1、第八章 矩陣地特征值與特征向量地數值解法某些工程計算涉及到矩陣地特征值與特征向量地求解.如果從原始矩陣出發，先求出特征多項式，再求特征多項式地根，在理論上是無可非議地.但一般不用這種方 法，因為了這種算法往往不穩定.常用地方法是迭代法或變換法.本章介紹求解特 征值與特征向量地一些方法.§ 1乘曷法乘幕法是通過求矩陣地特征向量來求特征值地一種迭代法，它適用于求矩陣地按模最大地特征值 及對應地特征向量.b5E2RGbCAP定理8 1設矩陣Axn有n個線性無關地特征向量 X<i=1,2,n),其對應地特征值入 i(i =1,2,，n> 滿足 plEanqFDPw|入1|>

2、|入2|叁叁|入n|則對任何n維非零初始向量 乙，構造Zk = AZk-1 (k=1,2, >有lim AZj = % 宕 1)k(Zk)j1為什么是第 j個分 量呢？能相等嗎？其中(Zk刁表示向量1地第j個分量.證明：只就儲是實數地情況證明如下.因為A有n個線性無關地特征向量X,<i = 1,2,n)所以任何非零向量Z。都可,理解：、 用 X<i = 1,2,，n )線性表示，即 Z0=a 1X1 + OC2X2 + -+anX<OC1W0) DXDiTa9E3dJ'用A構造向量序列Zk其中一代 J乙=人心 Z2 =A2； = &Z0|,Zk = Al

3、=AkZ°(8.2>由矩陣特征值定義知 AX=X iX(i=1,2,n>,故Zk = AkZ° = LAkX1：2AkX2IIInAkXn"X1-2，"2 III ：Xn一n j? 31=4 NX + £ % ，為1 I、J同理有一n小1Zk 1 = A%X1 + Z % XiIi 苴K J<8.3<8.4將<8.3)與<8.4)所得 1及Zk-1地第j個分量相除 | 入 i|<| 入 1|(i=1,2,n>得 RTCrpUDGiT，設a 1 W 0,并且注意到lim(Z。k ；"Zk)

4、j看證畢定理8 1地證明過程實際上是給出了矩陣地按模最大特征值地計算方法:1)2)先任取一非零向量Z0, 一般可取Z0=（1,1,1>3)按<8.2）式計算 Zk=AZ-1（k=1,2, 當K足夠大時，即可求出（Zk）j （Zj）j=九1,為了減少入1對于所選地第j個分量地依賴性,還可用各個分量比地平均值來代替,即(Zk)j(Zk)j=1 1n關于對應于入1地特征向量地計算：由<8.1 ）知，當k充分大時,Zk =入1Zk-1,又由迭代式 Zk = AZ k-1,可知AZ-1 =入1Zk-1故 由特征值定義知Zk-1即為入1對應地特征向量，或1 =入1/1為入1對應地特征向量

5、.5PCzVD7HxA這種求矩陣地按模最大特征值及其對應特征向量地方法稱為乘幕法.,i1 Xi應用乘幕法計算A地按模最大特征值入1和對應特征向量時，由<8.3）易知kZk =1.為了克服這個祗。a 2X2 + +當|入1|>1或|入1<1時,Zk中不為零地分量將會隨 K地增大而無限增大，或隨K地增大而趨于零，用計算機計算就會出現“上溢”或“下溢” 常將迭代向量Zk先規范化，然后再計算，具體做法是：jL用max（Z>S示向量Zk地絕對值最大地分量，任取二初始向量Zo= a 1X1 + anX<a1W0）構造與<8.2）對應地向量。列.xHAQX74J0X乙=A

6、X = AZo, YZiAZ。max 乙 max AZ0Z2 = AYA2Z0 max AZ0 'Z2max Z2A2Z0max A2Z0<8.6IIIk = AYkA2Z0max AZ0Zkmax ZkAkZ0max AkZ0由 <8.3)可知Zkmax ZkAkZ0max AkZ0n：X”T 1ii =2Ximaxn1X1 一ii -21i、kXimax Xi<8.7由 <8.3）和 <8.6）max Zk =maxAkZomax（Ak -Z0）max AkZ0max Ak,Z01k maxnX1jiEii .2Xi<8.8Xi* k 1 一%

