1、一 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現實應用當中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發展過程都顯示出了數學當中的一個定理的發展是一個推翻陳舊，出現創新的一個進程。發現一些新的簡單的定理去替代舊的復雜的定理，就是由初級走向高級。用現代的語言來描述，在一個自變量x從x變為x+1的過程中，如果函數f(x)本身就是一個極限值，那么函數f(x+1)的值也應該是一個極限值，其值就應該和f(x)的值近似相等，即f(x+

2、1)-f(x)10這就是非常著名的費馬定律，當一個函數f(x)在x=a處可以取得極值，并且函數是可導函數，則f'x=0。著名學者費馬再給出上述定理時，此時的微積分研究理論正處于初始階段，并沒有很成熟的概念，沒有對函數是否連續或者可導作出限制，因此在現代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的，最初的定理是函數f(x)在閉區間a,b內任取兩點x0和x1，并且函數fx在此閉區間內是連續的，f'(x)的最大值為A，f'x最小值為B，則f(x1)-f(x0)x

3、1-x0的值必須是A和B之間的一個值。這是拉格朗日定理最初的證明。下述就是拉格朗日中值定理所要求滿足的條件。如果存在一個函數滿足下面兩個條件，（1）函數f 在閉區間a，b上連續；（2）函數f 在開區間（a，b）內可導；那么這個函數在此開區間內至少存在著一點尉，使得f'=f(b)-f(a)b-a.拉格朗日中值定理是導數的一個延伸概念，在導數運算中是的很基本概念。例1：函數fx=2x2-8，即f'x=4x。當x在開區間0,+時，有f'x>0，fx在開區間0,+單調遞增；當x在開區間-,0時，有f'x<0，f(x)在開區間-,0單調遞減。在x=0，有f&#

4、39;(0)=0，f0=-8。由上述例子說明，想要確定一個函數的單調性可以通過求得這個函數的一階導數來求得判斷單調區間。當一個函數在某個確定的區間內，存在著f'x>0，fx在這個確定的區間內單調遞增；f'x<0，fx在這個確定的區間內是單調遞減的。在f'(0)=0時，那么這一點就是這個函數的極值點。在例1中，當1<x<3，f3-f(1)3-2=8=f'(2)，這就是拉格朗日中值定理最簡單的形式。在拉格朗日中值定理中，有兩個要求條件，一個是在一個閉區間內連續，一個是在相同期間開區間可導，不滿足這兩個條件，拉格朗日中值定理在此種情況下是沒有意

5、義的。例2：函數fx=1x-1，這個函數的區間0,2?？梢钥闯鲞@個函數在區間0,2上是不連續的，f1這個值是不存在的，因此這個函數在此區間上面是不連續的。這個函數在此閉區間0,2上是不可導的，根據可導函數的計算方法可以得到f'x=-1(x-1)2=f2-f(0)2-0=1又-1(x-1)2=1，這種情況下x的值是不存在的，所以這個函數在此區間內是不可導的。二 拉格朗日中值定理的證明在微積分相關知識的教材上面，一般情況下在證明拉格朗日中值定理時，經常采用羅爾定理來證明，證明過程中根據題意構建出一個輔助函數來證明定理。在歷史長河中，學者們在對拉格朗日中值定理進行證明的時候最主要的的有四種方

6、法。最開始的一種證明方法出現在著作名為解析函數論一書中。這個證明相對來說是比較直觀的，它是以這樣一個概念為基礎證明的：當導數f'x>0時，fx在一個固定區間內就是單調遞增的；反之，則單調遞減。利用微積分中的求導方法去確定一個函數的單調區間的方法。并且，此時對拉格朗日定理應用要求在一個閉區間中是連續的，也要求在此相同閉區間可導。假設一個變量在區間內連續的變化，那么這個變量相應的函數也會隨著變化的變化而發生變化，有無數的中間值在兩個值之間。在19世紀初時，微積分發生了很大的變化，柯西等數學家在此做出了很大的貢獻，人們對函數進行了很嚴格的定義，極限、連續和導數。在此基礎上又給拉格朗日中

7、值定理提出了新的嚴謹的證明。在19世紀初，學者們對于微分學的系統性定理的詳細研究就拉開了序幕。因為拉格朗日中值定理在微分學中有著相當重要的地位，所以，歷來學者們都對拉格朗日中值定理的研究十分重視，學者們對拉格朗日中值定理的相關研究也是非常多的。比如在歷史上，許多學者都提出了對于拉格朗日中值定理的證明的方法。在歷史長河中，學者們提出的關于拉格朗日中值定理的證明方式主要有四種方式。第一種方式，通過利用羅爾定理去構建一個中間函數去證明。第二種方式，根據先決條件，去建立一個相對更加廣泛的中值定理，然后在縮小范圍去證明。第三種形式，是充分利用積分和在證明過程中不會導致循環去證明一個知識點的其他的微積分定

