1、Chapter4聯立方程模型本章關注的目標不止一個，而是多個。或者其中關注的某一目標與其它目標有內在聯系，如果我們不知道其它的目標，就不可能知道要關注的目標。例如，我們要知道某一商品的市場價格，我們必須要同時知道該商品的供給曲線和需求曲線。自然也就存在多因多果的關系問題。從內生性問題角度看，某一解釋變量從另一方面考察可能成為的結果，那么就是原因，因為中有的成分，從而不成立，產生內生性問題的第3種情形，聯立性問題。在第二章現代觀點理念的陳述中，把Y看成是一個隨機向量，所有的語言經過適當的修正，完全可以類似重復。但由于因變量Y的個數的增加，也就帶來了許多“單方程線性回歸模型”不曾有的問題。本章主要

2、討論聯立的線性系統。內容有，聯立方程模型的表述，各種估計和檢驗的假設條件，系統的可識別，以及一些專題。其中GMM方法是本章的特色。它把2SLS的方法又提高了一步。一、基本概念和模型系統：多個變量間的相互聯系，一般用方程表述。線性系統則認為它們的聯系是線性的。變量：描述系統狀態的基本要素。變量分成兩類。一類是內生變量，含義是，一旦系統變量間的相互聯系確定，這些變量的值就是完全確立的。內生變量一般是系統要關注的對象。另一類是先決變量，含義是，它們的值不是由系統直接確定。它又分成：（1）外生變量，它的值由系統的外部給定；（2）滯后的內生變量，它的值由內生變量的前期確定。有時，（1）（2）不加區分統稱

3、為外生變量。不過這兩種內生變量有實質性區別，后一種滯后變量會帶來內生性問題。線性模型：系統中的變量通過線性方程或加上隨機誤差項聯系，稱為聯立系統的線性模型。模型分成簡約式（reduced formed）和結構式（structure form）兩種：1、簡約式：每個內生變量由系統的先決變量的線性式加隨機項構成，先決變量前的系數稱為簡約系數。2、結構式：每個方程由內生變量和先決變量的混合線性式或加隨機項構成。結構式有以確定的經濟內內涵，它們從理論模型簡化而成。一般把結構式分成四類：可加隨機項（1） 行為方程（2） 技術方程不可加隨機項（3） 平衡方程（4） 定義方程每個結構方程中，變量前的系數稱為

4、結構參數。系統的描述：Y表示內生變量，設共有G個內生變量：X表示先決變量，設有M個先決變量：U表示隨機誤差，誤差項的個數隨行為和技術方程的個數來定。例：簡單的宏觀消費投資模型：消費方程：投資方程：平衡方程：則：內生變量：，先決變量：隨機誤差：。聯立方程模型主要分成三類：（1） 似無關模型（Seemingly Unrelated Regression）(SUR模型)模型中每個方程都是reduced form,且有不同的先決解釋變量和因變量，并有各自的參數值G。相關聯的僅是不可觀測的誤差項。可以理解為系統有一個共同的環境，且系統因果關系由隨機項構成。由此設定：，=1G。這是一個很強的假定，意味著任

5、意與不相關，弱一些的假定是：，=1G,但不要求不相關。總體上，可能與其他外生變量（不等于j）相關，似無關的含義是指后一種含義。（2）面板數據模型（Panel Data）（PD模型），=1,2。這里，先決解釋變量，因變量和參數值都相同，區別的僅在于,一般理解為不同時段，也可以是其它指標如不同地區、城市等，可理解為不同的導致不同的隨機誤差。故和可以不獨立，也可以不同分布等，視各種實際情況而定。注：1、這種簡單形式的面板數據模型，可以看成是一類特殊的聯立方程。其他各種特征的面板數據模型將在第五章中介紹。SUR和PD是聯立方程的特殊形式，其特點為每個內生變量都可以寫成單方程的多元線性回歸形式，且都是正

6、確設定的。區別是，SUR模型每個有自己的外生變量，而PD則是所有都有相同的外生變量。2、另一種介于SUR和PD模型的聯立式稱為跨方程的聯立式，含義是：如果某與中有相同的先決變量，且參數值相同，那么可將與合并成跨方程的聯立式，如：，并將其看成是一個整體。（3）同時性模型（Simultanious Equation）(SEM)這里，是指不包括在內的其它變量的部分（）；是指先決變量的部分（）；和是變量和的參數；是隨機誤差。即同時性模型是把每個內生變量寫成其它部分內生變量和先決變量的線性式。因為SEM模型中右邊方程中含有其它內生變量，所以內生變量是同時確定的。它不能象模型（1）和（2）那樣，單獨就可以

