1、自動化車床管理問題模型摘 要 本文主要研究的是自動化車床生產工序中刀具的檢驗與更換問題。本文將生產該零件的效益作為衡量檢查間隔和刀具更換策略好壞的標準，因此能否設計出最優的檢查間隔和道具更換策略是解決這個問題的關鍵。為此我們分別建立了三個模型來解決這個問題。針對問題一：該問題屬于優化問題中的數理統計問題。通過對所給數據進行統計分析得知，在刀具發生故障時零件的完成個數符合正態分布。因此我們建立了連續性隨機模型，通過MATLAB編程求解出最終的結果為換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）5252632.3550針對問題二：該問題間建立的也是隨機優化模型。與問題一不同的是工序正常時，會產生不合格

2、產品，工序不正常時會產生合格產品。因此工序正常時增加了因誤檢停機的費用，工序故障時增加了因誤檢而產生的次品損失費用。通過MATLAB編程求解出最終的結果為工序檢查間隔為換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）524753.1831 針對問題三：該問題是在問題二的模型基礎上將檢查方式近一步優化。我們在問題三中運用了連續檢查法，每次連續檢查兩個產品，這樣就會降低誤判的概率，其他的條件不變，最終建立了以平均損失期望為目標函數的隨機優化模型。利用MATLAB編程求解出最后的結果為換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）521583.0009關鍵詞：數理統計 正態分布 隨機優化模型1.問題重述1.1

3、問題背景自動化機床行業是國際公認的基本裝備制造業，是國民經濟的脊柱產業。而其中數控技術的應用不但給傳統制造業帶來了革命性的變化使制造業成為工業化的象征，而且隨著數控技術的不斷發展和應用領域的擴大。國內機床企業大力實施技術創新，在產品結構調整上取得了較大進展。為適應市場需求變化，許多機床企業壓縮了低檔、普通產品生產，加快經濟型數控機床升級換代步伐，著力發展中高檔數控機床及生產線等。在工業生產中，自動化車床刀具的檢測與磨損是比較常檢見的問題，如何測何時更換刀具將直接影響生產成本。1.2問題的相關信息 一道工序用自動化車床連續加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現故障，其中刀具損壞故障占90%

4、，其它故障僅占10%。工序出現故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現故障。現積累有150次刀具故障記錄，故障出現時該刀具完成的零件數見表。現計劃在刀具加工一定件數后定期更換新刀具。150次刀具故障記錄（完成的零件數）548571578582599568568578582517603594547596598595608589569579533591584570569560581590575572581579563608591608572560598583567580542604562568609564574572614584560560

5、617621615557578578588571562573604629587577596572619604557569609590590548587596569562578561581588609586571615599587595572599587594561613591544591607595610608564536618590582574551586555565578597590555612583619558566567580562563534565587578579580585572568592574587563579597564585577580575641已知生產工序的費用參數如

6、下：故障時產生的零件損失費用f=300元/件；進行檢查的費用t=20元/次；發現故障進行調節使恢復正常的平均費用d=3000元/次（包括刀具費）；未發現故障時更換一把新刀具的費用k=1200元/次。1.3所要解決的問題問題一：假定工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品，試對該工序設計效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更換+策略。問題二：如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有1%為不合格品；而工序故障時產出的零件有25%為合格品，75%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為1500元/次。對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略問題三：在

7、問題二的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益。2.問題假設與符號說明2.1問題假設假設一：其他故障的概率同刀具故障的概率相互獨立；假設二：假定所有的檢查都為等間隔檢查；假設三：工序的檢查和換刀時間忽略不記；假設四：每次檢查都檢查本周期內的全部產品。2.2符號說明每個零件損失費用的期望一個周期內損失費用期望總和生產合格零件的期望值換刀前不出現故障的損失費用期望換刀前出現故障的損失費用期望換刀前不出現故障的損失費用換刀前出現故障的損失費用第種情況發生的概率刀具損壞故障的概率密度函數換刀前不出現故障生產的合格產品的期望換刀前不出現故障生產的合格產品的期望換刀前第種情況生產的合格產品的件數每生產個產品