8、理去證明拉格朗日中值定理。第四種形式時，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的區間，然后采用屬于實數方面的區間套理論去證明。在柯西的著名著作無窮小計算概論中這樣對拉格朗日中值定理進行了證明：如果一個導數f'x在閉區間a,b內是連續的，則在這個閉區間a,b內至少存在著一點尉，使得f'()= fb-f(a)b-a，使f()=0。然后在羅爾定理基礎上對拉格朗日中值定理進行重新的證明?？挛鞫ɡ硎侵福杭僭O函數fx與函數Fx在閉區間a,b內都是連續的，在開區間(a,b)內都是可導的，并且F'x在區間a,b內不等于0，這是對于在區間(a,b)內的一點，使得fb-f(a)F(b)-F(a)

9、=f'F'()對柯西定理的證明和對拉格朗日中值定理的證明兩種方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微積分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函數時，給洛必達法則的運用給以嚴格的證明，是研究函數中最重要的數學工具之一。我們知道羅爾定理：存在著一個函數在閉區間a,b上是連續的，在開區間（a,b）上是可導的，并且這個函數在此開區間（a,b）內的兩個端點值是相等的，即fa=f(b)，那么在這個開區間（a,b）內至少存在著一點尉，使得f()=0。比較拉格朗日中值定理和羅爾定理，可以看出羅爾定理條件中要求兩個端點值相等，但是拉格朗日中值定理不要求兩個端點值相等。因此，如果想

10、要用羅爾定理還證明，那么就應該構建一個端點函數值相等的函數。證明一：利用羅爾中值定理，構建出一個中間的輔助函數做出一個輔助函數，Fx=fx-fa-fb-fab-a(x-a)從上式容易看出，函數Fx在閉區間a,b上面顯然是連續函數，在開區間(a,b)內是可導函數，且Fa=Fb=0，此時，根據羅爾定理可以得到，在此函數上面至少在區間(a,b)上存在一點尉，使得F'()=0，則就可以得到f'=fb-fab-a。在對拉格朗日中值定理的進行證明的過程中，一般都采用構建中間的輔助函數來證明，充分利用羅爾定理。還可以構建下面這種形式的輔助函數來充分證明。首先，令fb-f(a)b-a=t，證明

11、：在開區間（a,b）范圍內至少存在著一個點尉，使f()=t。證明：由于fb-f(a)b-a=t ，可以求得fb-tb=fa-ta。 觀察式，可以看出等式兩邊的形式都是Fx=fx-tx。 假設函數F(x)在閉區間a,b上連續并且在開區間(a,b)內可導，在 Fa=F(b) 時。根據羅爾定理可以得到，該函數在開區間(a,b)內至少存在著一點，使得F=0，也就是說 f-t=0，即f=t，將此帶入式，就能夠得到結論f=fb-f(a)b-a。證明二：利用微積分中的基本定理來證明 先構建一個積分上限函數，x=axf'tb-a-fb-fadt，此時x存在于閉區間a,b內。根據微積分的基本定理可得知，

12、'(x)=f'tb-a-fb-fa顯然，'(x)在閉區間a,b上連續，在開區間(a,b)上可導，并且有a=(b)=0，此時利用羅爾定理可以得到，在(a,b)內至少存在著一點，使得'()=0，那么可以得到，f'b-a-fb-fa=0，所以得到結論f=fb-f(a)b-a。三 拉格朗日中值定理在極限中的應用在學者們對微分中值定理的研究當中，經歷了前后幾百年的時間，由費馬提出費馬定理開始，經歷了從簡單到復雜，從特殊情況到一般情況，從簡單的概念到復雜的概念這樣的發展階段。在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的延伸又銜接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中

13、值定理在研究函數的進程中有著非常重要的作用。在數學知識應用當中，拉格朗日中值定理是對函數研究的一個重要工具，并且有著十分廣泛的應用。這些作用主要表現在以下幾種情況，比如在求導極限定理、求函數極限、證明不等式、說明函數單調性、討論方程的根是否存在的情況和對導數估值等，它在解決數學問題時通常將問題從難化簡，對解決難題起到很好的作用。本文著重講述的是拉格朗日中值定理在極限當中的應用。例3：求極限limx0ex-ecosxx-cosx。解：觀察上式可以看出，先令f=et，這個函數在閉區間cosx,x或者x,cosx上根據拉格朗日中值定理可以得到ex-ecosxx-cosx=e。在x0時，cosx1，可

