1、2.4.1拋物線及其標準方程【學習目標】 掌握拋物線的定義、標準方程及其推導過程【自主學習】1. 拋物線定義： 2推導拋物線的標準方程：如圖所示，建立直角坐標系系，設|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標為，準線的方程為，（自己完成推導過程）（1）它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），準線方程是 （2）一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式3拋物線的準線方程：如圖所示，分別建立直角坐標系，設出|KF|=（>0），則拋物線的標準方程如下： 按要求填寫下表：標準方程焦點坐標準線方程【自主檢測】 1拋物

2、線y220x的焦點坐標是()A(10,0)B(5,0) C(0,10) D(0,5)2拋物線y22px(p>0)的焦點恰好與橢圓1的一個焦點重合,則p()A1 B2 C4 D83拋物線y24x上的點P到焦點的距離是5，則P點坐標是_4拋物線的焦點F在x軸上，直線y3與拋物線交于點A，|AF|5，求拋物線的標準方程.求拋物線的焦點及準線例1：設拋物線的方程為yax2(a0)，求拋物線的焦點坐標與準線方程訓練1：已知橢圓x2ky23k(k>0)的一個焦點與拋物線y212x的焦點重合，則該橢圓的離心率是_求拋物線的標準方程例2：求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：

3、(1)過點(3,2)； (2)焦點在直線x2y40上訓練2：根據下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程為y1； (2)焦點在x軸的正半軸上，焦點到準線的距離是2拋物線定義的應用例3：已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值訓練3：1)已知拋物線y24x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|4，則點M的橫坐標x_(2)斜率為1的直線經過拋物線y24x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，則線段AB的長為_拋物線的實際應用例4：如圖(1)所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OP1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后

4、落下，若最高點距水面2m，P距拋物線的對稱軸1m，則水池的直徑至少應設計多少米？(精確到1m)訓練4：某河上有座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？對含參數問題中參數的取值考慮要全面例5：設拋物線y2mx的準線與直線x1的距離為3，求拋物線的方程拋物線及其標準方程課后作業(yè)1拋物線y2ax(a0)的焦點到其準線的距離是() A. B. C|a| D2已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在雙曲線1上，則拋物線方程為()Ay28x By24x Cy22x Dy2±8x3

5、拋物線y22px(p>0)上一點M到焦點的距離是a(a>)，則點M的橫坐標是()Aa Ba Cap Dap4過點M(2,4)作與拋物線y28x只有一個公共點的直線l有()A0條 B1條 C2條 D3條5已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()Ax1 Bx1 Cx2 Dx26設拋物線y22x的焦點為F，過點M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|2，則BCF與ACF的面積之比等于()A. B. C. D.7拋物線x212y0的準線方程是_8若動點P在

6、y2x21上，則點P與點Q(0，1)連線中點的軌跡方程是_9已知拋物線x2y1上一定點A(1,0)和兩動點P，Q，當PAPQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是_班級序號：16 姓名 10已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點坐標和準線方程11求焦點在x軸上且截直線2xy10所得弦長為的拋物線的標準方程2.4.2拋物線的簡單幾何性質【學習目標】 掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質【自主學習】根據拋物線的標準方程，研究它的幾何性質：1范圍2對稱性3頂點4離心率 拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的

7、比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e= 注意：拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.【自主檢測】1若拋物線y2x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為()A(，±)B(，±) C(，) D(，)2 頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程是_3已知直線ya交拋物線yx2于A、B兩點，若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_4過拋物線y28x的焦點，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A8 B16 C32 D615已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，

8、Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|() A B3 C D26直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點，且與拋物線相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點求證：x1x2，y1y2p2拋物線的對稱性例1：正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y22px(p>0)上，求這個正三角形的邊長訓練1：等腰RtABO內接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則ABO的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2拋物線焦點弦的性質例2：斜率為2的直線經過拋物線y24x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長訓練2：過拋物線y28x的焦點作直

9、線l，交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|的值為_最值問題例3：設P是拋物線y24x上的一個動點，F為拋物線焦點(1)求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值訓練3：定點M與拋物線y22x上的點P之間的距離為d1，P到拋物線準線l的距離為d2，則d1d2取最小值時，P點坐標為() A(0,0)B(1，) C(2,2) D例4： 如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點，求證：直線BC的斜率是定值例5：設拋物線C：x22py的焦點為F，準線為l，A為C上

