1、1.確定下列各級數的斂散性:1(1)1 下;n 1 e解這是等比級數，公比高等數學（工本）總習題解答（見教材第459頁）1,故該級數收斂 一 n 1 8n解因為lim n18n 61limnn8n1 一1發散，故由第二比較準則知該級數發散1 nn注本題也可用第一比較準則,因為8n 6工，而8nn 1 8n11發散,n 1 n(3)2n3(2n 1) 2因為(2n2n1) 232n3(2n 1)2n(2n)38n 614n211 4n21， ，行收斂，故原級數收斂n 1 n另解：因limn2n(2n 1) 212nlimn2n33(2n 1)1， ，一收斂，故原級數收斂1 n(4)n!9nlim

2、n(n1)!9n 1n!9nn lim 一nn!-n!發散1 9nn2 12 n3 1 '(6)解因為lim n2 n3 nlimn3 n-3 n1 ww發散，所以原級數發散 n解因為lim n2 n4- n-2 nlimn1 ，一一 ，2收斂，故原級數收斂n因為limn1n3213limn3n3n2limn1,1 日 ，是公比13n1的等比級數，是收斂的，故由第二比較準則知1,一1一收斂 n1 32(8)n 1解因為(n lim n1)(9)n 1解因為2 n 12,limW2£1,故由檢比法知n 2收斂3123 n13 52n 11231352n 112 3 n -n 1

3、1 3 5 2n 1 -2n 1所以limn1231135 2n 1135 2n 1 2n 1123 n故由檢比法知該級數收斂2.當X取什么值時，下列各級數收斂？（參看習題n 1 2n 1(n 1)'11 3第7題)(2)故當解2(n 2)2時該級數收斂；當1即x 2時，該級數發散；當 x 2時，原級數成為發散的，所以當2 x 2時，級數nnx2n 1(n一收斂1)n /n (x2)n ；解因為nimn(x 2)nlim nn故當2 時，lim nxn，從而該級數發散，僅當x 2 0即x2時，該級數收(3)3n當x 0時該級數各項均無定義，所以該級數當解(x 0)x 0時收斂(4) 1

4、n!nn 2 x解因為limn(n 1)!n 1xn!nxlimn當x 0時，該級數發散，所以無論 x(x無需討論其斂散性，所以使該級數收斂的3.證明級數n(1)n一是發散的 n(x0)0)為何值，該級數都發散，而當 x 0時，級數各項均無意義,x值不存在。證因為1)n(1)n ninn.n ( 1)n n ( 1)n1 2n2n所以n 2(1)n(1)n,n 1(1)n 1 . n 1 1,n ( 1)n n 2 n 1又 （1）n 1 In 1為交錯級數 n 1n(n11)21,lim annlim30故由萊布尼茲準則知該級數收斂;1 ，山發散，因此n 1 n(1)nn 1發散4.設an0

5、(n 1,2,3,)因為an收斂，所以1收斂，所以n證法因 an °,理）知該級數的部分和上有界,2又設級數an的部分和為n 1，且 an收斂,n 1證明2an1也收斂n提示：ak2k 1nak2k 1lim an 0,所以存在 nN,0an1,從而c20anan (n>N)收斂，故由第一比較準則知an為收斂的正項級數,1即存在 M>0,使nSnak，且 Snk 1a2收斂，所以 a2收斂Nn 1由正項級數收斂的充分必要條件（見教材第nakk 1421頁定n2akk 1nakk 12M2從而Sn有上界，所以由正項級數收斂的充分必要條件和級數2 an收斂15 .如果 an條

6、件收斂，證明lim號1，其中Pn 1(Qn2一 一 1 ,Sn），Qn 2（n Sn)這里n為an的部分和，Sn為 an的部分和證因為an條件收斂，所以n 1n 1an發散，又Sn和n分別為 an和n 1n 1an的部分和，從而lim SnS (有限值)，lim nnn1）到（8）題中，如果收斂半徑為有限值，試6.求下列各募級數的收斂半徑，并寫出它們的斂區，在（ 確定在斂區端點處的斂散性：n(1)nx0(n 1)2nlimncncn 1limn1(n 1)2n1,一、一n 1(n 2)2limn2(n 2)故該級數的收斂半徑R=2,斂區為（一2)n一 1此級數為交錯級數，且滿足萊布尼茲準則的條