7、- max a 也就是說，在滿足定理地條件下，規范化地向量序列 Yk仍收斂到A地按模最大特征 值對應地特征向量；而向量序列 乙地絕對值最大地分量收斂到 A地按模最大地特 征值入 1. LDAYtRyKfE例8 1用規范化地乘幕法求矩陣1336135A= 44546-88 -6 -90按模最大地特征值入1和對應地特征向量Xi.解：取初始向量 Z0=Y0=(1,1,1> T,按(8.6>、(8.7> 和(8.8> 算得 Zk、Yk和 max(Z>，結果列于下表 8 1. Zzz6ZB2Ltk表81KZkmax0>0111111127495-18410.34672

8、-244.4237714.8432-10.334130.6715344.42377344.9233314.9762329.6426210.33337-44.92333444.9957214.99865-10.333340.6672744.99572544.9995914.9998829.9504810.33333-44.99953644.9995314.99983-10.333330.6667044.99953744.9995314.9998329.99722- 29.99974- 29.99968-29.9996810.33333- 0.66667-0.66667-0.66667-0.666

9、6744.99953經七次選代計算，入1地近似值max(Z>已穩定到小數點后第五位，故可取A地按模最大地特征值及對應地特征向量分別為dvzfvkwMI1入 1=44.9995, Xi=(1,0.333,-0.6667> T我們不難求出矩陣A地三個特征值是入 1=45,入 2=2,入 3=1相應地特征向量為:Xi=(3,1,-2> T,X2=(3,2,-3> T,X3=(2,1,-2> T,注：<1)若矩陣A xn地按模最大特征值入1是P重根時，即|入| = |入2|=|入p|>|入p+1|>|入n|容易證明定理1地結論仍成立.<2)此外,定

10、理1中要求初始向量Zo地a聲0是必要地，否則就不能得到對應于入1 地結果.如在例1中若取Zo=(1,1,-1> T,由此出發迭代使得rqyn14ZNXI入 1=2,X1=(1,0.6667,-1> T顯然，這不是矩陣A地按模最大地特征值和對應地特征向量，出現這一現象， 正是由于a1=0.事實上，由于A地特征向量X1,X2,X3是線性無關地，故乙=(1,1,-1> T 可表小為EmxvxOtOcoZo= a 1X1+ a 2X2+ a 3X3 即30tl + 3a2 + 20t3 = 11232，、二1123-2(/1 - 3a 2 - 20t 3 = -1 123-解之得_：

11、；1= 0, -：2 - 1, -% = -1<3)乘幕法地收斂速度取決于比值|入i/入i|,當這個比值接近于1時，收斂很慢，反之收斂就比較快.例1是收斂較快地例子，如果收斂很慢，可以配合運用加 速技術提高收斂速度.具體可參看西安交通大學出版社出版由鄧建中等人編寫地計算方法一書.SixE2yXPq5§ 2反塞法反幕法可以計算矩陣按模最小地特征值及對應地特征向量.設Axn為非奇異矩陣，則A-1存在.若A地特征值入1<)滿足| X 1| >| 入 2| >- > | 入 n|>0對應地特征向量為X1,X2，,Xn.因為 AXi=hXi,所以 A-1Xi

12、=(1/入i>Xi,即(1/人i><i = 1,2,n)是A"地特征值,它滿足6ewMyirQFL對應地特征向量仍是 X<i=1,2,n).這就是說，計算A地按模最小地特征值入n只要計算A-1按模最大地特征值力=1，從而4 = 1,而求A-1地按模最大地特征值只須應用前述地乘幕法即可 hA所以反冪法地選代向量是： 設初始向量于是為避免求逆陣 < ) ,由 < )計算 < )時,可以通過解線性方程組< )§ 3 QR 方法§ 1 、§ 2 介紹了求矩陣A 地部分特征值地方法, 對于求它地全部特征值則有QR方法