8、檢查一次換刀前出現故障是生產的零件數每生產個零件換一次刀，即換刀周期故障時產生的零件損失費用進行檢查的費用發現故障，進行調節使恢復正常的平均費用未發現故障時，更新一把刀的費用刀具壽命的概率密度函數刀具壽命的分布函數誤檢停機費用3.問題分析 本文主要研究的是自動化車床生產工序中刀具的檢驗與更換問題。題中給出了150次刀具的故障記錄以及所需的一些生產工序的費用參數。通過這些已知條件我們來建立數學模型來求解題目中的三個問題。 問題一的分析：問題一所要解決的是在工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品的條件下，設計出效益最好的檢查周期和換刀周期策略的問題。分析得刀具故障符合正態分布

9、，因此我們建立了一個連續性隨機模型。問題一分換刀前工序正常和換刀前工序故障這兩種情況。分別求出兩種情況下的一個周期內的損失費用總和和生產合格零件的期望值，在求和所出每個零件的損失費用。然后通過MATLAB編程求解出每個零件的損失費用最小的情況下檢查周期和換刀周期策略。問題二的分析：問題二所要解決的是在無論工序正常還是故障時，都會產生合格品和不合格品的條件下，設計出效益最好的檢查周期和換刀周期策略的問題。問題一樣，建立隨機優化模型。由題目可知，在工序正常時的不合格品有1%，而工序故障時的合格品有25%，所以在工序正常時會增加因誤檢停機的損失費用，在工序故障時也會產生誤判，從而會增加次品損失費用。

10、問題二在分析時同樣分為換刀前工序正常和換刀前工序故障這兩種情況。分別求出在問題二條件下的一個換刀周期內總的損失費用和總的生產合格零件的期望值，由此來求出目標函數每個零件的平均最小損失費用。然后就可通過編程求解出檢查周期和換刀周期的最優方案。 問題三的分析：問題三所要解決的問題是在問題二所建立的優化模型的基礎上近一步在檢查方式上進行改進優化。在這里我們建立了一個新的檢查方法,即組合檢查法。先以兩個零件為一個組合，如果兩個零件均為合格，則認為是沒有故障的；如果兩個零件均為不合格品，則認為是有故障的；如果兩個零件中有一個是合格的一個是不合格的，在這種情況下我們再將下一個零件納入此組合內，看第三個零件

11、是否合格，如第三個零件合格，這認為是沒有故障的，如第三個為不合格則認為是有故障的。這樣就可以算出誤檢的概率。在此檢查法的基礎上來建立以每個零件的平均最小損失費用為目標函數的數學模型。然后通過MATLAB編程求解出近一步優化后的檢查間隔和道具更換周期。4.數據分析通過對150次刀具故障的記錄， matlab軟件處理數據可得：圖一由于在自動化車床連續加工零件的過程中，工序故障發生是完全隨機的。而故障出現時該刀具完成的零件數如上表。我們在MATLAB中，用normplot命令畫出樣本圖，在畫出的樣本圖中，如果樣本值都分布在一條直線上，則表明樣本來自正態分布，否則是非正態分布。數據用normplot中

12、畫出（源程序見附錄一）得到的樣本圖4-1由圖一可以假設刀具分布函數使服從正態分布的，由圖二可以看出點絕大多數在一條直線上，進而可以驗證刀具故障分布函數服從正態分布。根據記錄數據可以求出，則有發現這150次刀具故障時完成的零件數近似服從的正態分布。5問題一模型的建立與求解在問題一中我們假定工序故障時產出的零件均是不合格品，正常時產出的零件均為合格品，在此基礎上來設計出效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更換策略。為此我們需要設定一個評價指標，在此我們以在一個周期內的每個零件損失費用的期望值作為評價指標。5.1模型一的建立 目標函數的確定： 確立的評價指標為一個換刀周期內的損失費用期望