7、件，故收斂;2時，募級數成為n 1 n 12時，原級數成為1一-,為調和級數（去掉第一項），故發散2 n(2)(1)n(x 1)nn 0 n21解令x 1 t ,原級數成為1)ntn對此級數,因為2x0故原級數的U斂半徑 R2時，原級數成為(1)n( 1)nn 0 n21-它是收斂的10時，原級數成為(1)n -(I)_是收斂的1(3)n 2n 2n(1) 2 x2n解令x2t ,原級數成為1)n22ntn2n,對此級數,1 12,211故該級數當t收斂，當t4發散，從而原級數當 1散，所以原級數的收斂半徑R-,斂區為2211211x2,即X 收斂；當x2即x 發424211一或x 時，原級數

8、成為同一個級數225,它是交錯級數，且滿足萊布尼茲準則的條件，從而是收斂的 n 1 2n(4)1 ( 2)n 1從而該級數為級數1時，該級數21時,2級數和 (2)n 1的和，又是收斂域為1,1)limn(2)n12)n 2成為12)n的收斂半徑為(2)顯然發散n 11xn的收斂域為成為n12n1)n 1 2顯然發散故原級數的收斂半徑且當x1一時原級數都發散2(5)n! n-Vx ； nlimncncn 1故該級數的收斂半徑為當x e時,limn原級數成為n!nn(n 1)!d n 1n 1e,斂區為n!n為單調遞增數列且limn(n 1)nlimne)en ,該級數通項limn1故有1從而a

9、n 1an,即數列n! n -en為單調遞增數列，所以 nlimnn!把en發散 n1 n同理當xe時，級數1)nn!en亦發散2(6) an xn (0 an 0解因為lim nanliman x0 ,可見對任何x值,級數nx (01）都收斂，故該級數的收斂半徑R(n!)21 (2n)!limnCn1)!2(2n)! 2(n 1)!limn(n!)2(2n2)!2(2n)!(n 1)!2故該級數的收斂半徑4 ,斂區為（4,4）當x4時，原級數成為此一4n ,該級數通項為 n 1 （2n）!an(n!)2 - (2n)!所以數列(n!)2(2n)!4n為單調增數列，從而 lim annlimn

10、應4n (2n)!n黑4n發散同理，當4時，原級數成為亦發散(8)n3nlimnCnCn 1limn& n 1/3limn故收斂半徑R 1,斂區為1)當x 1時，原級數成為該級數通項an3 n3 nn 1 nn考察函數f (x)x故當lnajx 1 0,即x -4- 3.3時，f (x) 0,從而f(x)為單調增函數，所以當 n 4時,2 ln233 nO nQ n數列an 是單調增加的，因此lim anlim0,故 發散nn n nn i nQ n同理，當x 1時，原級數成為3( 1)n亦發散n 1 n、3 n1任nim 3 n1nim 3 n1 nn2(9)nx ;n2解因為lim

11、n斂，當exlimnnx ex ,故由檢根法，當該級數發散，所以該級數的收斂半徑斂區為1-時該級數收 e(10)(shan)xn , a 0 ；n 0an eshan解sha(n 1)limna(n 1) eane2a(n 1) e2limnan eanea(n 1) a(n 1) e e1故該級數的U斂半徑 R ,斂區為 ea(11)bn(a0,b 0);1limn解 R lim -cn-lim ab一nIcnJn1n 1 n 1a b所以當a b0時該級數的收斂半徑為a,當0 ab時該級數的收斂半徑為b ,從而該級數收斂半maxa,b,斂區為( R, R)bn c(f xn,(a 0,b

