1、從歐拉示性類到Morse理論賀正需 崔貴珍 沈良 拓撲是現代數學的一個很大的分支，近代數學可以說基本上是圍繞拓撲發展的。有人作過統計，說獲得菲爾茲獎的人中有二分之一是作拓撲研究的，當然這個統計有爭議，但即使沒有這么多，至少也有三分之一的人是在拓撲領域的，剩下的二分之一和三分之一之間，有一部分人可以說是作拓撲，也可以說是分析或者別的領域，所以說，這個理論對現代數學的影響確實很大。這個理論的教父就是18世紀最偉大的數學家歐拉，他所作的貢獻遍布整個數學的領域。 我今天要講的是示性類和Morse理論，因為那時拓撲還處于萌芽階段，所以問題都比較簡單，你們絕對能聽懂歐拉當時的研究是從多面體開始的，我們今天

2、也從多面體開始講。1 歐拉示性類11 多面體12 歐拉示性類 定義 設多面體的頂點數為V、邊數為E、面數為F。cVE+F為多面體的歐拉示性類。下面我們列一個圖表：頂點數V邊數E面數FcVE+F正四面體4642正六面體81262正八面體61282正十二面體2030122正二十面體1230202虧格為0的多面體都是單連通的，這個現象就是歐拉定理： 定理 任何單連通多面體的歐拉示性類等于2：cVE+F2 這個定理是整個拓撲學奠基的一個定理。因為凸多面體都是單連通的，所以我們有推論： 推論 對于任何凸多面體，其歐拉示性類等于2。 對于有虧格的多面體，我們也有結論： 定理 對于虧格為g的多面體，其歐拉示

3、性類為22g13 對拓撲學的影響拓撲是上個世紀才形成的一個學科，簡單地說，拓撲研究的就是像歐拉示性類這樣的量，它是連續變化中的不變量，并且我們還可以考慮將這種量推廣到高維的情形，如對n維流形，我們有定義：cA0一Al+A2一A3+(一1)nAn，其中A0頂點數，A1邊數，A2=面數，A3=三維多面體數， 歐拉示性類是拓撲學的一個基本概念，對現代數學，理論物理等學科的發展起了關鍵作用。14 應用 作為歐拉示性類的一個有趣的應用，我們來證明一個古典的定理： 定理 除了前面提到的五種正多面體外，不存在第六種單連通的正多面體。 這個定理的證明可以用幾何的方法，但最好的證明我認為是用拓撲的方法，因為它不

4、用考慮角度，多面體可以放在任何空間，比如說雙曲空間中也是不存在第六種正多面體的，下面這個證明對于任何空間的多面體都是成立的。 證明 任給一個正多面體，設它有V個頂點，E條邊，F個面；每個頂點過k條邊，每個面是j邊形。 因為每條邊有2個頂點，每條邊是2個面的交線，所以我們有kV=2E，jF=2E，而歐拉示性類cVE+F2因此我們有 cVE+F2E/kE+2E /j=2，故1/k +1 /j=1/2+1/E。 因為k，j，E都是正整數，經過初等計算，所有可能的(k，j，E)為：(3，3，6)，(3，4，12)，(4，3，12)，(3，5，30)，(5，3，30) 以上的五個解正好對應于五種正多面體

5、，所以不存在第六種正多面體。15 多面體的對偶性 定義 給一個平面圖，每個面用一個點代替，有公共邊的兩個面所對應的點用線段連接，則得到一個新的圖，稱之為對偶的圖。 性質 每個多面體都有對偶，對偶的對偶是自己。16 正多面體的對偶 正四面體的對偶是它自己； 正六面體的對偶是正八面體，正八面體的對偶是正六面體； 正十二面體的對偶是正二十面體，正二十面體的對偶是正十二面體。 (V，E，F)(F，E，V)2 Morse理論 Morse理論是建立在歐拉示性類基礎上的，在任何維數都成立其研究流形上光滑函數的臨界點與流形本身拓撲結構之間的關系，是拓撲學中重要的理論，在現代數學中有著極為重要的作用。21 一維

6、情形 圓周是一個一維流形，設F是圓周上的光滑實函數，考察使得導數F'為0的點。設G(t)F(expit)，G(t)的周期為2。 那么Morse理論就是局部最大值的個數等于局部最小值的個數。22 二維情形 設想高低起伏的島，F是高度函數(F(x，y)是坐標(x，y)點的高度)。考察它的峰點，洼點，以及如圖所示的馬鞍點(過山點)。 設V是峰點數，P是洼點數，S是馬鞍點數。 Morse定理 對于任何(隨意構造)的島，VS+P1。23 歐拉示性類的另一個應用 圓形水池的水流：Figure 在漩渦中心水速為零 Brouwer不動點定理(二維情形) 不論水池中的水流多么復雜，總能找到一點，它的水速為零。 此定理在高維也成立。 在三維情形下，定理可以敘述為：在一個完全密封的房間里(空氣可以在房間里任意流動)，總能找到一點，它的風速為零。 證明的基本思想是歐拉示性類。24 后續發展 歐拉示性類的后續發展：Pontryagin示性類