經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的國際可比性研究等。國際上已對統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行研究，例如在醫(yī)學(xué)方面的Microscintigraphy with high resolution collimators and radio graphicdetectors,在物理學(xué)方面的Determination of grain size distributions in thin films等。1.3 本文的主要工作基于以上的論述，本文的主要研究工作為：首先詳細(xì)介紹正態(tài)分布以及三大分布的定義、性質(zhì)以及它們的密度函數(shù)，然后利用中心極限定理證明

12、分布的極限分布是正態(tài)分布，然后用兩種方法（Stirling和特征函數(shù)）證明t分布的極限分布也是正態(tài)分布，最后利用中心極限定理證明F分布當(dāng)n無窮大的時候接近正態(tài)分布，從而得出證明的結(jié)論，還在進(jìn)一步的工作中可以繼續(xù)證明分布的密度函數(shù)與正態(tài)分布的密度函數(shù)差值的絕對值會小于某個具體的數(shù)字，也可以進(jìn)一步研究F分布當(dāng)m和n都不趨于無窮大的時候是否還是接近于正態(tài)分布，這就是本文研究的主要工作。2 基礎(chǔ)知識介紹2.1 正態(tài)分布 正態(tài)分布（normal distribution）是數(shù)理統(tǒng)計中的一種重要的理論分布 ，是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)。正態(tài)分布有兩個參數(shù)，和，決定了正態(tài)分布的位置和形態(tài)。為了應(yīng)用方便，常將一

13、般的正態(tài)變量X通過u變換轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u，以使原來各種形態(tài)的正態(tài)分布都轉(zhuǎn)換為=0，=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1)（standard normal distribution）,亦稱u分布。定義：若X1，X2，Xn相互獨(dú)立，XiN(i，)，則 特別地，若X1，X2，Xn則 圖1：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖特征1：正態(tài)曲線（normal curve）在橫軸上方均數(shù)處最高。特征2：正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。 特征3：正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參數(shù)，固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動。是形狀參數(shù)，當(dāng)固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線

14、越尖峭。通常用N（，2）表示均數(shù)為，方差為2的正態(tài)分布。用N（0，1）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。特征4：正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。 實(shí)際工作中，常需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總面積的百分?jǐn)?shù)，以便估計該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)分布）或觀察值落在該區(qū)間的概率。正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求得。對于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料，已知均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，就可對其頻數(shù)分布作出概約估計。2.2 三大統(tǒng)計分布一、分布（n為自由度）分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。這個分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、1900年所

15、發(fā)現(xiàn)，它是由正態(tài)分布派生出來的，主要用于列聯(lián)表檢驗(yàn)。定義：若X1，X2，Xn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1），則圖2：的密度函數(shù)圖性質(zhì)1：性質(zhì)2：若，相互獨(dú)立，則性質(zhì)3：性質(zhì)4：設(shè)，對給定的實(shí)數(shù)稱滿足條件:的點(diǎn)為分布的水平的上側(cè)分位數(shù). 簡稱為上側(cè)分位數(shù). 對不同的與n, 分位數(shù)的值已經(jīng)編制成表供查用。圖3：分布的上分位數(shù)二、t分布t分布也稱為學(xué)生分布，是由英國統(tǒng)計學(xué)家戈賽特（Goset，1876-1937）在1908年“student”的筆名首次發(fā)表的，這個分布在數(shù)理統(tǒng)計中也占有重要的位置。定義：設(shè)，X，Y相互獨(dú)立，則稱服從自由度為n的T分布，記為圖4：t分布的密度函數(shù)圖性質(zhì)1：是

16、偶函數(shù)，性質(zhì)2：設(shè)，對給定的實(shí)數(shù) 稱滿足條件的點(diǎn)為分布的水平的上側(cè)分位數(shù). 由密度函數(shù)的對稱性，可得 類似地，我們可以給出t分布的雙側(cè)分位數(shù)顯然有 對不同的與n, t分布的雙側(cè)分位數(shù)可從附表查得.圖5：t分布的上分位數(shù)三、F分布F分布是隨機(jī)變量的另一種重要的小樣本分布，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛。它可用來檢驗(yàn)兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等。F分布還是方差分析和正交設(shè)計的理論基礎(chǔ)。定義：設(shè)，X，Y相互獨(dú)立，令則稱F服從為第一自由度為n，第二自由度為m的F分布。圖6：F分布的密度函數(shù)圖性質(zhì)1：若性質(zhì)2：若，則性質(zhì)3：設(shè)，對給定的實(shí)數(shù)稱滿足條件的點(diǎn)為分布的水平的上側(cè)分位數(shù). F分布的上側(cè)分位數(shù)的

17、可自附表查得.圖7：F分布的上分位數(shù)性質(zhì)4：此式常常用來求F分布表中沒有列出的某些上側(cè)分位數(shù).3 三大分布與正態(tài)分布的比較3.1 三大分布與正態(tài)分布的密度函數(shù)一、正態(tài)分布的密度函數(shù)為特別地，當(dāng)=0，=1時，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為二、的密度函數(shù)為，其中特別地，當(dāng)n=1時，其密度函數(shù)為當(dāng)n=2時，其密度函數(shù)為三、四、3.2 三大分布與正態(tài)分布的密度函數(shù)比較一、設(shè)，則對任意x，有證明：因?yàn)?分布的 所以由獨(dú)立同分布中心極限定理得因?yàn)榍宜砸驗(yàn)樗?令n=2m，利用Stirling公式：則上式=所以分布的極限分布為正態(tài)分布二、t分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即若Xn服從自由度為n的t分布， （1）證法1

18、：由于自由度為n的t分布的概率密度因此（1）式等價于 （2）先利用Stirling公式：證明事實(shí)上，利用函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)n=2k時當(dāng)n=2k+1時亦可推出同樣的結(jié)果。另外，由特殊極限公式可得綜合上訴，即證明（2）式所以，t分布的極限分布是正態(tài)分布。證法2：設(shè)，其中，且相互獨(dú)立。由于Y的特征函數(shù)為，（其中為虛數(shù)單位）故的特征函數(shù)為所以又是單點(diǎn)分布P（=1）=1的特征函數(shù)，所以的分布函數(shù)所以即因此故三、F分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即若，X，Y相互獨(dú)立，則稱 服從為第一自由度為m，第二自由度為n的F分布。證明： 所以 因?yàn)?所以由中心極限定理，當(dāng)時 所以F分布的極限分布是正態(tài)分布。3.3 本章小結(jié) 在實(shí)際應(yīng)用中我們往往在取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統(tǒng)計量對未知的總體分布進(jìn)行推斷，為此須進(jìn)一步確定相應(yīng)的統(tǒng)計量所服從的分布，正態(tài)分布、 分布、t分布、F分布是統(tǒng)計學(xué)最基本的四種分布，還有其他的分布如連續(xù)型隨機(jī)變量的指數(shù)分布、均勻分布等都是我們需要研究討論的，本文只是討論了正態(tài)分布與三大分布的密度函數(shù)差異，所以還有很多工作需要我們研究。4 進(jìn)一步工作在證明分布的極限分布時，用的是中心極限定理，在進(jìn)一步的工作中可以繼續(xù)研究是否可以用Stirling證