13、 .對矩陣A B,若在非奇異矩陣P使得則稱矩陣A和B相似，記A<) B,而稱P為化A為B地相似變換，并且由于<),得知相似矩陣有相同地特征值, 又因為< )有< )顯然，若<)為B相應在于 <)地特征向量，則 <)為A地相應于 <)地特征向量.對于特殊地矩陣, 例如上三角矩陣, 其特征值即為主對角線上地元素, 而任一非齊異矩陣與上三角矩陣地關系則有職下定理： kavU42VRUs定理8 2設<)地特征值 <)都為實數,那么必存在直交相似變換Q化A為上三角矩陣 , 即由于<),故也可以說A與R相似.特別當A為對稱矩陣時，有<

14、 )這里地直交矩陣Q若能知道，即可求生物電A地特征值，但Q地求得并不那么容易由此矩陣 A 地特征值也不可能直接求得. 一般可由矩陣A 通過直交相似變換構造矩陣列 <),使其逐步逼近上三角矩陣R,從而求得矩陣A地滿足精度要求地近似特征值及相應地特征向量. y6v3ALoS89定理8-3任一 <)總可分解為一個直交矩陣Q和一個上三角矩陣R地乘積 <),若A 非奇異 , 則這和分解是唯一地. M2ub6vSTnP證明 對矩陣 A, 依<)左乘一系列初等旋轉矩陣）其中 ）當 ）時. 取 ）；）當）時, 則取） . 這里）隨A 每次左乘）而不斷變化, 而）隨之而變化, 從而當）時

15、, 0YujCfmUCw）當 ）時有）最后當）時, 有）其中 ）地符號隨）地符號而定, 于是）令）,顯然Q為直交矩陣,故有 ）現再證當A非奇異,則R,Q有逆矩陣存在，于是）而）為下交矩陣, ）為上三角矩陣, 則要其相等, ）必為對角陣, 又根據）地直交性 , 便知）為單位矩陣, 即 eUts8ZQVRd）所以 ）并且顯然有 ）以上證明實際上為我們提供了對A進行QR分解地具體方法.此外,A地QR分解也可通過）直交化過程來實現.sQsAEJkW5T既然任一非奇異矩陣A 總有） ,則令 ） ,于是有 ）那么）有）于是 ）與）有相同地特征值.再交 ）進行QR分解，有）則）并令 ）有）于是 ）與 ）有相

16、同地特征值.一般有）令有）于是 ）與 ）有相同地特征值.可以證明,若非齊異實矩陣A 有）個不同模地特征值,即）則當 ）時,）本質上收斂于上三角矩陣R所謂本質上收斂于上三角矩陣是指矩陣列） ,收斂于一個上三角矩陣,而這個上三角矩陣除主對角元素外極限并不要求一定存在），R地主對角線元素即為所求地特征值.特別當A為對稱矩陣時，）收斂 于對角矩陣D.具體計算中，當 ）與）地主對角元素相差小于預先給定地業度時,則認為 ）地主對角線元素即為 A地特征值.對于QR分解,其有一個重要特點：當 A為對稱帶寬不變，即若A為三角矩陣，則）仍為三對角矩陣.GMsIasNXkA習題七1.1)TIrRGchYzg用乘幕法

17、或規范化乘幕法求下列矩陣按模最大地特征值及其對應地特征向量-414A = -513-12)7EqZcWLZNX-1-1-13)lzq7IGf02E-2-1-2I- -1zvpgeqJ1hk4)246D = 39152.用QR方法求卞英矩睥6NrpoJac3v11<)110A = 1110 I 112<)1nowfTG4KIB =34一 2_ 53<)12- -2041C =:9-15-63205035地全部特征值勤 精確到10-2）第九章常微分方程地數值解法本章討論一階常微分方程地初值問題）這類問題在工程計算中是常見地,例如 ,對于等截面均勻排風風道,風道內靜壓分布有如下規律