13、總和與生產的合格零件的期望值之比，而每個零件損失費用的期望是越小，則效益越好，即：損失費用的期望總和為換刀前不出現故障的損失費用期望和與換刀前出現故障的損失費用期望和之和： 同理得到換刀前生產合格零件的期望值的表達式為： 第一種情況： 換刀前不出現故障，損失費用為檢查費和換刀費之和：其中為一個換刀周期內的檢查次數； 由題目所給的數據分析知：故障時生產的零件數近似服從的正態分布。故刀具壽命的概率密度函數可表示為：則第一種情況下的事件發生的概率為：則換刀前不出現故障的損失費用期望為：第二種情況：即換刀前出現故障，設出現故障之前已經生產了個零件，則損失費為檢查費、故障維修費和零件損失費三者之和 ，其

14、表達式為：第二種情況下發生的概率也就是第個零件恰好為壞的概率，即則換刀前出現故障的損失費用期望為：綜上，一個周期內的損失費用的期望總和為：同理可得生產合格零件的期望值為：綜上所述，問題一的最優模型為：5.2模型一的求解通過對問題一在工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品的條件下進行分析建模，然后通過MATLAB進行編程（程序見附錄二）求解出最終的結果為：換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）5252632.35505.3問題一的結果分析 由題意可知，在工序正常時生產出來的零件均為合格品，而工序故障時生產的產品均為不合格品。在問題一中我們分兩種來計算的一個周期內的損失費

15、用和一個周期內的合格零件數，再通過MATLAB編程求解出最優解目標函數每個零件的最小平均損失費用為2.3550元每個。此時零件的檢查間隔為263件，刀具的額定壽命為525，在數據分析中得出刀具的壽命近似服從的正態分布，而我們求解出的刀具的額定壽命521與刀具壽命的平均值581.18相略小一點，比較符合題目的要求。6.問題二模型的建立與求解 問題二中模型的評價指標和問題一相同，都是一個周期內的每個零件的損失費用，同樣分情況來討論:6.1模型二的建立 目標函數的確立： 評價指標每個零件的平均損失費用越小，效益越高第一種情況：即工序在換刀前不產生故障時，換刀周期內生產的零件為 個，由題知，這些零件的

16、不合格率為1%，我們認為誤檢的概率是1%，此時的損失費用由以下5個方面組成：1) 換刀費用：k2) 檢查費用：3) 誤檢停機費用：4) 零件損失費用：綜上可得損失費用為：換刀前不發生故障的概率和問題一中的概率相同：所以，在換刀前不發生故障的一個換刀周期內的損失費用期望為：第二種情況：即工序在換刀周期內發生故障，假設第次檢查出故障，此時已經生產的零件個數為，前次檢查都是正常的，故障發生前生產的零件個數為，發生故障后直到檢查出來這個期間生產的零件個數為。由題知，此情況下，在正常工作時的次品率為1%，故障時的正品率為25%，故障發生之前生發生誤判的概率還是1%，因此損失費用由以下幾個方面構成：1)

17、檢查費用：2) 發現故障調節的費用：3) 誤檢停機的費用：4) 故障發生前零件損失費用：5) 故障后零件的損失費用：綜上所述，可以得到在換刀周期內有故障發生的情況下的損失費用為:換刀前發生故障的概率和第一問中相同：則換刀前出現故障的損失費用期望為：綜上，一個周期內的損失費用的期望總和為：同理可得生產合格零件的期望值為：綜上所述，問題二的最優模型為：6.2模型二的求解 通過對問題二在無論工序正常或是故障時，都會生產出合格品與不合格品的條件下建立以每個零件的平均損失費用的期望值為目標函數的數學模型，通過MATLAB編程求解出最終的結果為：換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）524753.18