7、確定。如果我們能夠通過線性變換把SEM中右邊的內生變量部分消去，得到它的簡約式，那么SEM也可以象SUR和PD那樣處理。我們把SEM左邊的每個都移到方程的右邊，使其得到按行排列的統一的緊湊形式：。這里，是1×矩陣，是1×M矩陣，且可以觀測抽樣；是G×G矩陣，是M×G矩陣，是未知參數；是1×矩陣，是隨機誤差。注：緊湊式也可按列排成按行的轉置形式：。采取那種方式視方便而定。假定可逆，否則內生變量中的選擇至少有一個是多余的，且是隨機誤差的協方差陣，為G×G的非奇異矩陣。那么模型可以方便地轉化成簡約式：。但是，將SEM寫成簡約式面臨一個問題：

8、當我們從簡約式得到的估計，在什么條件下，我們可以從得到和的估計和，稱為系統的可識別問題。這個問題不是顯然的，甚至有點微妙。因為與是原模型的未知參數，有其經濟含義，如果從得不到和的估計和，的估計就沒有意義。這個問題我們放到后面討論，先討論聯立方程模型的估計和檢驗。二、.聯立方程的估計和檢驗為要利用單方程的多元回歸方法，我們先把聯立方程中的三種形式統一處理成的矩陣形式。（1）SUR模型。（2）模型。（3）SEM模型。這里是G×K矩陣，G、K視不同聯立形式而定。加上下標表示第次隨機抽樣。類似于單方程模型，對聯立式的估計與檢驗我們有如下假定：假定：Sols1:成立；Sols2:非奇異 成立。

9、那么，。從總體中隨機N次抽樣，由得到：寫成矩陣表達，Sols，與單方程形式上一致，但矩陣、的內涵是不一樣的。這里，,，。對SUR，是NG×K矩陣，對PD，是NT×K矩陣。同樣有，。又記，殘差，將排成列得，。那么，。于是，的漸近協方差估計，稱為穩健的協方差估計。且值。當N很大，近似于標準正態分布。注：1）在聯立方程模型中，對誤差項協差矩陣是沒有任何限制的。故僅是一個正定陣，所以方法僅能保證是一致的，不一定是有效的。由于的復雜性，如果未知，一般方法估計的效果是很差的，只是作為其他估計方法的過渡。 2）關于檢驗，利用Wald統計量，秩。對不同的問題選擇適當的和，可進行的有關線性組

10、合的檢驗，不再需要任何其它假定。2、聯立方程的GLS估計與檢驗Sols估計盡管皮實，條件要求少，但畢竟有效性差。如果對隨機誤差項有更強的假定條件，則可對Sols估計做進一步的改進，稱為廣義最小二乘估計。假定：SGLS1：0,。含義是中每個元素同中每個元素都不相關。是Kronecker乘積：，。的含義是對矩陣的線性變換。與SGLS1等價的條件是：， ；假定SGLS2：正定，且非奇異。那么對，用乘兩邊得，即。于是有，。隨機抽取樣本N，對變換后新的模型做，得廣義最小二乘估計，記成SGLS。，是一致估計。再寫成矩陣式：。這里是NG×K矩陣，是NG×1矩陣。并仍可以證明，SGLS是漸

11、近正態的。即，。由于一般未知，用SOLS殘差,由向量組的弱大數定律（WLLN），我們有：。把作為的一致估計，代入到上述表達式當中，便可得到可行的廣義最小二乘估計FGLS：。當N相對G不是很大，有很差的有限樣本性質。我們需要獲取更多關于的信息，才能得到更好的的形式。如獨立性、序列相關性，等等。獲取FGLS的步驟：（1）得殘差和、；（2）再由公式立得。可以證明，即FGLS與GLS漸近等價。從而有漸近正態性。FGLS與SOLS相比，在充分信息條件下：，含義是中每一分量的方差和它們的協方差與無關。這是系統同方差假設的一種表示。直觀講就是如果，那么FGLS有更好的有效性。可得漸近方差估計：=。一般條件太