10、一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點(1)若BFD90°，ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程(2)若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值?！究偨Y提升】類比橢圓、雙曲線的幾何性質，推導拋物線的幾何性質，需注意拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.拋物線的簡單幾何性質課后作業(yè)1頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線過點(2,3)，它的方程是()Ax2y或y2x By2x或x2y Cy2x Dx2y2若拋物線y22px (p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關

11、系是() A成等差數列 B既成等差數列又成等比數列 C成等比數列 D既不成等比數列也不成等差數列3已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為() A. B3 C. D.4設斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點F，且和y軸交于點A，若OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為()Ay2±4x By2±8x Cy24x Dy28x5設直線l1：y2x，直線l2經過點P(2,1)，拋物線C：y24x，已知l1、l2與C共有三個交點，則滿足條件的直線l2的條數為() A1 B2 C3 D46過拋物線y2a

12、x (a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q，則等于() A2a B. C4a D.7已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點，若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為_8已知F是拋物線C：y24x的焦點，A、B是拋物線C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則ABF的面積等于_9過拋物線x22py (p>0)的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸的左側)，則_.10設拋物線ymx2 (m0)的準線與直線y1的距離為3，求拋物線的標準方程11過點Q(4,1)作

13、拋物線y28x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直線方程2.4.3.直線與拋物線的位置關系【學習目標】 通過本節(jié)的學習,能運用性質解決直線與拋物線位置有關的簡單問題,進一步體會數形結合的思想.【自主學習】1、直線與拋物線的位置關系設直線,拋物線,直線與拋物線的交點的個數等價于方程組解的個數,也等價于方程解的個數.3、 當時:當時,直線和拋物線_,有_公共點;當時,直線和拋物線_,有_公共點; 當時,直線和拋物線_,有_ 公共點4、 當,即直線方程為時，則直線與拋物線相交,有一個公共點5、 特別地,當直線的斜率不存在時, 即直線方程為，則當, 與拋物線相交,有兩個公共點;當時,與拋物線相切,有

14、一個公共點；當時,與拋物線相離,無公共點. 注: 直線與拋物線只有一個公共點時，它們可能相切，也可能相交【自主檢測】1 在拋物線y28x中，以(1，1)為中點的弦所在直線的方程是()A. x4y30 Bx4y30 C4xy30 D4xy302已知拋物線x22py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點，若(0,1)，則() A B C D3已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點若AB中點為(2,2)，則直線l的方程為_4已知拋物線C：y22px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l

15、相交于A，與C的一個交點為B，若AM，則p_直線與拋物線的位置關系例1：已知拋物線C：y22x，過點P(1,1)的直線l斜率為k，當k取何值時，l與C有且只有一個公共點，有兩個公共點，無公共點？訓練1：已知點A(0,2)和拋物線C：y26x，求過點A且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程弦長問題 例2：頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2xy10所得弦長為，則拋物線方程為_ _訓練2：已知拋物線y24x的一條過焦點的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點坐標(0,2)，則_對稱問題例3：已知拋物線y2x上存在兩點關于直線l：yk(x1)1對稱，求實數k的

16、取值范圍訓練3：已知拋物線yx23上存在關于直線xy0對稱的相異兩點A、B，求A、B兩點間的距離注意特殊情形例4：求過點P(0,1)且與拋物線y22x只有一個公共點的直線方程直線與拋物線的位置關系課后作業(yè)1已知拋物線y26x的弦AB經過點P(4,2)，且OA OB(O為坐標原點)，求弦AB的長2已知拋物線C：y22px(p>0)過點A(1，2) (1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由2.4.1拋物線及其標準方程課后作業(yè)參考答案1BDBCBA7y3 8y4x2 9(，31，)10y28x，m±2.焦點坐標為(2,0)，準線方程為x2.2.4.2拋物線的簡單幾何性質課后作業(yè)參考答案1BAABCD7y24x 82 9.10x28y或x216y. 11 4xy150.2.4.3.直線與拋物線的位置關系課后作業(yè)參考答案1解析由A、B兩點在拋物線y26x上，可設A(，y1)，B(，y2)因為OAOB，所以·0.由(，y1)，(，y2)，得y1y20. y1y20，y1y236，點A、B與點P(4,2)在一條直線上， ，化簡得， 即y1y