14、以得到此時0。由式可以得到x0limex-ecosxx-cosx=1，有此式子推出ex-x=ecosx-cosx，那么這個式子就能讓我們聯想到在上文證明拉格朗日中值定理時候出現的式子，然后根據上文中的步驟求證明該函數。令Ft=et-t,可以把這個式子ex-x=ecosx-cosx看作是函數Ft在點x和點cosx這兩點，即F=Fx-F(cosx)x-cosx。例4：求解limxaxa-axa-x。此題和例3的情況是類似的，我們先將此式子的分子加上一個aa，然后再減去一個aa。如，xa-axa-x=xa-ax-aa+aaa-x=aa-axa-x=aa-axa-x-aa-xaa-x此時，容易看出應該

15、構建的函數的形式，令ft=at，gt=ta，假設這兩個函數都在閉區間a,t或者t,a上連續并且在相同開區間上面可導的，并且這兩個函數的兩個端點值都分別相等，就是滿足拉格朗日中值定理的條件，這是就分別存在著兩個點，在x和a之間，當xa時，有a，a 得limxaxa-axa-x=limxaaa-axa-x-aa-xaa-x =limaalna-limaaa-1 =aa(lna-1)例5：limx0sinsinx-tan(tanx)sinx-x此例題與例4是非常類似的題目，根據例4的解題方法，先將分子加一項再減一項。原式=sinsinx-tantanx+tansinx-tan(sinx)sinx-x

16、 =sinsinx-tan(sinx)sinx-x+tansinx-tan(tanx)sinx-x此時，令ft=tant，t=sinx，x=arcsint，假設函數f(t)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，在這種情況下求解這個題目，原式=limx0sec2sinx-tanxsinx-x+limx0sint-tantt-arcsint上式接著推算，根據洛必達法則計算如下 =limx0sinx-tanxsinx-x+limx0sec2t-cost11-t2-1 =6在此題這種情況下，首先就要想到構建一個中間函數去簡化題目。先構造一個中間的輔助函數，然后再根據拉格朗日中值定理的一般形式去求解題目。在解

17、決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因，在現目前大多數微積分的相關教材中，在解決類型問題時多采用構建中間函數運用羅爾定理解決問題。在面對一些題目時，這些函數有可能并不滿足拉格朗日中值定理的條件，需要去構建一個中間函數，去滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后將構建的這一函數與原函數緊密聯系起來，再將構建的函數轉化為原函數，從而根據拉格朗日中值定理的原理去求解題目。例題3和例題4、例5是一種類型的題目，都是極限形式為00的未定式，就可以想到需要構建一個中間函數，此函數滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后對函數采用拉格朗日中值定理的方法去解決問題。例6：存在函數f''(x)是連續的并且

18、有f''(a)0,滿足下列式子fb+x=fb+xf'b+x (0<<1)，求x0 時的極限。解：根據拉格朗日中值定理可以由式子可以計算出函數f'(x)在閉區間b,b+x或者b+x,b的拉格朗日中值定理的形式fb+x-f(b)x=f'b+x,繼上式可以推得f'b+x=f'b+xf''b+1x(0<1<1)。將這個結果帶入式子可以計算得出fb+x=fb+xf''b+x2f''b+x 根據泰勒展開公式把這個函數fb+x展開，可以得到fb+x=fb+xf'b+12x2

19、f''b+2x 由式子可以綜合計算得到，f''b+1x=12f''b+2x然后求極限，所以x0lim=f''b+2xf''b+1x=f''(b)2f''(b)=12。例6這種題目沒有給出函數的具體形式，這種時候應該想到首先一個函數滿足拉格朗日中值定理的需求條件，去簡化題目，在不用函數具體形式時仍然可以求解題目，利用構建的中間函數，運用泰勒展開公式得到函數的展開式，然后綜合計算得到答案。例7：求解函數limx0ln(1+f(x)sinx)cx-1=B，(c>0)且(c0)，求解l

20、imx0f(x)x2。解：這個例題中有多種形式的函數，求解這種題目應該想到將函數形式統一將題目簡化求解。令gt=ct，當t0時，可以明顯看出這個函數在區間內滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此在這個區間內至少存在一個值使得，cx-1=clncxxlnc可以得到cx-1xlnc然后再令ht=ln(1+t)，顯然這個函數在閉區間0, f(x)sinx或者閉區間 f(x)sinx,0內是滿足拉格朗日中值定理需求條件，因此在這個區間內至少存在著一個值使得，ln(c+f(x)sinx)=11+f(x)sinx又ln1+fxsinxf(x)sinx0B=1Inclimx0fxx20就可以求出limx0f(