12、強，減弱為下面的：假定SGLS3:，。有關FSGLS的線性組合的假設檢驗：一般用Wald檢驗，與OLS類似。但當SGLS13成立，一種類似單方程基于殘差形式的F檢驗則更方便。設對有Q個約束條件，是帶約束條件下的FGLS的殘差，是不帶約束下FGLS的殘差，是無約束下的用SOLS殘差平方和做的估計。那么，可以證明：進一步，在有限樣本條件下有類似殘差形式的F統計量： 利用F統計量可以方便地做的部分參數為0的檢驗。注：SOLS和SGLS只能用于單方程是正確設定的聯立方程，對SEM由于內生性基本不能用。FGLS本質是解決聯立方程估計的有效性問題，但需要有更多的信息條件。當是對角陣時SOLS和SGLS沒有

13、區別。具體到SUR或PD，對誤差項的設定還要具體分析。3、聯立方程的工具變量估計和GMM方法正如單方程模型會遇到內生性問題，聯立方程模型更容易遇到內生性問題。特別對于SEM模型，內生性是不可避免的。因為結構式中已包含有其它的內生變量，從而從結構式到簡約式的轉化中，自然也把誤差項帶入了其它的結構式中。由于內生性的存在，我們知道，這使得SOLS和FGLS是有偏和不一致的。SOLS和FGLS方法基本不能用。我們把單方程模型中消除內生性的工具變量法引入到聯立方程模型中來，并由此引入更一般的廣義矩（GMM）方法。另外，從聯立方程的可識別中，合理安排每個方程的外生變量還可以自己解決工具變量的尋找問題。把聯

14、立模型形式的寫成類似SUR模型的形式：；，。對每一個，是1×向量，既包含有外生變量，也包含有內生變量。從而與有相關性。如同單方程工具變量法一樣，對每一結構方程，選擇工具變量是1×向量，它們是可觀測的外生變量，且，中包含單位和其中的外生變量。滿足工具條件：SIV1：，；SIV2：秩，。對任意的觀測,用下標包裝成矩陣形式：，；, 。相應的， L。如果，。由假定SIV2，非奇異，從而，是K×K非奇異矩陣。對兩邊乘上，取期望得。對隨機抽樣，。仍設和是NG×K的樣本觀測矩陣。那么可得聯立方程模型的工具變量估計，并由假定SIV1，知。但是，如果，那么就不再是一個方陣

15、，我們無法直接得到SIV。或者說，我們可以在L中任意選擇K個工具變量，選擇哪個？回憶，對過度識別的工具變量集，我們選擇的是它們的線性組合作為新工具變量，這事實上是對進行了特殊的線性變換。下面，我們換一種思路，即所謂的廣義矩陣估計（GMM漢森1982）方法。該方法的基本思路是，如果我們引入了外生的工具變量替代了原方程的某些內生變量，那么選擇原方程殘差平方和最小的標準就不一定最合理。由于工具帶來了“信息”，應當選擇與工具變量相關的“加權”的殘差平方和最小。討論如下：由SIV1，。再由大數律：。但固定N， ，這樣的不一定存在。退一步，選擇使得：以為“權”的平方和取最小值。這種思想是OLS方法的自然推

16、廣。特別當，就是OLS方法。還應當考慮誤差方差對估計的不均勻影響，類似于GLS方法，如果已知的有關信息，找“權”作為工具使得方差影響變得均勻。為此，一般的定義，找一個與工具變量和工具變量協方差相關的矩陣作為“權”。定義：設是一個L×L的已知正定矩陣，如果是求解下式二次型的最優解，則稱是廣義矩估計GMM。因為正定，故有分解=，令，。則：。故得：。可以證明，是一致和漸近正態的，且,其中，。這里是一非隨機的給定的與工具的方差信息有關的矩陣。我們補充假定：SIV3：是一已知的隨機矩陣序列，且有。特別，取，則。類似于單方程的2SLS估計，故稱聯立的S2SLS。S2SLS滿足SIV13的條件，故

17、有一致性和漸近正態性，但不一定是漸近有效的。下面的問題是，我們需要尋找一個更好的序列，使得估計具有最小方差性，稱該為最優權矩陣。最優權矩陣的求法：1） 設是的一個任意一致估計，大部分情況下，取是聯立的S2SLS最方便；2） 有了，對每個，得到G×1的殘差向量：；3) 再得到，且；4）選取；補充假定SIV4：W，。，則為漸近有效的GMM估計，稱為最小“卡方”估計，記成，或。證明：因為滿足SIV13條件下，的協差矩陣，而滿足SIV14條件下，的協差矩陣簡化為。要說明是漸近有效的，即要證半正定，即要證半正定。注意到，正定，。是冪等矩陣，它是半正定的，半正定。又，如果我們有關于工具變量與誤差