12、0) n解先求xn的收斂半徑和斂區;故級數na nx1 n1的收斂半徑R 一，斂區為 a故級數bn n2x1 n的收斂半徑和斂區bn n2x1 n1的收斂半徑R ,斂區為 b由于原級數是上述這兩個級數之和，故其斂區至少是上述兩斂區的公共部分，記1 1R min a b在（R, R）內原級數收斂，在R,R外，上述兩級數一個收斂，另一個發散，故其和即原級數發1敢，故原級數的收斂半徑為R min a1一,斂區為（R, R） b7.確定級數n（1 x）xn的收斂域，并求出它的和函數。0解因為級數xn的斂區為（一1,1）,0xn 1的斂區也是（1, 1）,故原級數n(1 x)xn0的斂區為（一1, 1）

13、斂域為1時，原級數為0,顯然收斂;01時，原級數為2 ,顯然發散，故0n(1 x)xn0的收1,1x 1時,因為(1n 0nx)x(1x)nnx (10x)當x 1時， (1 x)xn0 ,所以n 02.38.確定級數 lg X (lg X) (1g X)的收斂域解該級數為等比級數，且公比q lg x ,所以收斂域為11 lg x 1,10 x 10,故所給級數的收，1斂域為 一,10109.求下列各級數的和函數。(1)( 1)n(n 1)xn ；n 0解 所設級數的收斂半徑 R 1,令和函數為f (x),那么f(x) ( 1)n(n 1)xn , n 0(T, 1)xx于是 f(x)dx (

14、 1) (n 1) x dx ( 1) xn 0n 0兩邊求導數：f (x)1(1 x)2(1x1)1)n 12n 1 x2n 1解所設級數的收斂半徑R 1,令其和函數為 f(x),那么f(x)(1)nn 12n 11 x(T, 1)兩邊求導，f (x)( 1)nx2n 22n 11 x顯然f (0)0 ,于是兩邊積分，一 一一x得 f (x) f (0) arctanx0,即 f(x) arctan x2n 1n 1 x因為 (1) 在x 1和x 1都收斂，故其和函數在 x 1和x 1都連續，故該級數的和n 12n 1函數為 f (x) arctan x (1x1)(3) nxnn 1解該級

15、數的收斂半徑R1,令其和函數為 f (x),那么f(x)nxn , ( 1 x 1)n 1于是f (x) xnxn 1 ,令 g (x)nxn 1 , (-1,1)n 1n 1所以 g(x)1(1 x)2于是f(x)xg(x)x(1 x)2(1x1)10.求函數ax的麥克勞林展開式n解因為 ex( x )又 ax exlnan 0 n!x (xln a)n (In a)n n ,、所以 a -x , ( x )n 0 n! n 0 n!11 .把函數f (x) x,x展開為傅立葉級數，并畫出它的和函數的圖形解因為f (x) x,(x)為奇函數，所以2所以當 x 時，f(x) ( 1)n1sin

16、nx n 1n當x 或x時，級數和為即在 ，上，該傅立葉級數的和函數為x), 0< x<,求它的傅立葉級數。該傅立葉級數的和函數的圖形如下：12.設周期函數f(x)在一個周期中的定義為f(x)=x (解an0 x(x)cos- xdx2,22,(x x ) cos2nxdx ( x 00 'x2)d - sin2nx2nx2) sin 2nx12n( 2x)sin2nxdx2n0(2x)dcos2nx 2n2n2x) cos2nxcos2nxdx 2n2 sin2n4n2,(n 1, 2,).所以當0<x< 當x=o或x= 因為f(x)是以n時，時，級數和為為周

17、期的函數且f (0)=f (),所以13.已知周期函數在一個周期中的定義為：(1) f(x)=sinx, 0 <x<； (2) f(x)=cosx,0 <x< 求它們的傅立葉級數。解an1n x 2一 sin x. cosdx sin xcos2nxdx00所以當0<x<由于f(x)在0,上連續，且滿足狄利克雷收斂充分條件,f(0)=f()且以為周期的周期函數，所以f(x)的傅立葉級數處處收斂，且(2) f(x)=cosx,0 < x<解ann x . cosx cosdx2cosx cos2nxdx02所以當0<x<當x=0或x= 由于f(x)是以時，時，級數的和為為周期的周期函數，且當時，f(x)是連續的，故由狄利克雷收斂的充分條件得f (x)-nsin 2nx 4n2 14 2 sin