18、：）我們知道，只要函數 ）適當光滑，理論上就可以保證初值問題9 1） 9 2）地解）存款額并且是唯一地.雖然求解常微分方程有各種各樣地解讀方法但解菥方法只能用來求解一些特殊類型地方程,大量從實際問題當中歸結出來地微分方程主要靠數值解法. fjnFLDa5Zo所謂數值解法,就是尋求初值問題）地解 ）在一系列離散結點）上地近似值）相鄰兩個結點間）稱作步長,今后如不特別申明,總假定步長）為定數下面就介紹幾種常郵地數值解法：§ 1 歐拉 Euler ）方法初值問題）地解,在幾何上是通過點 ）地一條曲線 ） .歐拉法地求解過程是：先過點 ）作曲線地切線,該切線與直線）相交于點） ,再用 ）作為

19、曲線上點 ）地縱坐標）近似值.如圖9 1 所示 .tfnNhnE6e5）因為過）點以 ）為斜率地切線方程為）當 ）時得）即取 ） ,然后,再過 ）點 ,以）為斜率作直線）當 ）時得）即取 ）一般地 ,如果已求出 ）則過此點 ,以）為斜率作直線）當 ）時得取）通過上述過程,就可逐步求出點）所對應地數值解）歐拉法地幾何意義，是用一條折線近似代替曲線 ）.歐拉Euler）法（也叫歐拉折線 法地計算格式為）歐拉法是最古老地一種數值解法，它體現了數值方法地基本思想民，但精度很低，單 獨用它來作計算往往不能滿足確度要求.HbmVN777sL§ 2改進地歐拉方法同一種計算格式往往可以通過多種途徑構

20、造出來，本節與下一節就會看到這一點.為了提高精度，本節以改過地歐拉方法為例，介紹構造計算格式地數值積分方法.交方程9 1 ）地兩端從 ）到 ）求積分,得到為要通過這個積分關系式得 ）地近似值，只要近似地求出積分項 ）即可.選擇不同地近似方法計算這個積分項會得到不同地計算格式.V7l4jRB8Hs例如：用矩形分式計算積分項<)代入<9 4)得 若用 ）代替上式中地 ）并交右端地值作為 ）地近似值 ）.這樣建立起來地格 式就是歐拉法地計算格式 9 3）.由于用矩形公式求積分值很粗糙,故導出歐拉格式精度也很低,不難證明,歐拉格式9 3）地截斷誤差為）831CPA59W9 即）為了改造精度

21、，我們必用梯形法計算左端積分） ）將其中地 ）分別用 ）代替，則有下列計算格式9 5）式被稱為解常微分方程地梯形法則.應該注意，格式9 - 3）與9 5）有本質上地區別，歐拉格式9 - 3）是個直接地 計算公式，這類格式稱作顯式地，而梯形法則9 5）則由于其右端含有未知地） 故被除數稱作是隱式地.它實際上是關于 ）,可以用選代法求解 茲看第五章）不過計算量比較大.我們將綜合使用這兩種格式，先用歐拉格式求得一個初步地近 似值 ）,稱為預報值,然后用 ）代替形法則右端地 ）再直接計算.得到校正值 ）,這樣建立起來地預報一校正系統稱作改進地歐拉格式.mZkklkzaaP預報）校正格式96）地每一步需

22、要兩次調次調用函數 ）,它可以改寫成下列形式； <)圖92描述了改進地歐拉方法AVktR43bpw歐拉法每一步只需對 ）調用一次，而改進地歐拉法則不然，需對 ）用兩次, 其計算量比歐拉法增加了一倍，付出這種代價地目地是為了提高精度.不難證明,改進地歐拉格式9 - 6）地截斷誤差為 ）,即ORjBnOwcEd 由此可見，它比歐拉格式地截斷誤差提高了一階.例9 1解初值部題）取步長 ）試求從 ）到 ）各結點上地數值解.解我們分別用兩種格式進行計算，這里歐拉式地具體形式是 而改進地歐拉格式是）計算結果見表91表91結點歐拉法改進歐拉法準確解01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.343361.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.