18、項乘積方差可分離的信息，一個條件期望下的充分條件是：。令。補充假定SIV5：。現在用，是S2SLS殘差。知。選取。（注意與不同）那么，在SIV15條件下：。（不必記憶）稱為的GMM三階段最小二乘估計，記成。3SLS是無偏、一致、漸近有效的。注1.當條件SIV5不成立時，3SLS就不如最小卡方Kai-來得好。即使SIV5成立，3SLS也不一定比最小卡方Kai-表現好。但現在仍多用3SLS，部分是歷史原因，另外在相對少的樣本量情況下，3SLS有效性比最小卡方Kai-表現好。 2.傳統觀點下，3SLS與上述的GMM方法得到的3SLS有所不同。傳統的3SLS方法是：1第一階段,得；2第二階段，和，得2

19、SLS殘差和；3第三階段對做GLS，得。注意，在SIV1SIV3假定下，G3SLS是一致的，但傳統的3SLS不一定是一致的。3 聯立方程模型有多種估計方法，對模型的要求是，估計精度越高，要求越高。我們不一定要一味追求高精度。例如我們僅關注第一個結構式的，那么我們僅按單方程模型要求和秩就可得的2sls，而不必對系統的其它方程尋找更多的工具變量。具體問題要具體分析。由于某些方程的設定采用了3SLS方法，會導致問題復雜化。數據、模型、計算機是為人服務的，在熟練掌握計算機軟件的前提條件下，把多種估計方法加以比較，并做出合理解釋。大量的實踐經驗是必不可少的。具體舉例略。我們知道，是在給定工具變量集下的最

20、優權矩陣。進一步的問題是，選擇滿足什么條件的工具變量集是最優的。換句話說，工具變量并不是越多越好，因為太多的工具變量造成過度識別，產生非常差的有限樣本性質。（減少自由度，有效性降低。）關于最優工具變量集，我們有陳述如下的定理：最優工具變量定理：如果對某一向量集滿足：，。即對每個結構方程都是外生的。那么，取，其中，若秩，則是最優工具變量。 該定理說明，一旦我們得到，所有其它有關的函數作為工具變量加入是多余的。例如，GLS方法。，且。那么最優工具是。問題是和的驗證，如果沒有更多的信息假定，我們沒有更多的手段。4 聯立方程模型的假設檢驗（1）有了Kai-和漸近方差=。這里，有時直接用2SLS代替，也

21、不受影響。又當SIV5成立，有3SLS和漸近方差=。這里，。那么，對一切的線性約束檢驗問題：。可采用Wald統計量進行檢驗，其中R是Q×K矩陣，且秩RQ，W。（2）另一種類似F檢驗，用殘差表達的統計量。如果在約束條件下采用GMM方法，估計易得，如約束為部分系數為零，那么更為方便。采用最優權矩陣（）得到無約束的Kai-估計，殘差為，又是同樣采用最優權矩陣，但是在滿足個線性約束條件下得到的估計，殘差為。可以證明，為真，那么：，又在SIV5成立的條件下，上式可約化成：，其中，是聯立方程的2SLS的殘差。（3）過度識別的檢驗如果工具集的個數大于的個數，那么存在過度識別的問題。用統計量：，拒絕

22、原假設表示過度識別。三、聯立方程模型的可識別回憶在2SLS的理論中，要求選擇工具變量Z滿足秩，。否則就有可能不能識別，即不一定能得到IV。這種問題在聯立方程模型中，由于內生變量允許在其它方程中出現，存在的可能性幾乎肯定，而且表現更復雜。例：供給方程：需求方程：其中，。平衡方程：。那么，由于和是隨機變量，故，不可觀測。我們無法得到內生變量，的結構參數的任何信息。現在，在需求方程中引入外生變量收入，且可觀測。考慮：，。那么可解得：， 。得到：，。由于，可觀測，通過OLS方法可求得參數估計：，。又由于，這意味著供給方程是可識別的。因為供給方程中不包含有外生變量，它的信息可對供給方程提供幫助，但需求方