21、x)x2=BInc例7這種類型的題目，題中給出一個函數的答案，求解另外一個函數的答案，遇到這種題目，就應該主要根據題中給出的函數，將這個函數化解成為所求函數相類似的形式，簡化題目求出答案。例8：假設函數limxcfx-ax-c=B，求解函數limxccosfx-cosax-c。解：此題和上面的例題是類似題目，根據上題解題方法，先化解給出函數。從給出的函數就可以知道函數的分子是在xc的情況下是等于0的，所以分母在這種情況下也應該為0，那么在xc的情況下，fc=a。 這就說明這個函數在c這一點是連續的。令ht=cost，當fxa時，這個函數在閉區間a,f(x)或者閉區間f(x),a上已經滿足了拉格

22、朗日中值定理的需求條件，而且在此區間內至少著存在一個點，使得limxccosfx-cosax-c=limxcfx-asinc-x=-Bsina例7和例8 都是根據題目給出的函數進行計算，去推導所求的的函數，在推導過程中去求解，簡化了題目，如果計算時，是根據給出題目單獨求解出fx的取值，直接把題目復雜化。例9：求出函數極限limxx2Inarctanx+1-Inarctanx。解：此題目是典型的極限形式為0型，在此我們應該先應用洛必達法則去求解。但是在計算過程中會發現，運用洛必達法則去求解這個函數會十分復雜，因此我們會發現Inarctanx+1-Inarctanx這個形式剛好可以看作是函數fx=

23、Inarctanx在此閉區間x,x+1上面的兩個端點值的差值，所以我們能夠運用拉格朗日中值定理去求解這道題目。首先，我們先建立一個輔助函數fx=Inarctanx，然后再求解。令fx=Inarctanx，此函數在閉區間x,x+1上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點在此閉區間上面。Inarctanx+1-Inarctanx=1arctan11+2因為點是在此閉區間x,x+1內的一點，所以x<<x+1，可以得到x21+x2>x21+2>x21+(1+x)2那么在x時，則limxx21+x2=1，limxx21+(1+x)2=limxx21+x2=1，通過

24、夾逼定理就可以知道limxx21+2=1所以，根據上面的計算，原函數=limxx2arctan11+2=limx1arctanlimxx21+2=2?？梢姡谟龅竭@種典型極限形式為0型時，如果采用洛必達法則反而更加麻煩的時候，應該多觀察題目是否可以運用拉格朗日中值定理來求解題目，簡化題目，接下來看一個類似的例題。例10：求解極限limx1(a1-xa-b1-xb)(a,b>0)。解：此題也是一種典型極限形式為型，一般這種情況下，我們都會先采用洛必達法則求解，但是這道題目和例9一樣，運用洛必達法則只會使題目更加復雜化，此時，我們觀察題目可以看出和例9類似，可以運用拉格朗日中值定理來求解題目

25、。首先，我們先假設一個輔助函數fx,y=y1-xy。令fx,y=y1-xy，此函數在區間上面滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此把點a,b當做是在區間里面的兩個取值，因此利用拉格朗日中值定理求解。a1-xa-b1-xb=(a-b)1-x+xInx(1-x)2，其中這個值在a與b之間的值，所以，原式limx1(a1-xa-b1-xb)=a-b1-x+xInx1-x2 =a-blimx1-Inx21-x=a-b2 可以看出，雖然這種題目也采用了洛必達法則，但是在使用洛必達法則之前，先采用拉格朗日中值定理將題目簡化，會讓計算過程中的復雜度減小了。因此，在面對上面兩種情況下去求極限，先觀察題目，如果題

26、目中很容易就可以構建出一個函數，并且構建的這個函數剛好滿足拉格朗日中值定理的需求條件，就可以采用拉格朗日中值定理去求解題目，先將極限轉化，再去求解函數。這會與直接用洛必達法則求解有不同的效果，簡化題目。這就是平時我們做題之前要先觀察題目的必要性。同時，這種類型的題目告訴我們，在我們面對復雜的多元函數的題目時，可以對其中一個合適的變量采用拉格朗日中值定理，然后其他的變量就看做常數，使計算過程更為簡便。例11：求解函數limx0(na-n+1a)。解：通過觀察，很容易就發現這道題目應該采用拉格朗日中值定理，先構建一個輔助函數，可以看出的是na-n+1a 就是f(b)-f(a)。所以，令fx=ax，很明顯這個函數在閉區間1n,1n+1內是連續的，并且在該區間此函數滿足拉格朗日中值定理的需求條件，利用拉格朗日中值定理可以得出，a1n-a1n+1=aIna(1n-1n+1)并且其中1n>>1n+1，此時，