18、316.3問題二的結果分析 由模型二的求解可以看出換刀周期為524，檢查周期為75，平均費用為3.1831。與模型一對比，不論工序故障與否，都會產生合格零件的前提下，其平均費用會比理想條件下，即供需正常時只生產合格產品，工序故障時只生產不合格產品的品均費用高。但這更符合實際的情況。7.問題三模型的建立與求解 根據題目的要求，問題三是在問題二的基礎上改進檢查方法使獲得的效率更高，由此我們采用連續檢查的方法來降低誤檢的概率。組合檢查法如下：連續檢查兩個零件，如果這兩個零件是合格的，則認沒有故障；如果這兩個是不合格的，則認為有故障；如果一個是合格一個不合格，則再檢查第三個零件，如果第三個零件是合格的

19、，就認為工序沒有故障，如果第三個不合格，就認為有故障。根據上面的檢查法，我們分別計算工序正常時誤檢的概率、工序故障時誤檢的概率、檢查費用的期望E(1)誤檢發生在正常工序階段 情況2的概率： 情況3的概率：工序正常時誤檢的概率: (2)誤檢發生在故障工序階段： 情況1的概率：情況2的概率： 工序故障時誤檢的概率：7.1模型三的建立 目標函數的確立： 評價指標每個零件的平均損失費用越小，效益越高第一種情況：換刀前不產生工序故障，在換刀周期內生產的零件個數為，由題知，這些零件的不合格率為1%，則認為誤檢的概率是1%，因此零件的損失費由以下5個方面組成：1) 換刀費用：k2) 檢查費用：3) 誤檢停機

20、費用： 4) 零件損失費用：綜上可得損失費用為：換刀前不發生故障的概率和問題一中的概率相同：所以，在換刀周期內不發生故障的損失費用的期望值為：第二種情況：即工序在換刀前產生故障，假設第次檢查出故障，此時已經生產的零件個數為，前次檢查都是正常的，故障發生前生產的零件個數為，發生故障后到檢查出故障時生產的零件個數為。由題知，此情況下，在正常工作時的次品率為1%，故障時的正品率為25%，因此損失費用由以下幾個方面構成：1) 檢查費用：2) 發現故障調節的費用：3) 誤檢停機的費用：4) 故障發生前零件損失費用：5) 故障后零件的損失費用：綜上所述，可以得到在換刀周期內有故障發生的情況下的損失費用為:

21、換刀前發生故障的概率和第一問中相同：則換刀前出現故障的損失費用期望為：一個換刀周期內的損失費用的期望值為：生產合格零件的期望值為：綜上所述，問題三的最優模型為：7.2模型的求解 通過對問題三在無論工序正常或是故障時，都會生產出合格品與不合格品的條件下建立以每個零件的平均損失費用的期望值為目標函數的數學模型，通過MATLAB編程求解出最終的結果為：換刀周期（個）檢查周期（個）平均費用（元）521583.00097.3問題三的結果分析 由模型三的求解可以看出換刀周期為521，檢查周期為58，平均費用為3.0009。與模型二對比，誤判的概率很大程度上降低了，從而減小了誤損失費用了，提高了效益。8.模

22、型的評價、改進及推廣8.1模型評價優點：(1)考慮了10%的非刀具故障，減少了非刀具故障對檢查間隔和換刀間隔的影響，使結果更優。(2)對故障（刀具、費刀具）發生的概率進行了討論，建立了基于機理分析的概率模型，并且利用“費用期望”的概念綜合考慮了各種情況。(3)模型三采用連續組合檢查法大大減少了工序正常時誤檢的概率和工序故障時誤檢的概率。則減少了工序正常時誤檢停機產生的費用和工序故障而誤檢正常造成的次品損失費用。缺點：（1）模型均采用等間隔檢查法，實際生產中刀具在開始的一段時間內發生故障的概率較小。（2）模型二和模型三在誤判問題上處理不是很全面，可能遺漏一些情況，還有在誤判概率上取值可能不是很科