23、程仍無法識別，沒有系統的外生信息可以利用。如果再引入外生變量稅收，且放到供給方程中：供給方程：需求方程：；則可解得：，。同樣通過OLS方法可得：，并通過，可等到 結構參數和。但是，不是在供給方程中加入稅收，而是在需求方程中再加入新的外生變量，如金融資產，那么供給方程就會多增加一個外生信息來源的選擇，而需求方程仍沒有外生信息來源可利用。可見，聯立方程模型的結構式的某方程的參數可識別與其它方程引入的外生變量和本方程的內生變量的個數有一定關系。一般，識別問題的提法如下：定義：設聯立方程結構式為，如果能從聯立方程模型的簡約式的估計中得到結構式的參數和的估計和，則稱聯立方程模型是可識別的，否則稱為不可識

24、別的。又如果可識別的結構參數存在唯一的取值，就稱模型是恰好識別的，否則稱為過度識別的。注：模型不可識別，指的是聯立方程中有某一方程無法從簡約式得出該方程的所有結構參數，如例中的需求方程。過度識別則是得到的結構參數值不唯一。這就意味著，過度識別的模型有一個取優的問題。如前述的GMM方法。現在，為要使聯立方程模型可識別，當且僅當每個結構方程可識別，無妨考察第一個結構方程可識別的必要條件。從的結構式，把第一個結構方程形式的寫為：。這里是1×的，是方程中內生變量的個數，是1×的，是方程中外生變量的個數。又記；又從的簡約式得到的關系式為， 。這里是已選擇好的個所有外生變量作為工具變量

25、。又定義×選擇矩陣，它由0和1兩元素構成，使得：成立。所以，。對第一個結構方程作為單方程是可識別的，由條件：秩，。，由秩，秩。即是列滿秩的矩陣。，于是得到：定理1：可識別的階條件（必要條件）第i個結構方程中，不包含在方程中的外生變量的個數必須大于等于方程右邊內生變量的個數，。接下來討論充分條件。可識別的階條件并不充分，可以舉出滿足階條件，但不可識別的例子。問題的提法是，什么條件下能從的簡約式能回到結構式？我們先看結構式與簡約式的關系：結構式，是1×G的向量誤差項，是G×G矩陣， 是M×G矩陣。假定：非奇異，。那么，可解得：。這里，V，又令。如果，且秩，那

26、么由SOLS方法和隨機抽樣，可以得和的一致估計。問題是，從和能否回到結構參數矩陣，和？條件顯然不夠。因為結構式乘上任意非奇異G×G矩陣，得，即。它與原結構方程它們是同解方程，有等同的簡約式。由的任意性，此意味著有個參數是自由的，又由于非奇異限制，加上誤差項方差陣的有關信息，個限制還可以減弱。于是，必須對模型中，和有所限制，一般歸結為以下四種：1歸一化約束：（normalization restriction），即。限制第個結構式系數。將移到右邊，與相對應。稱為是歸一化的約束。這共有G個約束條件，是一個自然約束。2同方程參數線性約束（homogeneous liner restrict

27、ion） 令是一個（G+M）×1的向量結構參數，且滿足歸一化約束條件，從而有GM1個未定參數，假定關于的先驗知識可以寫成線性約束的形式：，。是×（GM）的已知矩陣， 是關于的約束數，并假定秩。例：一個三方程的聯立系統：G3和M4。設第一個結構方程為：。那么：，。如果設定一個常數項，那么，又假定對的約束有：和，那么2,且，從而為滿足對的同方程線性約束條件。現在令是（GM）×G矩陣，則就是的第列，又記，。則的第i列就是。限制。這是齊次線性方程組。例如，對第一個結構式方程，如果可識別，意味的參數是確定的。因此，齊次方程組只有唯一的基礎解系。又由于有列，從而加在上的限制使

28、得可識別的充分必要條件是秩。定理2：（可識別的秩條件）滿足歸一化條件的結構方程i的參數是可識別的，當且僅當加在上的同方程線性約束滿足秩。因為有G列，且秩（列滿秩，否則設定的某列參數無意義）。所以，我們必有秩，設秩，于是，我們得到另一種表述的階條件。定理3：（可識別的階條件）聯立方程第i個結構式可識別的階條件是，加在第i個結構式上參數的約束個數必須大于等于G1.從而，則第i個結構式是不可識別的，則第i個結構式是過度識別的。例：（滿足階條件但不滿足秩條件，不可識別的例）其中（為截距項），且。對第一個結構方程，按歸一化約束，設和，方程右邊的內生變量有兩個，但不含的外生變量也有2個，第一個結構方程滿足

29、階條件。再檢查秩條件。的限制條件是和，于是，又從第二個結構式知：，。， 秩，不滿足秩條件。 故第一個結構方程不可識別。又第2個結構方程可識別的條件為或，或作為的工具變量。第3個結構式不含內生變量是自然可識別的。3 跨方程的參數約束（Cross equation restriction）前述討論結構參數的約束都在同方程中，毫無疑問，如果結構參數的約束是跨方程的，也將為可識別問題提供幫助。我們不一般討論跨方程的約束的問題，因為太復雜。這里只是通過舉例說明： （1） （2）滿足、與、不相關，可以是常數項，無任何其它先驗信息。則第一結構式是不可識別的，且第二個結構式當且僅當是恰好可識別的。現在考慮一個

30、跨方程的約束條件：假定。意味著解釋變量對因變量和的解釋作用是等同的。于是由（2），作為的工具變量，用2SLS，可得到，再對；用作為的工具變量，只要用2SLS，可得到，且估計是一致的。從而（1）可以識別。但是，用這種單方程方法得到的協方差估計和，標準差估計，由于初始估計的影響，可能不是漸近有效的，這會影響到檢驗。解決的辦法是：把跨方程約束代入，將原聯立方程改寫成如下形式：，參數不再在方程中出現。選擇工具矩陣，即用所有的外生變量作為每一個方程的工具變量，采用聯立方程的GMM方法或3SLS方法可得一致、有效的估計。4、協方差約束（Covarionance Restriction）聯立方程中誤差項之間

31、的有關信息也能為系統識別提供幫助，請看兩例：例1：（1） （2） 如果，則（1）是恰好可識別的，（2）是不可識別的。現在假定對誤差項、有協方差限制：,設，則從限制知是對角矩陣。由于（1）可識別，從而可得到，的一致估計，并由此可得到的一致估計。由已知與不相關，且與必定偏相關，因此我們可以用，作為的工具變量估計（2）。所以（2）也是可識別的。我們可以用2個來完成估計。步驟：1。用，為的工具變量對（1）做，并得到殘差；2用，為的工具變量對（2）做。但是做檢驗，還要保證估計協差陣的一致性和漸近正態性。因為是一個廣義工具變量，涉及到非線性的問題，需要加強條件。（請參閱伍書P194195）例2：完全迭代（

32、遞歸）的系統模型（fully recursive system） (1)(2)(G)系統中，如果限制假定，。那么，從（1）開始做OLS，得到；代入到（2）,滿足OLS1和OLS2的條件，（2）再做OLS，得到；如此下去，可得到迭代系統是可識別的，且估計是一致的。但是，OLS方法得到的估計有效性較差，特別是方程個數G很大。注：協方差約束常用在向量時間序列的分析中，因為沒有其他的外生變量加入到中。最后舉一個例：同時考慮已婚工作婦女的勞動供給條件，與工資方程一起建立聯立結構模型：。假定，這里是6至18歲孩子個數，是非勞動收入。注意，認為過去的經驗對當年工作小時沒有影響，常被勞動經濟學采用。故和不在供

33、給方程中出現。又供給方程只有一個內生型變量，所以供給方程是含有一個過度識別的方程。又不在需求工資方程中出現，且需求也只有一個內生性變量，所以需求方程是含有3個過度識別的方程。對第一個勞動供給方程，先不考慮內生性問題，做。然后利用第二個方程的所有外生變量作為工具做，加以比較。數據來源是MROZ.RAW，樣本是428個已婚工作婦女的年工作小時。以下是回歸結果：;。關于，盡管統計顯著，但負號明顯不符合實際意義。有內生性，估計不一致，不能用。關于，的回歸系數是單位小時。在樣本平均值處，1303。得到彈性。此說明，工資每增長1%，工作小時會增長1.2%。估計仍然偏大。因此，也不滿意。關于檢驗，用殘差對所有外生變量回歸，得，因此得，值。不能拒絕過度識別。又在第二個工資方程中，關于工具的聯合檢驗，值僅為0.0009。應拒絕變量為0的假設，工具變量選擇有