23、學。8.2模型改進在實際情況下，在工序過程中，各個時間發生故障的概率是不同的，在工序開始階段，工序發生故障的概率很小，隨著生產的進行，機床會出現磨損老化等情況，工序發生故障的概率就會增大。我們結合實際對其進行改進，可以將整個過程分為穩定階段和不穩定階段，從而采用非等距檢查方法。具體操作時因在不同的時間點采用不同的檢查間隔，使各個檢查點之間發生故障的概率相等。若每個周期內需要檢查m次，則我們根據概率密度區線把無故障換刀之前的面積分成m份,=,即可求出每個檢查點的位置。每兩個檢查點之間發生故障的概率就相等，從而大大減少檢查費用。8.3模型的推廣我們建的模型不僅可以用于單道工序加工單一零件的情況，而

24、且可以擴展到多道工序加工多個零件的復雜車床管理系統，還可以用于其他產業的連續生產。參考文獻1盛驟，概率論與數理統計，北京：高等教育出版社，2005.12朱道元等編著,數學建模案例精選，北京：科學出版社，20033劉忠敏等, 車床自動化管理問題的進一步討論，數學的實踐與認識，第30卷第2期附錄附錄一:數據分析中的程序：clear all clc x1=548 571 578 582 599 568 568 578 582 517; x2=603 594 547 596 598 595 608 589 569 579; x3=533 591 584 570 569 560 581 590 575

25、572; x4=581 579 563 608 591 608 572 560 598 583; x5=567 580 542 604 562 568 609 564 574 572; x6=614 584 560 560 617 621 615 557 578 578; x7=588 571 562 573 604 629 587 577 596 572; x8=619 604 557 569 609 590 590 548 587 596; x9=569 562 578 561 581 588 609 586 571 615; x10=599 587 595 572 599 587 594

26、 561 613 591; x11=544 591 607 595 610 608 564 536 618 590; x12=582 574 551 586 555 565 578 597 590 555; x13=612 583 619 558 566 567 580 562 563 534; x14=565 587 578 579 580 585 572 568 592 574; x15=587 563 579 597 564 585 577 580 575 641; x=x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15; hist(x,

27、10); histfit(x,10); figure(2)normplot(x) muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)%muhat,sigmahat,muci,sigmaci分別為均值，標準差，均值的0.95置信區間為【】標準差的0.95置信區間為【】 h,sig,ci=ttest(x,581.1800) 附錄二：%第一問最終程序 clear,clc min=inf;f=300;t=20;d=3000;k=1200; for m=500:600 %m是換刀周期 for n=200:300 %n是檢查周期 p2=0; p=0; p4=normcdf(m,5

28、81.18,20.5129); %p4表示道具發生故障的概率 p1=1-p4./0.9; %p1表示換刀前不發生故障的概率 a=1:m-1; p2=sum( (f.*(n.*(floor(a./n)+1)-a)+d+t*(floor(a./n)+1).*normpdf(a+1,581.18,20.5129)./0.9; %p2表示換刀前發生故障的費用期望 i=1:m-1; p=sum(i.*normpdf(i,581.18,20.5129); %p表示換刀前發生故障產生合格產品的期望 minp=(k+floor(m/n)*t)*p1+p2)/(m*p1+p); %表示平均費用的期望 if mi

29、np<min min=minp;zyb=m;zya=n; end endendmin zyb zya附錄三:問題二的程序：clear,clc min=inf; f=300;t=20;d=3000;k=1200; h=1500;for m=500:600 %換刀周期 for n=20:100 %檢查周期 p2=0; p=0; p4=normcdf(m,581.18,20.5129); %刀具發生故障的概率 p1=1-p4./0.9; %換刀前不發生故障的概率 a=1:m-1; p2=sum( (t*(floor(a/n)+1)+d+floor(a/n)*h*0.01+a*f*0.01+(floor(a/n)+1)*n-a)*f*0.75).*normpdf(a+1,581.18,20.5129